Главная » Просмотр файлов » Т.А. Леонтьева, В.С. Панферов, В.С. Серов - Задачи по теории функций комплексного переменного с решениями

Т.А. Леонтьева, В.С. Панферов, В.С. Серов - Задачи по теории функций комплексного переменного с решениями (1118152), страница 6

Файл №1118152 Т.А. Леонтьева, В.С. Панферов, В.С. Серов - Задачи по теории функций комплексного переменного с решениями (Т.А. Леонтьева, В.С. Панферов, В.С. Серов - Задачи по теории функций комплексного переменного с решениями) 6 страницаТ.А. Леонтьева, В.С. Панферов, В.С. Серов - Задачи по теории функций комплексного переменного с решениями (1118152) страница 62019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

HEI1PEPbIBHOCTbIlycTb MHO)!(eCTBOz cc -330611aCTh orrpe):(eJieHl15I ¢YHKU:11Hf,(z) 11 fiz), a Zo - npe.uenhHaH TOqKa MHO)!(ecrna Z. Tor.ua, ecmi:cyw,ecrny10T KOHeqH&Ie npe.ue11&H&1e 3Haqemrn cpyHKu11H:f1(z) 11f2(z)B TQqKe Zo, TO cyw,ecTByFOT KOHeqH&Ie rrpe.ueJibHbie 3HaqeHl15! cpyHKu11H:f1 (z) ±fz(z), f1(z)J2(z) B TOqKe Zo 11lim(J; (z) ± f 2 (z)) = lim J; (z) ± lim f 2 ( z),:-+:o.::-+:o:-+:olim(J; (z) · f 2 (z))z-+.:o=:-+:alim J; (z) · lim f 2 (z).:-+:oEcJI11, KpOMe Toro, rrpe.unoJIO)!(Jffh, qTo lim f 2(z)-:!- 0, TO cyw,ecrny:-+.:oeT KOHeqHoe npe.ueJI&Hoe 3HaqeH11e cpyHKu1111J; (z) · f 2- 1(z)11lim (J; (z) · f 2- 1(z)) = lim J; (z) · (lim f 2 (z)) - 1•::-+.:::oIlycTb MHO)!(eCTBO~-+.:oz cceCTh 0611aCTh onpe):(eJiemrn cjJyHK-u:1111.ftz), a TOqKa Zo E Z RBm1eTC5! rrpe,neJI&HOM .UJIR Z. <PyHKU115!.ftz)Ha3&rnaeTC5! 1-1enpepbl61-1ou B mO'-lKe ZQ, ecmr lim f (z) = f(z 0).

He.::-+:o=npepbIBHOCTh B TOqKe Zo 00 03HaqaeT cyrn,eCTBOBaH11e KOHeqttoronpe.ueJibHOfO 3HaqeHl15I B TOqKe Zo = 00.<PyHKUl15I, HerrpepbIBHa5I B Ka)!(,UOM TOqKe MHO)!(eCTBa3hIBaeTC5I HenpepbZBHOU Ha MHO:J/Cecmee Z.=z cc, Ha-=ITycTh f(z)u(x,y) + iv(x,y), z x + iy. ,n:1151 rnro, qrn6b1¢YHKU:115I .ftz) 6bma HenpepbIBHOH B TOqKe ZQ, Heo6XO.U11MO 11 .UOCTaToqHO, qT06b1 .ueH:CTBMTeJibHbie cpyHKUl111 u(x, y) 11 v(x, y) nepeMeHHbIX x, y 6&IJil1 HenpepbIBHhI B TOqKe (xo, Yo).Ern11 cpyHKUl111 J, (z) 11 f2(z) HenpepbIBHbl B TOqKe Zo.

