Т.А. Леонтьева, В.С. Панферов, В.С. Серов - Задачи по теории функций комплексного переменного с решениями (1118152), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Crrpase;::i:JIHBbI cJie2ny10m11e pasettcrna:YroJI<p,cocrnsJieHHhIH pan11ycoM-BeKTopoM ToqKHz (z i= 0)c rro6I'J1aea 1JJO)l(HTeJJhHhIM ttanpasnett11eM oc11 Ox, Ha3hIBaeTc.sr ap2yMe1-11110Ar•rncna z. ApryMeHT onpeneneH c TOY:HOCThIO no cnaraeMoro 2nn,n = 0, ±1, ±2, ... , T. e. Argz={cp+2mi, nE z}. 3HaY:ett11e apryMeHTa, np11ttanne)l(aI.Qee nony11ttTepBany ( cp 0 , cp 0 + 2n], r;::i;e cp 0 - tteKOTopoe cpI1KCI1pOBaHHOe 3HaY:eH11e, Ha3bIBaeTC5I 2JZQ8HblAt 11 o603HaY:aeTC5I arg z. 06hrY:HO cp 0 = 0 n1160 cp 0 = -n. B nanhtteihueM non rnaBHhIM3HaY:emreM apryMeHTa 6yneM CY:I1TaTh 3HaY:ett11e apryMeHTa 113 nonyttHTepsana (- n, n].Ecn11 cp E Arg z, TO B03MO)l(HO npe;::i;crnsnett11e KOMnJJeKcttoroY:I1CJJa z B Bttnez = jzj (cos cp + i sin cp).TaKM 3an11ch Ha3hIBaeTC5I mpuzo1-10A1empul/,eCKou popA1ou KOMI1JleKCHOro '-II1CJJa. ,[Lrr5I z = 0 apryMeHT He onpe;::i;eneH, HO MOJlYJJh paseH 0.Cnpase,nJJHBhI cneny10I.Q11e cooTttoruemrn:z, = z~ ¢:? lz 1I =·lz2j.
cp 1 - <p2 =2nk, k E Z,zrz2 = jzd·lz2I (cos (<pi+ <p2) + i sin (<pi+ <pz),z,/z2 = lzd ! lz2I (z2 ic 0), (cos ( cp, - <p2) + i sin ( cp, - <p2), ,z" = jzj" (cos ncp + i sin ncp) (cp,EArg Z1> <p2EArg z2).HcnOJJh3Y5I pop.MyJZy 3iiJzepa eiljl = cos cp + i sin cp, nonyqaeM npencTasnett11e KOMilJJeKCHOfO Y:I1CJJa B s11nez =I z I e;",cp E Arg z.Cnpasenn11BhI pasettcrna:z,·z2 = jzd·lz2I e;<qi,+qi~J,z11zJ z2= (lzd / lz2I)= IzIll e,..e;cqi,-qi~J, z2-::fO,iwnKopHeM ttaTypanhHOH CTenemr n 113 KOMnJJeKcttoro Y:HCJJa zHa3bIBaeTC5I TaKOe Y:I1CJJO, KOTOpoe, 6ynyq11 B03BeneHHhIM B CTeneHb n';::i;aeT z. Ec1111 z -::j 0, 11MeeM pOBHO n pa3JJHY:HhIX 3HaY:eHHH KOpH5I"'zz ) ••. = lzl1111(Vei(qi+2trk)ln,k = 0, I, 2,. .., 11 - I,rne cp = arg z, jzj - MOJlYJih Y:HCJia z, aI z Il/n-apmpMeTHY:eCKHHKOpeHb.M1-102o'l.lle1-10.M CTenettH n, n = 0, 1, 2, ...
