А.М. Будылин - Ряды и интегралы Фурье (1118143), страница 7
Текст из файла (страница 7)
bn · n2 =∞XСтраница 59 из 127|σn |2 сходится.Назадn=1cos(ant) sin(nx) =sin n(x − at) + sin n(x + at)2иf (x) =∞Xn=1Полный экранЗакрытьbn sin nx .ВыходОтсюдаf (x − at) + f (x + at).2Найденное решение имеет вид суперпозиции двух разбегающихся со скоростью aволн. Отметим, что в последнем представлении решения функция f (x) должна пониматься как продолженная. Функция f (x) исходно была задана лишь на интервале[0, π].
В ходе решения она фактически была продолжена сначала как нечетная наинтервал [−π, π] и далее периодически с периодом 2π.Более общие примеры и метод Фурье разделения переменных, позволяющий рассматривать более общие постановки задач, будут рассмотрены в курсе математической физики или на семинарских занятиях.u(x, t) =Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 60 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыход4.Нетригонометрические ряды Фурье4.1. Краевые задачи теории дифференциальных уравненийОсновной задачей в теории дифференциальных уравнений является задача Коши.
Вфизических приложениях же на первый план выступают так называемые краевыезадачи. Мы остановимся на краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. В достаточно общей форме такая задача ставитсяследующим образом.На отрезке [a, b] отыскать решения y = y(x) дифференциального уравненияp2 (x)y 00 + p1 (x)y 0 + p0 (x)y = f (x) ,удовлетворяющие краевым (или граничным) условиям(α0 y(a) + α1 y 0 (a) = c1 ,β0 y(b) + β1 y 0 (b) = c2 .(4.1)Интегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный лист(4.2)Функции p0 , p1 , p2 и f будут предполагаться непрерывными.
Если c1 = c2 = 0,краевые условия называются однородными. Мы ограничимся именно этим случаем.Последнее ограничение позволяет нам рассматривать множество непрерывнодифференцируемых7 на отрезке [a, b] функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям, как линейное пространство.
Обозначим это пространство функцийчерез V1 . Подпространство дважды непрерывно дифференцируемых функций из V1обозначим через V2 . Тогда краевая задача примет вид: найти y ∈ V2 такие, чтоL(y) = f ,Ряды ФурьеJJIIJIСтраница 61 из 127Назад(4.3)где L — линейный оператор, определенный на функциях из V2 8 равенствомПолный экранL(y) = p2 (x)y 00 + p1 (x)y 0 + p0 (x)y .7вслучае условий Дирихле вместо непрерывной дифференцируемости можно ограничиться простонепрерывностью8 значения оператора L, конечно, уже не лежат в V2ЗакрытьВыходЕстественно возникают вопросы: какова область значений оператора L, т.е.
прикаких f уравнение (4.3) имеет решение? Единственно ли решение, если задача разрешима? Для ответа на эти вопросы нужно изучить спектральные свойства оператора L. Последнее означает, что нужно изучить разрешимость задачи на собственныефункции и собственные значения оператора L, т.е. найти все пары (λ, y), где λ ∈ Cи y ∈ V2 , y 6= 0 такие, чтоL(y) = λy .Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательМы увидим, что задача на собственные функции и собственные значения операторовкраевых задач является источником различных ортонормированных (в определенном смысле) систем — систем собственных функций. Если задача на собственныефункции и собственные значения оператора L решена и привела к полной ортонормированной системе (в каком-то смысле) собственных функций ϕ1 , ϕ2 , . .
. , причемсреди собственных значений λn нет равного нулю, решение краевой задачи формально строится элементарно. Действительно, разложим функцию f в ряд Фурьеотносительно о.н.с. ϕn∞Xf=cn (f )ϕn .n=1Будем искать решение y краевой задачи также в виде ряда Фурьеy=∞Xcn (y)ϕn .ЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 62 из 127n=1Считая, например, что скорость сходимости этого ряда позволяет пронести операторL за знак суммы∞∞X XLcn (y)ϕn =cn (y)L(ϕn )n=1Полный экранn=1найдем, что уравнение (4.3), ввиду L(ϕn ) = λn ϕn , примет видλn cn (y) = cn (f ) ,Назадn = 1, 2, . .
.ЗакрытьВыходоткудаy=∞Xcn (f )ϕn .λnn=1Вопрос о сходимости ряда и принадлежности построенной функции y пространствуV2 должен рассматриваться отдельно.Ряды ФурьеИнтегралы Фурье4.2.Предметный указательНормальная форма краевой задачиЛитератураПри исследовании краевой задачи удобно переписать дифференциальное уравнениена собственные значения в симметричном виде. Именно, домножим уравнениеВеб – страницаp2 y 00 + p1 y 0 + p0 y = λyТитульный листна функцию ρ такую, чтобы уравнение приняло вид−(py 0 )0 + qy = λρy .Очевидно, функция ρ находится из уравненияJJIIJIp1 ρ = (p2 ρ)0 ,Страница 63 из 127при этом p = −p2 ρ.
Таким образом, если p2 не обращается в ноль, найдемRp = Cep1p2dx,ρ=−p.p2НазадПолный экранОператор L, формально определенный равенствомL(y) =−(py 0 )0 + qyρ(4.4)ЗакрытьВыходназывается оператором Штурма–Лиувилля. Краевая задача на собственные числаи собственные функции (λ, y) оператора L− (py 0 )0 + qy = λρy ,(α0 y(a) + α1 y 0 (a) = 0 ,β0 y(b) + β1 y 0 (b) = 0(4.5)(4.6)Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательназывается задачей Штурма–Лиувилля, при этом предполагается, что p, q и ρ —вещественные непрерывные функции, причем p — непрерывно дифференцируема, аp и ρ — неотрицательны.
