Домрина. Лекции (2009) v4.0 (1118430), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ïîëíîòà ôàêòè÷åñêèîçíà÷àåò âîçìîæíîñòü ïî ðÿäó âîññòàíîâèòü ýëåìåíò (ïðèìåð : òðèã. ñèñòåìà ïîëíà â Ñ̂[−π, π]- ðÿäó Ôóðüå ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ôóíêöèÿ 17 , õîòÿ îí ê íåé íå îáÿçàí ñòðåìèòüñÿäàæå ïîòî÷å÷íî).Íó à èíòåãðàë Ôóðüå - ýòî êîíòèíóàëüíîå ïðîäîëæåíèå âñå òîé æå èäåè.Ââåäåì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äëÿ êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé, îïðåä. íà X ⊂ R18Z(f, g)X = f (x)g(x)dxXòîãäà ðÿä Ôóðüå: f (x) Ãèíòåãðàë Ôóðüå: f (x) Ã+∞Pk=−∞+∞R−∞fˆk ψk (x) fˆk = ( f, ψk )[−π,π] , ψk (x) =fˆt ψt (x) dtfˆt = f, ψt )R ,ψt (x) =√12π√12πeikx , (ψi , ψj ) = δijeitx ,(ψt1 , ψt2 ) = δ (t1 − t2 ) - äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà (îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ).19Ïî ñóòè, ìû íàïèñàëè ðàçëîæåíèå ïî êîíòèíóàëüíîé ñèñòåìå ôóíêöèé ( ÿçûê ÷åøåòñÿñêàçàòü - êîíòèíóàëüíîìó áàçèñó - íî íåò, óäåðæóñü).15ïîäñèñòåìîé16ÎÍÑ {ψi } íàçîâåì {ψki } - êîòîðàÿ òîæå áóäåò ÎÍÑÏðîñòî ðàçëîæåíèå ïî ÎÍÑ åñòü âñåãäà - òåïåðü ÿ ïîäðàçóìåâàþ àäåêâàòíîå ðàçëîæåíèå, êîòîðîå áóäåòñòðåìèòüñÿ ê ñâîåìó ýëåìåíòó ïî íîðìå17Äîãàäàëèñü, êàê å¼ âîññòàíîâèòü ïî ðÿäó Ôóðüå? Ýòî íåïëîõàÿ çàäà÷êà äëÿ ïðîâåðêè ïàìÿòè.18Çäåñü è äàëåå îïóùåíû âñå òðåáîâàíèÿ íà ôóíêöèè, âàæíûå äåòàëè â äóõå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà,åãî âîçìîæíîé íåðèìàíîâîñòè, âîçìîæíîé ïðèíàäëåæíîñòè îáðàçà Ôóðüå ê îáîáùåííûì ôóíêöèÿì - ÿíå ïðåòåíäóþ íà ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòðîãîñòü19Ïðî äåëüòà-ôóíêöèþ ìîæíî ñêàçàòü ìíîãî èíòåðåñíîãî - ïîýòîìó ÿ ïîìîë÷ó, à åñëè âàì èíòåðåñíî - âûñàìè âñå óçíàåòå.
Ýòî êîíòèíóàëüíàÿ çàìåíà äåëüòû Êðîíåêåðà. Êñòàòè, íå ïûòàéòåñü äîêàçàòü ýòîðàâåíñòâî - áåç ðåãóëÿðèçàöèè èíòåãðàëà (ëèáî óñëîâèé íà ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé) ýòî áåçíàäåæíî.38À çà÷åì? (ðåäàêòîðñêèé áðåä)×àñòî ó ñòóäåíòîâ ïåðâîãî êóðñà âîçíèêàåò ëîãè÷íûé âîïðîñ: È çà÷åì ýòî âñå?.Êî âòîðîìó êóðñó ýòîò âîïðîñ çà÷àñòóþ îòïàäàåò - ïðàâäà, íå èç-çà òîãî, ÷òî îòâåò áûëíàéäåí. Ïîïûòàåìñÿ íåìíîãî ðàçâåÿòü îùóùåíèå èäåàëüíîé áåñïîëåçíîñòè• Âîçüìåì ñëó÷àéíóþ îäíîìåðíóþ âåëè÷èíó, èìåþùóþR ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f(x).è å¼ õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ χ(t) = E eitX = eitx f (x)dx - óçíàåì â íåé ÔóðüåRîáðàç ïëîòíîñòè.Íó à â ôîðìóëå îáðàùåíèÿ - îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå.