, Han noneM KOMnJieKCHhIXY:HCeJI Ha3bIBaeTC5I cpyttKU,1151 BHnaP11(z) = a" z" + a11-1 z"- 1+ ... + ao.KOMCTJIEKCHhlE Yl1CJIA 11 l1X CBOHCTBAa0 , a 1,r)le'IJieHaa,, -... ,P,,(z),7KOMIIJieKCHhre 'll1CJia - K03cpqrnu11eHThI MHoro-a,,rrp11'IeM=F 0. EcJI11 see Ko3cpcp11u11eHThI cyrh HyJI11, TOHyJZeBblAI A1H020l/JZeHOA1MHOrO'IJieH Ha3bJBaIOT11 ero CTerreHb He orr-pe,lleJieHa.OcHOBHaR meope.Ata a;z2e6pbl rnac11T, 'ITO mo6o:i1 MHOro'IJieH cTen 2: 1 Ha)l IIOJieM KOMIIJieKCHb!X 'll1CeJI 11MeeT pOBHO 11 HyJieH crreH11y'leTOM 11x KpaTHOCT11. Crrpase)lJil1BO cJie)ly10mee pa3JIO)l(eH11e MHOro'IJiettaP,,(z)(Kattott11l.fecKoe ero pa3JIO)l(emre tta)l rroneMF:,(z)=a,,TI~'= 1 (z-zkt',me4- KOpeHb MHOro'IJieHa P,,(z) KpaTHOCTJ1 ak~111=L,,k=l akPaccMOTp11M BY2R3= 1, 2, ...
, ZkC):*z, *[),(k1111 ·S c ueHTpoM s TO'IKe (0, 0, Y2) pa)l11ycaP(O, 0, 1) JIYl.f, rrepeceKa10m11:i1 ccpepy S BM(~, TJ, 0 H KOMITJJeKCHYIO IIJIOCKOCTb I:, = 0 BccpepyM rrpoBe)leM M3 TO'IKl1pOTJUl'IHOH OTTO'IKezTO'IKe= x + iy.npoeKL{ueuMESTo'IKaS. IlpttC-+S\P:TO'IKl1 z Hamwe oTo6pa)l(eHttexr;=--,,3TOM crrpase)lJIHBbI cpopMyJihI, 3a)laIO-t+I;=--,1+ I z 1-;:!'S\P-+C:,;x=--,1-£"Ha3bJBaeMbieI z I'y1]=--,,t+I ;:I·H o6paTHOe OT06pa)l(eHMecmepeo2parjJul/eCKOUHa3bJBaeTcs:i17y=-- (~ '#1),l-£"rjJop,11y;zaAtu cmepeo2parjJu'leCKOU npoeKL{UU.Ecmr )lOITOJIHHTb B3al1MHO-O)lH03Ha'IHOe COOTBeTCTBHe,cymecrnyeT Me)l()ly KOMIIJieKCHOH IIJIOCKOCTbIOTO'IKHP(O, 0, 1),11 ccpepoH:IIOCTaBl1B B COOTBeTCTBHe TO'!KeKOMIVIeKCHOe 'lUCJZO z =s 6e3p UOeaJZbHOeoo, TO IlOJIY'IHM 11HTepnpeTaU11IO pacnmpeHHOMKOMnneKcHoH:IlJIOCKocmTO'IKY ccpepblsC= Cu {oo}.Cne)loBaTenhHO,Ka)l(.llYIOMO)KHO C'IHTaTb H306pa)l(eHMeM COOTBeTCTByIOIUeHTO'IKl1 IIJIOCKOCTl1tta3brnaeTcs:icKOTOpoeC.TaKas:i11HTeprrpernu:11s:i KOMrIJieKCHbIX 'IHCeJIuHmepnpenwL{ueii Pu.MaHa,aS - crjJepou Pww1-w.IloJIO)f(HM rro orrpe)leneHMIO1l-=0 -=oo 7·oo=oo (z;t:O),00'0' ...z+oo=oo,z/oo=O(z"Foo).8=TaK 'lKe, KaK YI .n:mr KOMrrneKcHoro 1mcJia z 0, arg z KOMrrneKCHoroqYICJia z 00 He orrpe,n:eJieH, HO MO.UYJib paBeH +oo.=1.1.
.D:oKa3aTb cpopMyJiy .n:eJieHml .n:Byx KOMrrneKCHbIX qY1ceJIZt = Xt + iy1 11 Z2 = X2 + iy2:-Z1 -_X1X2 +Y1Y2, + l.X2Y1 -XiY2,, z2 -:f. 0.I Z2 1-Z2I Z2 1-1.2. HattTYI .n:eiicTBY1TeJihH)'IOKOMITJieKCHhlX qY1ceJI:1-i.)MHHMYJOYIqacT11cJie.n:yrorn,HX31) (l +13) (1 + i)" + (1- i)";2) i";1 ")"(l ")1004) ( --=..!..; 5) c1+i) 8 (1-iJ3r"; 6)+i;1+ i(1- i)% - i(l + i/8l - i tg a )"7 ) (x+ iy) ,, ; 8) ( --.~-9) (1 +cos rp + i sin rp)";1+ ttga10) (1- cos IP+ i sin ip)", n E N.1.3 . .D:oKa3aTh crrpaBe,ll,JIHBOCTh cpopMyJI:3) "\'[1112] C2"' (-1)111L....m=O4)="2"'2 cos nti.4 '( - 1)111 ( sm.
IP)2111 ( cosIP)11-2111 =cosnip .L m=o C2"'"222 'f11121. rp5) L f(n-1)/ 21 c2m+I ( - 1)111 ( sm"'"0"•2)6)"'"~ 21 C 2 "'(-l)"'L.,,,,_Q"(cosip2)2111 (2111+1 (sinip2IPcos2)11-2111)11-2111-l. nip.=sm2 '=(-l) 11 cosn1P;2KOMCTJIEKCHhIE l!Y!CJIA YI VIX CBOHCTBA8) cos mp=9L;= C,'. (cos q:i)"-k (sin q:i )k (-l)k 12 ;0C,~ (cos q:i)"-k (sin q:i )k (-l)<k-IJ 12 .9) sin nq:i = L~=oJ.:.-He'IClllH.1.4. Haiirn:MO.UYJih H rnasttoe 3Ha'letttte aprYMeHTa cJie.n:y10w:i1xKOMIIJieKCHhIX 'lHCeJI:21)-;1- 3i3)64)(1+i/(1-i.J3r1[1[7) cos--isin-;49)4;124(;-l+iJ3 )1 ·)" ;s) ( ~l +I1[1[666)-cos-+isin-;8) l +cos a+ isina,l+cosa+isina, 0 ~a~ 2.n, a* .n;- i sin al + cos a0 ~a~ 27r;10) z 2 + z,.I z I= 1.1.5. PeIIIHTh ypasttettmi: OTHOCHTeJihHO z E C:21) z = i; 2) z lzl + 2z + i=O;23) z + z lzl + lzl 2= O;4)izi=z+2i+ l; 5) z=z"- 1,nEN; 6)z=z ,nEZ+.111.6.