Коэффициенты α1 , α2 , β1 , β2 считаются вещественными итакими, что(α1 , α2 ) 6= 0 6= (β1 , β2 ) .ЛитератураВеб – страницаТитульный листКраевые условияy(a) = 0 ,y(b) = 0(4.7)называются условиями Дирихле. Краевые условияy 0 (a) = 0 ,y 0 (b) = 0(4.8)называются условиями Неймана.Дифференциальное уравнение задачи Штурма–Лиувилля может быть подвергнуто дальнейшей редукции.
Если ввести независимую переменную t равенствомZdxt=p(x)JJIIJIСтраница 64 из 127НазадПолный экран(считая, что p 6= 0), то ввиду равенствdx ddd=·=p,dtdt dxdxЗакрытьВыходдифференциальное уравнение примет вид−d2y + pqy = λpρy .dt2Положим теперьРяды ФурьеZy = k(t)u(s) ,s=dt,k 2 (t)где k — пока неопределенная функция, а s и u, соответственно, новые независимаяпеременная и искомая функция. При этомdydkdu dsdk1 du=u+k·=u+ ·,dtdtds dtdtk dsd2 yd2 kdk du ds1 dk du 1 d2 u dsd2 k1 d2 u=u+··−··+··=u+·,dt2dt2dt ds dtk 2 dt dsk ds2 dtdt2k 3 ds2откуда приходим к дифференциальному уравнению−1 d2 u d2 k ·+pqk−u = λpρku .k 3 ds2dt2Полагая (этим определяется выбор функции k)pρk 4 = 1 ,r = pqk 4 − k 3Интегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 65 из 127d2 k,dt2Назадполучим уравнениеd2 u+ ru = λu .ds2При описанной замене краевые условия сохранят вид однородных краевых условий(с новыми коэффициентами).−Полный экранЗакрытьВыход4.3.Регулярная задача Штурма–ЛиувилляОператор L (4.4) называется регулярным оператором Штурма–Лиувилля, еслиp, ρ > 0.
Задача (4.5)–(4.6) называется регулярной, если L — регулярный оператор Штурма–Лиувилля.Отметим некоторые свойства решений регулярной задачи Штурма–Лиувилля.1. Корни собственных функций просты.Действительно, если y(x0 ) = 0 и y 0 (x0 ) = 0, то в силу единственности решениязадачи Коши y(x) ≡ 0.2. Каждому собственному значению отвечает единственная с точностью до множителя собственная функция (т.е. собственные числа оператора Штурма–Лиувилля — простые).Действительно, пусть y1 и y2 — собственные функции, отвечающие собственному значению λ.
Заметим, что однородная система (относительно переменныхα0 и α1 )(α0 y1 (a) + α1 y10 (a) = 0 ,α0 y2 (a) + α1 y20 (a) = 0Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJIимеет нетривиальное решение, что возможно только, если определитель системы равен нулю. Это означает, что определитель Вронского решенийСтраница 66 из 127W [y1 , y2 ] = y1 y20 − y2 y10Назадравен нулю (в точке a и, следовательно, равен нулю тождественно), откуда ивытекает линейная зависимость решений y1 и y2 .3.
Собственные значения задачи Штурма–Лиувилля вещественны. Соответствующие им собственные функции могут быть выбраны вещественными.Полный экранЗакрытьВыходДля доказательства заметим, сначала, что интегрирование по частям два разаприводит к равенствуZbb Zb[qf − (pf ) ]g dx = pW [f, g] + f [qg − (pg 0 )0 ] dx .0 0aaРяды ФурьеaИнтегралы ФурьеЕсли f и g — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции,удовлетворяющие краевым условиям задачи (т.е. f, g ∈ V2 ), то в силу краевыхусловий определитель Вронского W [f, g] обращается в ноль в точках a и b.
9Введем скалярное произведение и соответствующую норму, полагаяZbhf |gi =f g ρdx ,kf k =phf |f i .(4.9)Предметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листaТогда полученное выше равенство (при нулевых внеинтегральных членах) примет вид 10hL[f ]|gi = hf |L[g]i .Это свойство называется симметричностью оператора L. Если теперь y — собственная функция, отвечающая собственному значению λ, то2JJIIJIСтраница 67 из 1272λkyk = hL[y]|yi = hy|L[y]i = λkyk ,откуда в силу kyk =6 0 получаем λ = λ, т.е.
λ — вещественно.Далее заметим, что в силу линейности уравнения L[y] = λy и вещественностифункций p, ρ и q отдельно вещественная и мнимая части собственной функцииy будут являться решениями этого уравнения.119 Здесьважную роль играет вещественность коэффициентов в краевых условиях.10 Здесь важную роль играет вещественность функций p и q.11 В силу предыдущего свойства, эти части, разумеется, пропорциональны.НазадПолный экранЗакрытьВыходВ дальнейшем мы всегда будем предполагать вещественность собственныхфункций.4. Различным собственным значениям λ1 и λ2 отвечают ортогональные собственные функции y1 и y2 :Zbhy1 |y2 i = y1 y2 ρdx = 0 .Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательaЛитератураДействительно,(λ1 − λ2 )hy1 |y2 i = hL[y1 ]|y2 i − hy1 |L[y2 ]i = 0 .5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