À åñëè ïëîòíîñòè, ò.å. ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F(x) íåò? Íàïðèìåð,ó íàñ äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà? Ñðåäè îáû÷íûõ ôóíêöèé ïðîèçâîäíîé íåò. À ñðåäè îáîáùåííûõ åñòü - ïðè ýòîìÔóðüå-îáðàçîì îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé áóäåò îáû÷íàÿ ôóíêöèÿ.Ïðàâäà, âñ¼ ýòî (è îáîáùåííûå ôóíêöèè, è ìàòîæèäàíèå) - ëèøü çàìàñêèðîâàííûéèíòåãðàë Ëåáåãà• Èíòåãðàë Ôóðüå (ìíîãîìåðíûé) ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîéôèçèêè, èñïîëüçóþùèõ îïåðàòîð Ëàïëàñà (èíîãäà ïîçâîëÿÿ íàéòè ôóíäàìåíòàëüíóþñèñòåìó ðåøåíèé)Óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè, äèôôóçèèÓðàâíåíèÿ ñòðóíû, ìåìáðàíû (óðàâíåíèÿ âîëíîâûõ ïðîöåññîâ)Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ýâîëþöèè êâàíòîâîé ÷àñòèöûÑèñòåìà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà â âèäå äëÿ 4õ-ïîòåíöèàëà ñ êàëèáðîâêîé Ëîðåíöà• Ðÿäû Ôóðüå è èíòåãðàëû Ôóðüå âàæíû ïðè ÷àñòîòíîì àíàëèçå ñèãíàëà - íà ñàìîìäåëå, îíè ïðîñòî ðàñêëàäûâàþò ôóíêöèþ íà ÷àñòîòûÏåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè ðàñêëàäûâàþòñÿ ïðè ïîìîùè ðÿäà Ôóðüå ïî âîëíàì (âîëíîâûìôóíêöèÿì) êðàòíûõ ÷àñòîò (è òîëüêî ïî íèì!).
Êñòàòè, ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ â äàííîìñëó÷àå èìååò ôèçè÷åñêèé ñìûñë àääèòèâíîñòè ýíåðãèè âîëí ðàçíûõ ÷àñòîò. 20• Ðÿäû Ôóðüå ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ êîìïàêòíîãî è óäîáíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ èçîáðàæåíèéè çâóêîâîãî ñèãíàëà - ïî ñóòè, õðàíèòñÿ ïðîñòî êîíå÷íàÿ ñóììà ðÿäà Ôóðüå. Ñîãëàñèòåñü,çâóê ( âîëíó ïî ñâîåé ïðèðîäå) è ïðåäñòàâëÿòü ëîãè÷íåå â âèäå âîëí. Çàîäíî âûïîëíÿåòñÿäðóãàÿ âàæíàÿ çàäà÷à - îòñåÿíüå ñêà÷êîîáðàçíûõ øóìîâ.  êà÷åñòâå òðåíèðîâêè ïðåäëàãàþâñïîìíèòü äðóãèå ìåòîäû àïïðîêñèìàöèè, è ïîíÿòü, ÷åì îíè â äàííîì ñëó÷àå ëó÷øåèëè õóæå.20Êîëè óæ êîñíóëñÿ - ó èíòåãðàëà Ôóðüå åñòü ðàâåíñòâî, àíàëîãè÷íîå ðàâåíñòâó Ïàðñåâàëÿ.Òîëüêî îíî íàçûâàåòñÿ ñâîéñòâîì ñîõðàíåíèÿ L2 -íîðìû.39Âîîáùå îá ýòîì êóðñå (ðåäàêòîðñêèé áðåä)Êóðñ äîâîëüíî óçêèé è îáùèïàííûé äî ìèíèìóìà - òîãî ìèíèìóìà, êîòîðîãî äîñòàòî÷íî,÷òîáû ïðèíèìàòü ýêçàìåí.