,[(oKa3aTh,*lzl = 1 H z1.7. ,[(oKa3aTh,= tg( cp/2),'ITO ecmr-1,y.n:os-MO)l(eT 6hITh e.n:HHCTBeH-1+isz =--,HhIM o6pa30M rrpe.n:cTaBJieHO B BH.UeTeJibHOe 'lHCJIO, ~z,'ITO rrpoH3BOJihHoe KOMTIJieKcttoe 'lHCJIOJiernopH10mee ycJIOBHHM1-isr.n:es-.n:ettCTBH-cp E Arg z.z + z- 1 = 2 cos a, TO .ll:JlH JII06oro n E Nz /1 + z -II = 2 cos na.1.8. ,[(oKa3aTbCJie.n:yIOII.J,He paBeHCTBa H .n:aTb HX reoMeTPH'leCKYIOHHTeprrpeTaUHIO:2221) lz1 + z21 = Jzd + Jz2J + 2 Jzd Jz2J222) Jz1 + zzl2 + lz1 - z2J = 2 (Jzd +3) Jl-z,·z2 l2 =lz, -z 2 J2 +(1-Jz,cos(arg2Jz 2J );z, -J2 )(l-Jz 2 J2 ).argz2);10Dzaea I1.9. ,ll.oKa3aTb HepaBeHCTBa 11 ,UaTb 11X reoMeTPWieCKyIO 11HTepnpeTaU11IO (on11caTb Heo6XO.U11Mb!e 11 .llOCTaTOqHbie ycJJOBl15I paBeHcrna):1) lz1 + z2I :S lzd + lz2I; 2) lz1 - z2I ~I lzd - lz2l I;3) 11-z1 ·z2 l2~(1-lz, l2)(l-lz2 l2);4) max(IRe z, - Re z2I, IIm z, - Im z21) :S lz1 - z2I:S jRe z 1- Re z2I + IIm z 1- Im z2I;5) lz1 + z2 + ...
+ z"I :S lzd + lz2I + ... + lz11I;6) lzo + z, + ... + z11l 2'. lzol - (lzd + ... + lz11i);7) I I:-11SI arg z I (z :t O);18) lz-al :S I lzl - lal I + lzl larg (z I a)I (at 0);9) le'-ljSe1' 1 izi; 10) O<lzl<I)jzl<le'-11<2.lzl.4421.10.
,ll.oKa3aTb, qrn o6a 3Ha'-!eHmI .Jz -1 JJe)KaT Ha np5IMOtt,npoxo.um.ueii qepe1 Haqano Koop.u11HaT 11 napanJieJibHOtt 611cceKTp11ce BHYTPeHHero yrna TPeyroJihHl1Ka c sepumHaM11 B TO'-!Kax (-1, 0),(1, 0) 11 Z, npose.ueHHOH H3 BepllIHHbl z.1.11. Bb1qHCJIHTh (csepHYTh) cne.ny10u1He cyMMhI:1) cos x + r cos (x +a)+ ... + r" cos (x + n a);2) sin x + r sin (x +a)+ ...
+ r'' sin (x + n a);3) cos x + r cos (x +a)+ r2 cos (x + 2 a)+ , r < 1;4) sin x + r sin (x + a) + r2 sin (x + 2 a) + ... , r < 1;5)6).L;'=I COS ia;L:;'= sinia.11.12. ,ll.oKa3aTb, qTO Ha MHO)Kecrne KOMnJJeKCHhIX qttcen C\ R _3Ha'-!eH11e arg z MO)KeT 6hITb BbJq11cJieHO no cpopMyJiearctg (y/x),arg~=tr+ arctg (y/x),{-tr+ arctg (y/x),x > 0,x < 0, y > 0,x < 0, y < 0.1.13. HattTH reoMeTpttqecKoe MecTo ToqeK (rMT) z E C, y.nosJieTBOp5IIOlll11X ycJIOBH5IM:1) r2 < lz - z0 1 < r 1, 0 :S r2 < r 1;3) Re z- 1= c, c - const;2) cp 1< arg z < <p2;4) Im z- 1 = c, c - canst;KOMDJIEKCHbIE 4.l1CJIA 11 MX CBOMCTBA11z-zz- Z25) arg--1 =a, -7r<a::;7r;6) lz - zd + lz - z2I = a, a > lz1 - z2I;7) I lz - zd - lz - z2l I= a, a< lz1 - z2I;2228) lzl > 2 +Re z; 9) 2lzl >II + z 1; 10) lz + az +bl< R •1.14.
HattTH fMT z E C , y.[(oB11ernop.1noruHx ycnoBmo:z - z, = k,z- Z2k > 0.1.15. BbmOJIHHTb npHBe,[(eHHbre HH)Ke 3a,[(aHm1.a) HawTH fMT z E C, y.[(oBnernop.suomHx npH jaj < 1 ycJIOBHHM:1)z-al < l;----=ll - az2)1z-al----== l;l - az3)1z-al----=> 1.l - az6) IlycTb lzl < 1.
PacCMOTpHM MHOroyroJibHHK co CTOpoHaMH2, ... , 1 + z + ... + z". Jie)KHT JIH roqKa zo = 0 BHYT-1, 1 + z, 1 + z + zpw3TOro MHOroyroJibHHKa?1.16. BbmOJIHHTb cJie.[(yIOIUHe 3a.[(aHHH.1) .LJ:oKa3aTb, 'ITO rMT z EC, y.[(OBJieTBOpHIOIUHX ypaBHeHHIOa Iz l2 +lJz + bz + c = o,r,[(e a> 0, c E R H ac < lbl2,HBmreTCH OKp~HOCTbIO. HawTH eeueHTp H pa.[(Hyc.2) .LJ:oKa3aTb, 'ITO fMT z EC, y.[(oBJieTsopHIOIUHX ypastteHHIOAz+Az+B = 0,meB E R, A:,,=0 - npHMaH. 3To ypaBHeHHe Ha3bIBaIOT a6moconpR-JtCeHHbZM ypa6HeHUe.M npHMOH.3) HanHcaTb ypaBHeHHe npHMOH, npoxO.[(HIUeH qepe3 roqKH z1 H z2E C (z1 f- Z2).4) HanHcaTb ypaBHettHe npHMOH, npoxoMrueH: qepe3 TO'IKY z HnepneH,[(HKYAAPHyIO npHMOHl:Az + Az + B= 0(A:z:0, BER).5) HaifTH nJiorua.[(b rpeyroJibHHKa c BepurnttaMH B 3a,[(aHHbIX TO'I-Kax zi, z2, Z3 E C.J,wea 1126) HaihH uem:p H pa.1myc OKp)')KHOCTH, orrncaHHOM BOKpyr rpeyronhHHKa c sepwHHaMH B ToqKax Zr, z2, z3 EC.1.17 .
.[{oKa3aTh cpopMynhI cTepeorpacpttqecKoi1 rrpoeKUHH.1.18 . .[{oKa:3aTh, qTo cTepeorpacpttqecKHe rrpoeKUHH ToqeK Zr H z2nHaMeTpaJibHOrrpOTHBOITOJIO)l(Hb~Torna H TOJihKO Torna, Kornaz1Z2=1.1.19. Ilp11 KaKOM rrpeo6pa30BaH1111 ccpepbI 06pa3 TQqKH z rrepexo.llHT B o6pa3 TOqKH z - r?1.20. qTO COOTBeTCTByeT Ha ccpepe ceMeMCTBY rrapannenbHbIXrrpHMhIX Ha rrnOCKOCTH?1.21 .
.[{oKa3aTb, qTQ OKpy)l(HOCTH Ha ccpepe PHMaHa COOTBeTcTByeT OKpy)J(HOCTb HnH rrp.siMaH Ha KOMrrneKCHOM ITnOCKOCTH, rrpHqeMrrp.siMa.si rronyqaeTc.si Torna H TOnhKO Torna, Korna oKpy)J(HOCTh Haccpepe PHMaHa rrpoxonHT qepe3 ToqKy P(O, 0, 1) Ha ccpepe S.1.22 . .[{oKa3aTh, qTo rrpH cTepeorpacpttqecKoH: rrpoeKI.(HH yrnhIMe)J(.uy KpHBhIMH Ha ccpepe PHMaHa paBHhI yrnaM Me)J(.uy HX o6pa3aMH Ha KOMrrneKCHOH rrnOCKOCTH.1.23. IIycTh d(zi.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