TO cpyHKUHHfi(z) ±f2(z),J1(z)J2(z) HJ; (z) · f 2- 1 (z)(ecJIH Ji(:zo)i- 0) Herrpep&IBHhIB TOqKe ZQ.IlycTh cpyHKU115! .ftz) onpe.ueJieHa Ha MHOJKecrne Z H Herrpep&rnHas ToqKe Zo E Z, a cpyHKUl15! g(w) orrpe,neJieHa Ha MHOJKecrne 3HaqeHl1H cPYHKUl111 flz) 11 HerrpepbIBHa B TOqKecpyHKUIUl g(j(z)) ttenpepbIBHa B TOqKe ZQ.CDo=.ft:zo). Tor.ua CJI0)!(Ha5!I'Jzaea 334cDyttKU115I f(z), orrpe.ueJieHHa5I Ha MHO:>Kecrne Z c C , Ha3hJBaeTrn02paHuttem-t0il Ha Z, ecJI11 3M> 0: 't/z E Z =>If (z)M.

CrrpaBe.u-I<JIHBa cJie.uy10rua5I TeopeMa.TeopeMa. Bc5IKa5I HenpephrnHa5I Ha KOMrraKTe Z c C cpyHKUl15I5IBJI5IeTC5I orpaH11qeHHOH Ha 3TOM KOMJlaKTe, a ee MO.UYJih .uocniraeTHa MHO:>Kecrne TOqHo:H BepxHeH H HH:>KHeH rpaHeH<PyHKUH5I f(z) Ha3bJBaeTC5I pa61io.11tepHO Henpepbl6HOU Ha MHO:>Ke-zCTBezcC , ecmi:'tf £ > 0 35(£) > 0 :'tfz" z2E Z, I z,- z2 I< 5 =>If (z, )-f (z2 )I<&.CnpaBe.UJIHBa cne.uy10rua5I TeopeMa.TeopeMa KattTopa.

HerrpephIBHa5I Ha KOMrraKTe cpyHKUH5I paBHOMepHo HerrpepbIBHa Ha 3TOM KOMilaKTe.Mooylle.M Henpepbl6Hocmu w(j, 8) cpyHKUHH j(z), onpe.ueJieHtto:HHa MHO:>KeCTBez c c , Ha3hJBaeTC5I QJYHKUH5I nepeMeHHOro 8 > 0 BH,Uaw(f ,5) = sup1:,-:,l<dIJ( zJ - f(z 2 ) J.: 1.:,EZ<PyHKUH5If(z) paBHOMepHO HenpepbIBHa Ha MHO:>Kecrne z cc Tor.ua11 TOJibKO Tor.ua, Kor.ua ee MO.UYJib HerrpepbIBHOCTH w(j, 8) Ha3TOM MHO)l(eCTBe CTpeMI1TC5I K 0 rrp11 8 - +O.3JieMeHTapHbie QJYHKU.HH KOMUJieKCHOro nepeMeuuoro1. <PyHKUH5I P,,( z) = a0 z'' + a,z''- 1+ ... + a 11 , r.ne ak, k = 0,1, ...

, 11 ,KOMilJieKCHbJe q11cna Haoi- 0, Ha3hIBaeTC5IMH020l/JleHOM CTerreHH 11.2. <t>yHKUH5I R( z) =a0 z 11 + ... +a11b0 z'" + ... + b, 11,r.ue a0 7' 0, b0 7' 0, Ha3hrnaeTC5IpatfUOHGJlbHOU rjJyHKL/Ueii.3. <PyHKUH5I e: =e'(cosy+isiny), z =x+iy, Ha3hrnaeTc5I 110Ka3antellbHoii.4. Tpu20Ho.11temputtecKue rjJyHKtfuu:sin z = (e;: _ e-i: ) I 2i, cos z = (e;:+ e-i:) / 2,sm zcosztg z = - - , ctgz =-.- .coszsm z5. I'u11ep60JnttteCKUe rjJyHKtfUU:<DYHKIJJU1 KOMI1JIEKCHOro I1EPEMEHHOro. HEI1PEPhIBHOCThe + e0ch z =023.1 .

.il:OKa3aTbsh z =e0e-:-2sh zch zth z = - - , cth z = - - .ch zsh z3KBl1BaJieHTHOCTb orrpe.n:eneHHH rrpe.n:eJibHOro 3Ha-qeHH5I cpyttKU:HH s ToqKe ITO Koum 11 ITO3.2. Jl:oKa:JaTb35f ei1:tte.Kp11Tep11i1: Koum cyruecrnosatt115I Kotteqttoro ITpe-.n:eJibHOro 3HaqeHH5I cpyHKU:HH B TOqKe.3.3. IIycTbToqKa z 0 EcpyHKU:H5If(z) oITpe.n:eneHa Ha MHO)Kecrne Z c C HZ.