Ïðè ýòîì îí íåñîäåðæàòåëåí - âûáîð ìàãè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ,ðàçáèåíèå ðàçíèöû äâóõ ôóíêöèé íà 3,4,5 èíòåãðàëîâ(ïî æåëàíèþ), îöåíêà ïîäûíòåãðàëüíîãîâûðàæåíèÿ ñâåðõó - ÿâíî íå òå ìåòîäû, êîòîðûå íàäî âûó÷èâàòü ñòóäåíòó.21 Îòäåëüíûìïóíêòîì - îòñóòñòâèå îáúÿñíåíèé ëîãèêè â äîêàçàòåëüñòâàõ, õîòÿ ëîãèêà â êóðñå äåéñòâèòåëüíîåñòü è îíà õîðîøî ïðîäóìàíà.ß áû ñ îãðîìíîé ðàäîñòüþ ïåðåêðîèë ìíîãèå âåùè â êóðñå.
Âîò òå âåùè, êîòîðûå ÿ áûèçìåíèë:1. Äîáàâèë áû ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ôóíêöèé, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà (òàê ñäåëàíî â ÈÑÑ ). Íåãîæå ïðîõîäèòü ìèìî ýòîãî ïóíêòà è ñðàçó áåæàòü ê ñõîäèìîñòèèíòåãðàëîâ - âñå ðàâíî, ÷òî ïðîõîäèòü ðÿäû áåç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
Íåïëîõî áûäîáàâèòü ïðåäåë, ïîðîæäåííûé ìåòðèêîé - ñòðàííî îñòàâëÿòü íà òðåòèé êóðñ òî, ÷òîíàäî áûëî ïðîéòè íà ïåðâîì.2. Äîâîëüíî ñåðüåçíîé ïåðåðàáîòêè òðåáóåò ôðàãìåíò, ïîñâÿùåííûé ÿäðàì Äèðèõëå èÔåéåðà. Ïðèíÿòûå íàìè ÿäðà íåóäîáíû, è ñìûñë îò ýòèõ îáîçíà÷åíèé ïðàêòè÷åñêèòåðÿåòñÿ, íî ýòî äàíü òðàäèöèè, ñòàðîé íåäàëüíîâèäíîé òðàäèöèè.
Äàëåå, âìåñòî çàíóäíîãîâûïèñûâàíèÿ äîêàçàòåëüñòâ äåñÿòêîâ ëåìì/ñëåäñòâèé/òåîðåì î ñõîäèìîñòè ñóìì, êóäàêàê ïîëåçíåå áûëî áû ïðîñòî ïîñìîòðåòü íà ýòè ÿäðà è èõ ïîâåäåíèå â îêðåñòíîñòèíóëÿ è âíå å¼ - ýòî ïðîëèâàåò ñâåò íà ïîâåäåíèå ÷àñòè÷íûõ ñóìì. Âìåñòî ýòîãî â êóðñåïðåäëàãàåòñÿ ó÷èòü îãðîìíîå êîëè÷åñòâî àáñîëþòíî íåçàïîìèíàåìîãî òåêñòà. Ñâåë áû1 sin Ruïîä åäèíûé çíàìåíàòåëü è èíòåãðàë Ôóðüå, ââåäÿ èíòåãðàëüíîå ÿäðî : IR (u) = 2πu/2 .Êñòàòè, ñðàâíèòå ñ èñïðàâëåííûì ÿäðîì Äèðèõëå: Dn (u) =1 sin(n+1/2)u2πsin u/2 .3. Èñïîëüçîâàòü ñèíóñû è êîñèíóñû - ýòî áåçâêóñíî.
Ïîä÷àñ òå æå ìàãè÷åñêèå (äëÿ âåùåñòâåííîãîñëó÷àÿ) äîêàçàòåëüñòâà â êîìïëåêñíûõ ÷èñëàõ è êîðî÷å, è ïîíÿòíåå, è êðàñèâåå. Ëó÷øåçàïîìíèòü îäíó ôîðìóëó äëÿ êîìïëåêñíîãî ñëó÷àÿ, ÷åì 5 äëÿ âåùåñòâåííîãî. 22 Âäîáàâîê,â êîìëåêñíûõ ÷èñëàõ ïðîùå óâèäåòü ñõîäñòâî èíòåãðàëà è ðÿäà Ôóðüå (íàïðèìåð, óðÿäà Ôóðüå â êîìïëåêñíîé ôîðìå òîæå íàäî ñ÷èòàòü ãëàâíîå çíà÷åíèå ðÿäà). Âîîáùå,ìíå êàæåòñÿ, äàæå ïîñëå 2õ êóðñîâ ìîæíî ïîíÿòü, ÷òî sin è cos - ýòî âñåãî ëèøüïîðîæäåíèÿ ìíèìîé ýêñïîíåíòû, íå âëåçàþùåé â R. Äàëåêî íå âñåãäà ñòîèò ñðàçóîâåùåñòâëÿòü ðåøåíèå.4.
Ïîêàçàë áû ðîäñòâåííóþ ñâÿçü Ðÿäà Ôóðüå è Ðÿäà Ëîðàíà, à òàêæå Èíòåãðàëà Ôóðüåè Èíòåãðàëà Ëàïëàñà.Íî ìåòîäè÷êà ïèñàëàñü äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîìî÷ü ñäàòü ýêçàìåí. Òàê ÷òî - óâû, íî ïðèäåòñÿîñòàâèòü âñ¼ òàê äî ëó÷øèõ âðåìåí.21Òåïåðü,22êîãäà ÿ ñäàë, íàêîíåö, âñå 4 ñåìåñòðà ìàòàíàëèçà, ÿ ìîãó ãîâîðèòü î íåì âñ¼, ÷òî äóìàþ.Êñòàòè, ïîïðîáóéòå íàïèñàòü â ñèíóñàõ è êîñèíóñàõ ìíîãîìåðíûé ðÿä (èëè èíòåãðàë) Ôóðüå.Ïî÷óâñòâóéòå ðàçíèöó.40Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó,ôàêóëüòåò ÂÌèÊ, 4é ñåìåñòðËåêöèè ñîñòàâëåíû ïî êóðñó Äîìðèíîé Àëåêñàíäðû Âëàäèìèðîâíû,ïðî÷òåííîìó íà òðåòüåì ïîòîêå ÂÌèÊ â 2009 ãîäó20 ñåíòÿáðÿ 2009 ã.Ïå÷àòíàÿ âåðñèÿ ëåêöèé ïîäãîòîâëåía ñòóäåíòàìè 217-é ãðóïïû:Ðîãîæíèêîâ Àëåêñåé( ðåäàêöèÿ, âåðñòêà, ñèíõðîíèçàöèÿ ðàáîòû )Ñòðåëêîâñêèé Íèêèòà( îñí. TEX- íàáîð)Ôåäîðîâà Ñàøà( àâòîð ðóêîïèñíîãî âàðèàíòà, ïîèñê îïå÷àòîê)Ìîë÷àíîâ Àëåêñàíäð( TEX- íàáîð ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
