Домрина. Лекции (2009) v4.0 (1118430), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Îöåíèì îáà èíòåãðàëà:R\[−A,A]R• |f (t)eixt [1 − eit∆x ] dt =−∞Rf (t)eixt [1 − eit∆x ] dt +−AR∞f (t)(eit(x+∆x) − eixt ) dt =f (t)eixt [1eit∆x ]dt|−≤R\[−A,A]¯¯¯¯ixtit∆x]¯dt ≤ 2¯f (t)e [1 − eRR|f (t)|dt ≤R\[−A,A]R\[−A,A]• 1 − eiy íåïðåðûâíà ïî y ⇒ ∃δ > 0 : ∀y ∈ (−δ, δ) |1 − eiy | <3(∞R2ε3ε|f (t)|dt+1)−∞⇒ ∆x ∈ (− Aδ , Aδ ) ⇒ t∆x ∈ (−δ, δ) ⇒¯ RA¯RA¯ f (t)eixt [1 − eit∆x ]dt¯ ≤|f (t)||1 − eit∆x |dt <−A−ARA|f (t)|dtε −AR3 ∞|f (t)|dt+1≤ε3−∞Îêîí÷àòåëüíî |fˆ(x + ∆x) − fˆ(x)| < ε ïðè ∀∆x ∈ (− Aδ , Aδ ) ∀x ∈ RR• Äîêàæåì ïóíêò b: âîçüìåì A > 0 :|f (t)|dt < 3ε ,|fˆ(x)| ≤ |RARf (t)eitx dt| +−AR\[−A,A]RA|f (t)|dt < |f (t)eitx dt| +−AR\[−A,A]ε3Ñòðîèì ñòóïåí÷àòóþ ôóíêöèþ g(t) : f (t) ≥ g(t) âñþäó íà [-A,A] , êðîìå êîíå÷íîãî÷èñëà òî÷åê è óñëîâèåì:RARARARAf (t)dt −g(t)dt =(f (t) − g(t))dt <|f (t) − g(t)|dt < 3ε−A−A−A−AÐàç f èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó ⇒ ∃ T : −A = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = A :nRAPmk ∆tk , mk =inf f (t), ∆tk = tk − tk−1f (t)dt − sT (t) < 3ε , ãäå sT (t) =t∈[tk−1 ,tk ]k=1−A(RAmk , t ∈ (tk−1 , tk )Ïóñòü g(t) =⇒g(t)dt = sT (t)t ∈ {t0 , t1 , · · · , tn } − ïðîèçâîëüíî−A• |RAf (t)eitx dt| = |−ARA≤RA(f (t) − g(t))eitx dt +−ARA−A|f (t) − g(t)| |eitx | dt + |RAg(t)eitx dt| <−A−A⇒ |fˆ(x)| <ÎöåíèìRA2ε3+|RAg(t)eitx dt| ≤ε3+|RAg(t)eitx dt|−Ag(t)eitx dt|−Ag(t)eitx dt:−A|RA−A⇒|¯ ¯P¯P¯itk−1 x ¯it x¯ ¯ n¯ n Rtkmk e k −emk eitx dt¯ = ¯g(t)eitx dt| = ¯¯≤ixk=1 tk−1RA−Ag(t)eitx dt| <ε3k=11|x|ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïî ìîäóëþ x⇒ |fˆ(x)| < ε ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ |x|, ÷.ò.ä.33nPk=12|mk | =c|x|R∞Ñëåäñòâèå: Åñëè f ∈ LR (R), òî limx→∞ −∞f (t) cos xtdt = limR∞x→∞ −∞f (t) sin xtdt = 0Äîê-âî: eixt = cos xt + i sin xt è ïðèìåíèì ïóíêò b)Ôóíêöèÿ fˆ(x) íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå(Ôóðüå-îáðàçîì)Îïðåäåëåíèå.ôóíêöèè f(t).Îïðåäåëåíèå.f (t) ∈ LR (R) ðàçëîæèìà â òî÷êå t0 â èíòåãðàë Ôóðüå,+∞+RRR1åñëè ñóùåñòâóåò v.p.