Jl:oKa3aTb, qTo ecn11 cyruecrnyeT KOHeqHoe ITpe.n:enb-Hoe 3Haqemre cpyHKWIH j(z) B ToqKe Zo, TO ttai1:.n:eTC5I OKpeCTHOCTbTOqK11 Zo, ITp11Ha;:i:Jie)Karua5IZ, Ha KOTOpOH cpyHKU:115Ij(Z) orpaH11qeHa.3.4 . .il:OKa3aTb, qTo eCJil1 cpyHKU:115I f(z) HeITpepbIBHa Ha MHO)KeCTsez cc ' TO cpyHKU:115I [f(z)I TaK)Ke HeITpepbIBHa Ha z.3.5. IIycTb TOqKa z 0 = oo 5IBJI5IeTc5I rrpe.n:enbHOH )1JI5I MHO)KeCTBa ZH cpyHKU:H5I f(z) HeITpepbIBHa HapaHHt-IeHa Ha Z?= oo 5IBJI5IeTc5I ITpe.n:enbHOH )1JI5I MHO:>KeCTBa Z,3.6.

IIycTb ToqKa zcpyHKU:H5I f(z) HeITpepbIBHa Halim:--->co, :EZfz. Cne.n:yeT JIH OTCIO)la, qTO f(z) or-Z11 cyruecrnyeT KOHeqHbIH ITpe.n:en( z) . Cne.n:yeT JIH OTcIO.n:a, qrn j(z) orpaH11qeHa Ha3.7. Jl:oKa3aTb,qTQ eCJIH cpyHKU:115If(z) HeITpepbIBHa Ha5IBJI5IeTC5I orpaHHqeHHOH Ha3.8. IIycTbcpyttKU:H5I HeITpepbIBHa Ha MHO)Kecrnezc cJl:oKa3aTb,qToTOe MHO)KeCTBO 1133.11. Jl:oKa3aTb,OHaHeITpepbIBHa5IZ c C.Cneny-Z?Ha3aMKHYTOMciJyHKUH5I 5IBJI5IeTC5I orpaHHqeHHOH Ha3.10 . .D:oKa3aTb,c' TOc.eT n11 oTcIO.n:a, qTo OHa orpaHH'IeHa Ha3.9.Z?MHO:>KeCTBez.YTO HeITpepbIBHa5I cpyHKU:H5I rrepeBO)lHT 3aMKHY-cB 3aMKHyroe MHO)l(eCTBO.qTo ITp11 oT06pa:>KeH1111, ocyruecTBJI5IeMOM HeITpe-pbIBHOi1 cpyHKU:HeH, o6pa3 KOMIIaKTa 5IBJI5IeTC5I KOMIIaKTOM.3.12 . .D:oKa3aTb,qTO rrp11 0To6pa)KeH1111, ocyruecTBJI5IeMoM HeITpe-pbrnHoi1 cpyHKU:HeH, npoo6pa3 OTKpbITOro MHO:>KeCTBa 5IBmieTC5I OTKpbITbIM, ITpoo6pa3 3aMKHYTOro MHO:>KeCTBa 3aMKHyT.Dwea 3363.13.

IIoKa3aTh, qTo yrnep:>K.uem1e o TOM, qTo npH HenpephIBHOMOT06pa:>KeHHH o6pa3 OTKpbITOfO MHO:>Kecrna OTKpbIT, HeBepHO.3.14 . .1J:oKa3aTh TeopeMy KaHTopa.3.15 . .1J:oKa3aTb, qTO eCJIH cpyHKUI15l fi.z) HenpepbIBHa HaOHa paBHOMepHO HenpepbIBHa Hac'TOc.3.16. IIycTh cpyHKUH5I paBHOMepHo HenpephrnHa Ha MHO:>KecrneZc C . Cne.uyeT JIH OTCIO.Ua, qTo oHa orpaH11qeHa Ha Z?3.17. IIycTh cPYHKUHH paBHOMepHo HenpephIBHa Ha Ka:>KJJ:OM H3MHO:>Kecrn Z1H Z2. Cne.uyeT JIH 0Tc10.ua, qrn oHa 6y.ueT paBHOMepHoHerrpepbIBHa Ha MHO:>Kecrne Z 1U Zi?3.18. IIycn; cpyHKUHH pasHoMepHo HerrpephrnHa Ha Ka)l(JJ:OM mKOMrraKTOB Z 111 Z2. Cne.uyeT JIH 0Tc10.ua, qTo oHa 6y.ueT paBHOMepHoHenpepbIBHa Ha MHO)l(ecrne Z 1U Z 2?3.19.

BepHo JIH yrnep:>K.UeHHe o TOM, qrn HenpepbIBHaH Ha 3aMKttyroM MHO:IKCCTBC cpyttKQH>I >IBJI>ICTC>I paBHOMeptto ttenpepbIBHOH na3TOM MHO)l(eCTBe?3.20. IIp11secTH npHMep HenpepbIBHOH H orpaH11qeHHOH Ha MHO)l(eCTBecpyHKUHH, He HBJIHIOIUeHCH paBHOMepHO HenpepbIBHOH Ha3TOM MHO)l(eCTBe, eCJIH:zz2) z 1)orpaH11qeHHOe MHO)l(eCTBO;HeorpaHHqeHHOe MHO:>KeCTBO.3.21. IIycTb TOqKaZo= 00 HBJIHeTCH npe.ueJibHOH .[(JIH MHO:>Kecrnaz cc ' cpyHKUH5l fi.z) HenpephIBHa Ha z I1 cyrn;ecrnyeT KOHeqHbIHrrpe,n:en lim f (z).

Crre,n:yeT JIH 0Tc10,n:a, qTQ cpyHKUH5I fi.z) pas.:-+ooHOMepHo HerrpepbIBHa Ha Z?3.22. IIycTh TOqKa z0 = oo HBJIHeTCH npe.neJihHOH .[(JIH MHO)l(ecTBaZ c C .If cpyHKUHHfi.z) paBHOMepHo HenpephIBHa Ha Z. Crre,n:yeT JIHOTCIO,n:a, qTo cyrn;ecrnyeT KOHeqHhIH npe,n:err limf(z)?::~oo3.23. IIycTh Z - orpaH11qeHHOe MHO)l(eCTBo, a Z - ero 3aMhIKaHHe . .ll:oKa3aTb, qTO ,[(JIH TOfO qrnfar cPYHKUHH fi.z), orrpe,n:eJieHHaH HHenpepbIBHaH Ha Z, Morna 6hITh npo.uon:>KeHa Ha Z .uo HenpepbIBHOH<l>YHKUI1l1 KOMTIJIEKCHOro TIEPEMEHHOro. HEITPEPbIBHOCTb37<i>YHKUl111, Heo6XO)J,11MO 11 )J,OCTaTOqHo, qrnfa1.f(z) 6bma paBHOMepHOHenpepbIBHOH Haz.3.24.

IIycTb <i>YHKUl15I j(z) onpe.ueJieHa Ha MHO:>Kecrne Z c C 11ro(j, 8) - ee MO.UYJib HenpepbIBHOCTl1. ,[(oKa3aTb, qTQ )J,JI5I paBHOMepHOH HenpepbIBHOCTl1 cpyHKUl111 j(z) Ha MHO)KeCTBe.UOCTaTOqHo, qrnfa1 lim (J)(j' <5) = 0.z He06XO.U11MO 11a·-->+O3.25. ,[(OKa3aTb, qTQ cpyHKUH5I e= o6Jia.uaeT CJie,UyIOIU11MH CBOHCTBaMH:1) e=1 • e='=e=,+=,;2) Ie= I= eRe:;23) e=+ k1ri =e=,k=O,±l,±2, ... ;4) e=-:t-0,zEC;S)ecJIH e= =e=+',,, TO (J)=i2k1l, k=0,±1,±2, ...