2πfˆ(x)e−it0 x dx = limfˆ(x)e−it0 x dxR→+∞ −R−∞Òåîðåìà 18. Åñëè f ∈ LR (R) è â òî÷êå t0 f óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ãåëüäåðà ïîðÿäêà αñëåâà è ñïðàâà,1òîãäà v.p.2π+∞Zf (t0 + 0) + f (t0 − 0)fˆ(x)e−it0 x dx =2−∞Âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå:f ∈ LR (R), ∀ t0 ∈ R12πRR1πR∞−∞f (u + t0 ) sinuRu duRRR∞f (t)eixt e−it0 x dt =dxf (t)eix(t−t0 ) dt = {u = t − t0 } =−∞−∞−R−R−R(RRR∞R=dxf (u + t0 )eixu du =12 ∀ε > 0 ∃A(ε) > 0 : ∀A1 , A2 ≥ A|f (u + t0 )|du <RRfˆ(x)e−it0 x dx =RRdxR∞−∞−R=RRfˆ(x)e−it0 x dx =−RÄîê-âî óòâåðæäåíèÿ:(∗ ∗ ∗)AR2dx−RR\[−A1 ,A2 ]f (u + t0 )eixu du +îñòàòîê.−A1¯¯¯ RR¯RRRR¯¯ixu• |îñòàòîê|=¯ dxf (u + t0 )e du¯ ≤dx|f (u + t0 )|du <¯−R R\[−A1 ,A2 ]¯ −R R\[−A1 ,A2 ]RR<−Rε2R du=ε• Â ïîä÷åðêíóòîì èíòåãðàëå ìåíÿåì ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ:13AARRR2R2RR ixudxf (u + t0 )eixu du =f (u + t0 )due dx =−R=−A1AR2−A1iuR −e−iuRf (u + t0 )du e−A1Òàêèì îáðàçîì, |RR⇒−R=2fˆ(x)e−it0 x dx − 2−RRRiufˆ(x)e−it0 x dx = 2−RAR2−A1AR2−A1R∞−∞f (u + t0 ) sinuuR duf (u + t0 ) sinuuR du| < ε ∀A1 , A2 ≥ A(ε)f (u + t0 ) sinuuR du, äåëèì íà 2π è ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå12f13òîëüêî èíòåãðèðóåìà, à íå íåïðåðûâíà - íå ìîæåì ïðîñòî ïîìåíÿòü ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿýòî ìîæíî äåëàòü ïî ò.

èç ïðîøëîãî ñåìåñòðà ?34)ε2R=Äîê-âî òåîðåìû:f (t0 +0)2=f (t0 −0)2=1π1πR∞1πR∞ sin Ruu0sin Ruu f (t00R0−∞du =1πR0−∞sin Ruu du= {èíò. Äèðèõëå, R > 0} =1π1=π22+ 0) dusin Ruu f (t0− 0) duÓñëîâèå Ãåëüäåðà ïîðÿäêà α ñëåâà è ñïðàâà â t0 ⇒ ∃ c > 0, ∃ δ0 > 0 :(|f (t0 + u) − f (t0 + 0)| < Cuαu ∈ (0, δ0 )|f (t0 + u) − f (t0 − 0)| < C|u|α u ∈ (−δ0 , 0)∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < δ < δ0 ⇒12πZRCδ απα< 5ε . Â ñëåä. âûêëàäêå èñïîëüçóåì ýòî δ :1fˆ(x)e−it0 x dx − [f (t0 + 0) + f (t0 − 0)] = {âñïîì.

óòâåðæäåíèå}2−R1=π=1πRδ0−∞sin Ru1du −f (u + t0 )uπZ∞0[f (u + t0 ) − f (t0 + 0)] sinuRu du +R+Z∞R\[−δ,δ]f (u + t0 ) sinuRu − π1 f (t0 + 0)• |I1 | <1πε5Rδ0Cuα u1 du =1πRδsin Rudu −f (t0 + 0)u1πR0−δδCuα−1 du =0Z0f (t0 − 0)−∞sin Rudu =u[f (u + t0 ) − f (t0 − 0)] sinuRu du+R∞ sin Ruu1πdu − π1 f (t0 − 0)Cδ απα<ε5−δR−∞sin Ruu du= I1 + I2 + I3 − I4 − I5(èç âûáîðà δ )- àíàëîãè÷íî ∀ R > 0(f (u+t0 )|u| ≥ δu• I3 : φ(u) =, φ(u) ∈ LR (R) ⇒ ïî ñëåäñòâèþ îñíîâíîé ëåììû0|u| < δ+∞Rlimφ(u) sin (Ru)du = 0 ⇒ I3 < 5ε äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ R|I2 | <R→∞ −∞•−δR−∞sin Ruu du=+∞Rδsin Ruu du= {Ru = y} =+∞RδR⇒ lim I4 = lim I5 = 0 ⇒ |I4 | < 5ε , |I5 | <R→∞R→∞sin yyε5R→∞dy −→ 0,äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ RÇíà÷èò, |I1 + I2 + I3 − I4 − I5 | < ε äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ R ⇒ (∗ ∗ ∗) :1limR→+∞ 2πZ+Rf (t0 + 0) + f (t0 − 0)fˆ(x)e−it0 x dx =2−R35Ïîäâåäåì èòîã :Ïóñòü f (x) ∈ LR (R) f (x) =f (x0 +0)+f (x0 −0),2x∈Rf óäîâëåòâîðÿåòóñëîâèþ Ãåëüäåðà â êàæäîé ò.

x ∈ R+∞Reitx f (t)dt− îïðåäåëåíà íà Rfˆ(x) =−∞òîãäà+∞R −itx1f (t) = 2πv.p.efˆ(x)dx −ñïðàâåäëèâî (îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå)−∞Âòîðàÿ ôîðìóëà òàêæå íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé îáðàùåíèÿ.Çàìå÷àíèå: ôîðìóëû îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè, åñëè ïåðåíåñòè ìèíóñ â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòûèç âòîðîé ôîðìóëû â ïåðâóþ - èíîãäà ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îïðåäåëÿþò òàê.1òîæå èíîãäà êî÷óåò (à òî è ðàçíîñèòñÿ íà äâå ôîðìóëû â âèäå √12π )Êîýôôèöèåíò 2πÇàìå÷àíèå: âñå âûøåñêàçàííîå ñïðàâåäëèâî è ïðè f (x) - êîìïëåêñíîé, äîêàæèòå ýòî,îïèðàÿñü íà ñëó÷àé f (x) - âåùåñòâåííîé.Óïðàæíåíèå: îïðåäåëèòå Ôóðüå-îáðàçû ÷èñòî âåùåñòâåííûõ (÷èñòî ìíèìûõ) ÷åòíûõ èíå÷åòíûõ ôóíêöèé. Äàëåå èäåò ðåçóëüòàò äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷åòíûõ è íå÷åòíûõ ôóíêöèé• Ïóñòü f (t) - ÷åòíàÿ âåùåñòâåííàÿ: f (t) = f (−t)fˆ(x) ==2+∞R0f (t) =(cos tx + i sin tx)f (t)dt =−∞+∞R12πcos txf (t)dt - 'êîñèíóñ'-ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, fˆ(x) - ÷åòíàÿ âåùåñòâåííàÿ+∞Rv.p.(cos tx − i sin tx)fˆ(x)dx =−∞1π+∞R0fˆ(x) cos txdx - îáðàòíîå 'êîñèíóñ'-ïð.

Ôóðüå• Ïóñòü f (t) - íå÷åòíàÿ âåùåñòâåííàÿ: −f (t) = f (−t)fˆ(x) = 2i+∞Rf (t) = − πisin txf (t) dt0+∞R0- 'ñèíóñ'-ïðåîáðàçîâàíèe Ôóðüå, fˆ(x) - íå÷åòíàÿ ìíèìàÿsin tx fˆ(x) dx - îáðàòíîå 'ñèíóñ'-ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå36Ïðèìåð ôóíêöèè f ∈ C[−π, π], f (−π) = f (π), ÒÐÔ êîòîðîé ðàñõîäèòñÿ â íóëåÏðèâåäåì ïðèìåð, ïîêàçûâàþùèé ñóùåñòâåííîñòü óñëîâèé Ãåëüäåðà èëè Äèíè-Ëèïøèöà äëÿñõîäèìîñòè ÒÐÔ.

Åãî ïðèäóìàë Ôåéåð â íà÷àëå XX âåêà.∞PÂîçüìåì íåîòðèöàòåëüíûé ñõîäÿùèéñÿ ðÿä: bn ≥ 0, ∀n ∈ N,bn - ñõîäèòñÿ.n=1Êàêîé èìåííî - ðåøèì ïîòîì, ïîêà ïðîâåäåì èññëåäîâàíèÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî bn∞PÏðè x ∈ [0, π] ôóíêöèþ îïðåäåëèì: f (x) =bn sin nx,n=1|bn sin nx| ≤ bn ⇒ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî íà [0, π] ⇒ f ∈ C[0, π]Ïðè x ∈ [−π, 0] äîîïðåäåëèì ÷åòíûì îáðàçîì: f (−x) = f (x) ⇒ f ∈ C[−π, π], f (−π) = f (π)×àñòè÷íàÿ ñóììà ÒÐÔ ôóíöèè f(x) â íóëå:Sk (f, 0) =aj =2πRπa02+ a1 + · · · + ak , ò.ê. ñèíóñû íå äàþò âêëàäà ïðè x = 0f (x) cos jx dx = { f (x) cos jx =0ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü} =1π∞Pn=1bnRπ∞Pn=1bn sin nx cos jx − ñõîäèòñÿ àáñ. è ðàâíîìåðíî, ìîæåì2 sin nx cos jxdx =01π∞Pn=1bnRπ(sin (n − j)x + sin (n + j)x)dx0Ïîñëå ïåðåãðóïïèðîâêè ïîëó÷èì:∞RπPSk (f, 0) = π1bn [sin nx + sin (n − 1)x + sin (n + 1)x + sin (n − 2)x + sin (n + 2)x + · · ·n=10· · · + sin (n − k)x + sin (n + k)x]dx =ãäå βnk =1πRπ∞Pn=1bn βnk ,[sin nx + sin (n − 1)x + · · · + sin (n − k)x + sin (n + k)x]dx0Ïîêàæåì,÷òî βnk ≥ 0 ∀ n, k ∈ N :Åñëè n ≥ k , òî â [...] âõîäÿò sin mx, m ≥ 0 ⇒ βnk ≥ 0Åñëè n < k , òî [sin (n − k) + · · · + sin (k − n)x + sin (k − n + 1)x + · · · + sin (k + n)x] =|{z}0= sin (k − n + 1)x + · · · + sin (k + n)x ⇒ βnk ≥ 0∞Pbn ≥ 0, βnk ≥ 0 ⇒ Sk (f, 0) =bn βnk ≥ bk βkkn=1¯π2kRπRπ Pm¯sin jx]dx = { sin mxdx = − cosmmx ¯ = 1−(−1)βkk = π1 [≥ 0, m ∈ N } =m0 j=10011= π2 (1 + 13 + · · · + 2k−1) > π2 ( 12 + 41 + · · · + 2k) = π1 (1 + 12 + · · · + k1 ) ≥14 π1Sk (f, 0) ≥ bk βkk ≥(Âîçüìåì bk =31m20bk ln kπ31dxx=ln (k+1)π∞∞PPk = 2m1, bk ≥ 0, ∀k ∈ N,bk =- ñõîäèòñÿm2ïðè îñòàëüíûõ km=1k=1ïðè k = 2m : Sk (f, 0) ≥bk ln kπ≥1 1π m2m→+∞3ln 2m = π1 m ln 2 −→ +∞,çíà÷èò Si (f, 0) íå ìîæåò èìåòü êîíå÷íîãî ïðåäåëà14k+1Räîêàçûâàåòñÿ ãðàôè÷åñêè èëè îöåíêîé èíòåãðàëà37>ln kπÂäàëåêå îò ôîðìàëüíîñòåé (ðåäàêòîðñêèé áðåä)Êàê óæå íàìåêàëîñü, ÎÍÑ ÿâëÿþòñÿ â íåêîòîðîì ñìûñëå ñ÷åòíûì ïðîäîëæåíèåì èäåèÎÍÁ â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå ìû èññëåäîâàëè ðàçëîæåíèå ïî ïðîèçâîëüíîìó áàçèñó, ñâåäÿçàäà÷ó íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ê ðåøåíèþ ÑËÀÓ, äîêàçàëè ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòüðàçëîæåíèÿ. áåñêîíå÷íîìåðíîì ìû ñðàçó ïåðåøëè ê ÎÍÑ, ò.ê.

åäèíñòâåííûé äëÿ íàñ ñïîñîá ïîëó÷èòüêîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ - ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.Ðàçëè÷íûõ ÎÍÑ â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ìîæåò áûòü âåëèêîå ìíîæåñòâî (îäíèïåðåñòàíîâêè ïîðÿäêà âåêòîðîâ â ÎÍÑ è âûáîð ïîäñèñòåì 15 äàþò êîíòèíóóì âàðèàíòîâ ).Èç ïðèìåðà ñ ïîäñèñòåìàìè ñëåäóåò ïðîñòàÿ ìûñëü - ðàçëîæåíèå ýëåìåíòà íå ïî âñåì ÎÍÑáóäåò ñòðåìèòüñÿ ê íåìó ïî íîðìå, ò.å. ðàçëîæåíèå íå áóäåò àäåêâàòíûì .Ïîýòîìó ìû ââåëè ïîíÿòèå çàìêíóòîñòè ÎÍÑ - ïîòðåáîâàëè ñóùåñòâîâàíèå16 ðàçëîæåíèÿäëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà. Ñ îäíîçíà÷íîñòüþ ðàçëîæåíèÿ ïðîáëåì íåò - ÷èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿïðîâåðèòü, ÷òî äâà ðàçëè÷íûõ ðàçëîæåíèÿ ïî ÎÍÑ íå ìîãóò ñòðåìèòüñÿ ê îäíîìó ýëåìåíòóïî íîðìå.Íî â ïî÷òè åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå åñòü ïðîáëåìà - îäèí ðÿä ìîæåò ñîïîñòàâëÿòüñÿ äâóìðàçíûì ýëåìåíòàì f è g: kf − gk = 0 (íàïðèìåð, ôóíêöèè, îòëè÷àþùèåñÿ â îäíîé òî÷êå), ÷òîîçíà÷àåò íåâîçìîæíîñòü ïî ðÿäó Ôóðüå îäíîçíà÷íî âîññòàíîâèòü ýëåìåíò.

Характеристики

Список файлов лекций