;6) e= HenpepbIBHa Ha C ;7) He cyruecrnyeT lime= ;: ~oo8) e= npHHl1MaeT .uei1CTBl1TeJibHbie 3HaqeHl15I TOJlbKO B ToqKaxz = x + ink, x E R, k = 0, ±1, ±2, ....9) e= npHHHMaeT'IHCTO MHHMbie 3Ha'ieHH}I TOJlbKO B TO'!Kaxz = x + i( n/2 + nk), x E R, k = 0, ±1, ±2, ....10) e== e=.3.26. ,[(JIH cpyHKUl1H sin z 11 cos z .uoKa3aTb cJie.uy10m11e yrnep:>K,Uemrn:1) sin (-z) = -sin z, cos (-z) =cos z;222) sin z + cos z = 1;3) sin (z + k-rr) = (- l)k sin z, cos (z + nk)=(-llcosz,k=0,±1,±2, ... ;4) sin (z + n/2) =cos z, cos (z + n/2) = -sin z;5) sin (z1 + z2) =sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2,cos (z 1+ z2) =cos z 1cos z2 - sin z1 sin z2;6) sin z 1+sin z2= 2 sin ((z1 + z2) I 2) cos ((z1 - z2) I 2),cos z 1+ cos z2= 2 cos ((z1 + z2) I 2) cos ((z1 - z2) I 2);7) sin iz =i sh z, cos iz =ch z;8) eCJil1 Z = X + iy, TORe sin z = sin x ch y, Re cos z =cos x ch y,DwBa338Im sin z =cos x shy, Im cos z =-sin x shy9) ecm1z =x + iy, TOIsin z I = ~,-sh_1_y_+_s-in_1 _x,Icos z I = ~ch 2 y - sin 2 x ;2I sin z I= ~ch 2 y - cos 2 x, I cos z I= ~sh y+ cos 2 x10) )l.OKa3aTh, qTOecm1 sin z= 0, TO z = k11, k = 0, ±1, ±2, ...

,ecmi: cos z = 0, TO z = 11/2 + k11, k = 0, ±1, ±2, ... ;11) HaHTH MHO)KeCTBO TOqeK, B KOTOpbIX H sin z, H cos z rrpHHHMaIOT )l,eHCTBHTeJibHbie 3HaqeHmr;12) HaHTH MHO)KeCTBO ToqeK, B KOTOpbIX H sin z, H cos z rrpHHHMaIOT qHCTO MHHMhie 3HaqeHmI;13) .uoKa3aTh, qTo cpyHKUHH sin z H cos z HerrpepbIBHhI Ha C;14) .uoKa3aTh, qTO He cyruecrnyeT limsin z H lim cos z;:--+ooJl--+oo15) .uoKa3aTh, qTo .umr z = x + iy crrpaBe)l.JIHBhI HepaBeHcrnaIshy I~icosz I ~chy, Ishy l~lsinz l~chy;16) )l.OKa3aTb, qTo )l.JI5Isin z = sm z , cos z = cosz = x + iy crrpaBe)l,JIHBhI paBeHCTBaz3.27.

,[(JI5I cpyHKUHH tg Z H ctg Za) .uoKa3aTh cJie.uy10rutte yrnep)K.ueHtt5I:1) tg (-z) = -tg z,ctg (-z) = -ctg (z);2) tg (z + krr) = tg z, ctg (z +kn)= ctg z, k = 0, ±1, ±2, ... ;3) tg (z + 11/2) = -ctg z;4) tg (iz) =i th z, ctg (iz) = i cth z;5) eCJIH Z = X + iy, TOsin2xsin 2x,Retgz =, Rectgz =ch2y-cos2xcos2x+ch2ysh2ysh2yIm to7 = - - - - - - Imctg z = - - - - - o~ cos2x+ch2ych2y - cos 2x6) eCJIH Z = X + iy, TOltgzl=ch2y-cos2x,ch2y+cos2xIctg z I=ch 2 y + cos 2x .ch 2 y - cos 2x '<!>YHKUI1I1 KOMITJIEKCHOrO ITEPEMEHHOro.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6451
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее