А.М. Будылин - Ряды и интегралы Фурье (1118143), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Оператор Фурье F являетсялинейным (ввиду линейности интеграла):JJIIλf\+ µg = F (λf + µg) = λF f + µF g = λfb + µbg,JIздесь λ, µ ∈ C — константы. Отметим также следующие очевидные свойства преобразования Фурье функции f .1. fb(ξ) — ограниченная функция, причемkfbk∞Страница 80 из 127Назад16 √ kf k1 ,2πПолный экрангдеkfbk∞ = sup |fb(ξ)| ,+∞Zkf k1 =|f (x)| dx .Закрыть−∞Выход2.
fb(ξ) — равномерно непрерывная функция.Действительно,e−iξx − e−iηx = e−ixт.е.ξ+η2(e−ixξ−η2− e−ixη−ξ2) = −2ie−ixξ+η2sinx(ξ − η),2Ряды ФурьеИнтегралы Фурьеx(ξ − η) |e−iξx − e−iηx | = 2sin.2Предметный указательЛитератураТогда1 |fb(ξ) − fb(η)| = √ 2π+∞+∞Z r2 Zx(ξ − η) −iξx−iηx(e−e)f (x) dx 6 · |f (x)| dxsinπ2−∞−∞Титульный лист= I1 + I2 ,гдеrI1 =2πZrZx(ξ − η) 2sin · |f (x)| dx 62π|x|>Nи2πZJJIIJI|f (x)| dx|x|>NrI2 =Веб – страницаx(ξ − η) sin · |f (x)| dx .2Страница 81 из 127|x|6NНазадВыберем N так, чтобыεI1 < ,2где ε — произвольное положительное число.
После этого выберем δ > 0 так,чтобыrZNδπNδ2ε<и·|f (x)| dx < .222π2|x|6NПолный экранЗакрытьВыходТогда при |ξ − η| < δ и |x| 6 Nx(ξ − η) N δsin<22и как следствиеεI2 < .2Тем самым|ξ − η| < δ ⇒ |fb(ξ) − fb(η)| < ε .Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитература3. fb(ξ) → 0 при ξ → ∞.Веб – страницаДействительно,1fb(ξ) = √2πгде1I1 = √2πZ+∞Zf (x)e−iξx dx = I1 + I2 ,−∞f (x)e−iξx dx ,1I2 = √2πJJIIJIZ1|I1 | 6 √2π|x|>NиТитульный лист|f (x)| dx ,|x|>NZf (x)e−iξx dx .|x|6NСтраница 82 из 127НазадВыберем N настолько большим, чтобы|I1 | <ε,2где ε — произвольное положительное число.
После этого ξ будем считать стольбольшим, чтобыε|I2 | < .2Полный экранЗакрытьВыходПоследнее возможно в силу леммы Римана–Лебега:Z1I2 = √f (x)e−iξx dx → 0 .ξ→∞2π|x|6NРяды ФурьеТаким образом, при достаточно больших ξИнтегралы ФурьеПредметный указатель|fb(ξ)| < ε .5.3.ЛитератураФормула обращенияВеб – страницаДля доказательства теоремы Фурье нам понадобится следующее свойство ядра Дирихле, которое в случае интеграла Фурье определяется равенствомDN (x − t) =1 sin N (x − t)·.πx−tЛемма 5.1. При N > 0 и при любом x ∈ R1π+∞Zsin N (x − t)dt = 1 ,x−t(5.8)Титульный листJJIIJIСтраница 83 из 127−∞причем интеграл сходится равномерно по N при N > 1.НазадДоказательство. Установим сначала равномерность.
Пусть T — достаточно большое положительное число, так что |x| < T . Тогда+∞ZTsin N (x − t)dt =x−t+∞Zt=Td cos N (x − t)cos N (x − T )=−−N (x − t)N (x − T )+∞ZTcos N (x − t)dtN (x − t)2Полный экранЗакрытьВыходоткуда+∞+∞ZZsinN(x−t)1dt2dt 6+=x−tT −x(t − x)2T −xT→T →+∞0.TАналогично оценивается интегралРяды ФурьеИнтегралы ФурьеZ−Tsin N (x − t)dt .x−tПредметный указательЛитература−∞Для доказательства (5.8) достаточно установить равенство (при N > 0)1π+∞Zsin N tdt = 1 .tТитульный лист−∞Отметим сначала независимость интеграла от N при положительных N , что становится очевидным при замене τ = N t , dτ = N dt:1π+∞Zsin N t1dt =tπ−∞+∞Zsin τdτ .τJJIIJIСтраница 84 из 127−∞НазадРассмотрим тогда интеграл2Φ(x) =πВеб – страница+∞Ze−xt sin tdt ,tПолный экранx > 0.0ЗакрытьЗаметим, прежде всего, что он сходится равномерно по x > 0.
Действительно,Выходпри T > 0+∞Z2ie−xt sin tdt =t+∞Ze(−x+i)tdt −tTT+∞Ze(−x−i)tdttT+∞Z=Ряды Фурье(−x+i)t1 ed−t −x + it=T1 h e(−x+i)TTИнтегралы Фурье(−x−i)t1 edt −x − iПредметный указательЛитератураt=T+∞Z+∞h 1 e(−x+i)t1 e(−x−i)t i=−+t −x + it −x − i t=T=−+∞Zh e(−x+i)t−x + i−e(−x−i)t i dt−x − i t2Веб – страницаTe(−x−i)T i−+−x + i−x − i+∞Zhe(−x−i)t i dte(−x+i)t−,−x + i−x − i t2TТитульный листJJIIJIоткуда+∞+∞ZZe−xt sin t 1dt2dt 6 +=2tTtTT→T →+∞0.TСтраница 85 из 127Вычислим производную от Φ(x) (при x > 0 можно воспользоваться теоремой одифференцировании интеграла по параметру):НазадΦ0 (x) = −2π+∞Ze−xt sin t dt = −01πi+∞Z[e(−x+i)t − e(−x−i)t ] dtПолный экран0+∞1 h e(−x+i)te(−x−i)t i1h 11 i21=−−=−=− · 2.πi −x + i−x − i t=0 πi −x + i −x − iπ x +1ЗакрытьВыходЗаметим, далее, что2|Φ(x)| 6π+∞+∞Z2 e−xt 2−xtedt = −=π x t=0 πx→ = 0.x→+∞0Ряды ФурьеТогда согласно формуле Ньютона–Лейбница для несобственного интеграла+∞ZПредметный указатель+∞2Φ (x) dx = − arctg x0 = −1 .π−Φ(0+) = lim Φ(x) − Φ(0+) =x→+∞Интегралы Фурье0Литература0Веб – страницаНо ввиду равномерной по x сходимости интеграла Φ(x)2Φ(0+) =π+∞Z1πsin tdt ,t−∞0т.е.+∞Zsin t1dt =tπ+∞Zsin tdt = 1 .tТитульный листJJIIJI−∞Страница 86 из 127Теорема 5.2 (Фурье).
Пусть функция f непрерывна и абсолютно интегрируемана вещественной оси и пусть она дифференцируема в точке x. Тогда1f (x) = √ v.p.2π+∞Z1fb(ξ)eiξx dξ ≡ √2π−∞ZNlimN →+∞−Nfb(ξ)eiξx dξ .Замечание 5.3. Сокращение v.p. перед знаком интеграла читается как «главноезначение» интеграла.НазадПолный экранЗакрытьВыходДоказательство. Положим1fN (x) = √2πZ+NОпр.1fb(ξ)eiξx dξ =2πZN+∞Zdξf (t)eiξ(x−t) dt .(5.9)−∞−N−NРяды ФурьеИспользуя теорему об интегрировании несобственного интеграла по параметру исвойства четности, найдемИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураfN (x) =12πZN−N1=π+∞+∞ZZNZidξf (t) cos ξ(x − t) dt +dξf (t) sin ξ(x − t) dt2π−∞−NВеб – страница−∞+∞+∞ZZNZ1sin N (x − t)dt f (t) cos ξ(x − t) dξ =f (t)dt .πx−t−∞Титульный лист−∞0JJIIJIТогда1f (x) − fN (x) =π+∞+∞ZZsin N (x − t)1sin N (x − t)f (x)dt −f (t)dtx−tπx−t−∞=1π+∞ZСтраница 87 из 127−∞f (x) − f (t)· sin N (x − t) dt .x−tНазад−∞Полный экранПоследний интеграл разобьем на три части:Z−T+∞Z=−∞ZT+−∞−T+∞Z+,T(5.10)ЗакрытьВыходсчитая, что T достаточно велико, так что |x| < T .
Величину T можно выбрать стольбольшой, что первый и последний интегралы в правой части будут сколь угодномалы независимо от величины N при N > 1. Действительно, например,+∞Zf (x) − f (t)· sin N (x − t) dt = I1 + I2 ,x−tРяды ФурьеИнтегралы ФурьеTПредметный указательгде+∞ZI1 = f (x)Литератураsin N (x − t)dtx−tВеб – страницаTи+∞ZI2 = −f (t) sin N (x − t)dt ,x−tTТитульный листJJIIJIоткуда (как было установлено при доказательстве предыдущей леммы)|I1 | 62|f (x)|T −x→0T →+∞Страница 88 из 127и (в силу абсолютной интегрируемости функции f )1|I2 | 6T −x+∞Z|f (t)| dtНазад→T →+∞T0.Полный экранЕсли T уже выбрано так, что+∞ Z−T Z ε< ,+ 2−∞TЗакрытьВыходгде ε — произвольное наперед заданное положительное число, оставшийся среднийинтеграл в правой части равенства (5.10) может быть сделан сколь угодно малымпри N → +∞ в силу леммы Римана–Лебега:ZTf (x) − f (t)· sin N (x − t) dt → 0 .N →+∞x−t−TРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательИспользование леммы Римана–Лебега оправдано ввиду того, что функцию переменной tf (x) − f (t)t 7→x−tможно доопределить как непрерывную всюду на интервале [−T, T ], поскольку вточке t = x она имеет устранимый разрыв:∃ limt→xf (x) − f (t)= f 0 (x) .x−tЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJIВыберем N столь большим, чтобы ZT ε < , 2Страница 89 из 127−Tтогда|f (x) − fN (x)| < ε .НазадПолный экран5.4.Обратное преобразование ФурьеКак следует из доказанной выше теоремы Фурье, если функция f (x) — являетсядифференцируемой и абсолютно интегрируемой на вещественной оси, то преобразо-ЗакрытьВыходвание ФурьеF :f 7→ fb = F f ,1fb(ξ) = √2π+∞Zf (x)e−iξx dx ,−∞Ряды Фурьеимеет обратное преобразованиеF−1:Интегралы Фурьеfb 7→ f = F −1 fb,1f (x) = √ v.p.2π+∞Zfb(ξ)eiξx dξ .Предметный указательЛитература−∞Веб – страницаЗаметим, что если функция fb является абсолютно интегрируемой, то обратное преобразование Фурье F −1 можно описать равенствомТитульный листF −1 = P F ,где оператор P является оператором «отражения»P :f (x) 7→ f (−x) .JJIIJIОтметим также коммутационное соотношениеFP = PF ,Страница 90 из 127которое легко оправдывается заменой переменной в интеграле:Назад+∞−∞ZZ11−iξxF P f (ξ) = √f (−x)edx = − √f (t)eiξt dt2π2π−∞Полный экран+∞1=√2π+∞Zf (t)eiξt dt = P F f (ξ) .−∞ЗакрытьВыход5.5.Гладкость преобразований Фурье быстро убывающих функций и скорость убывания преобразований Фурье гладкихфункцийЕсли функция f (x) непрерывна и сходится интеграл+∞Z|xf (x)| dx ,Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитература−∞то преобразование Фурье fb(ξ) является непрерывно дифференцируемой функцией,d bf (ξ) является преобразованием Фурье функции −ixf (x):причем производная dξ+∞Zdfb(ξ)1(−ix)f (x)e−iξx dx .=√dξ2π−∞Это сразу вытекает из теоремы о дифференцировании несобственного интегралапо параметру, поскольку здесь интеграл справа, полученный формальным дифференцированием преобразования Фурье функции f под знаком интеграла, сходитсяравномерно по ξ.Как следствие получаем, если функция f (x) непрерывна и абсолютно интегрируема со степенью |x|n , ее образ Фурье fb(ξ) является n раз непрерывно дифференцируемой функцией, причем(−ix)n f (x)F7−→dn bf (ξ) .dξ nРассмотрим теперь вопрос о скорости убывания преобразования Фурье гладкойфункции.Веб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 91 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыходТеорема 5.4.
Пусть теперь функция f — непрерывно дифференцируема, причемf и f 0 — абсолютно интегрируемы:+∞Z|f (x)| dx < +∞ ,+∞Z|f 0 (x)| dx < +∞ .Ряды Фурье−∞−∞Интегралы ФурьеТогда имеет место соотношениеПредметный указательЛитератураfb0 (ξ) = iξ fb(ξ) ,Веб – страницав частности1fb(ξ) = o.ξ→∞|ξ|Титульный листДоказательство. Согласно формуле Ньютона–ЛейбницаZbf (b) − f (a) =и абсолютной интегрируемости функции f 0 , существуют пределыlim f (a) ,lim f (a) = 0 ,JIСтраница 92 из 127lim f (b) .b→+∞Если любой из этих пределов не равен нулю, функция f не может быть абсолютноинтегрируемой на R, таким образомa→−∞IIf 0 (x) dxaa→−∞JJНазадПолный экранlim f (b) = 0 .b→+∞ЗакрытьВыходТогда, интегрируя по частям, находим1fb0 (ξ) = √2π+∞+∞ZZf (x)e−iξx +∞10−iξx√√f (x)edx =f (x)(−iξ)e−iξx dx −−∞2π2π−∞−∞+∞Z(iξ)f (x)e−iξx dx = (iξ)fb(ξ) .=√2π−∞Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаКак следствие, если функция f непрерывно дифференцируема n раз и абсолютноинтегрируема на R вместе со своими производными, то ее образ убывает на бесконечности быстрее чем |ξ|−n : 1 fb(ξ) = o,|ξ|nпричемdnFf (x) 7−→ (iξ)n fb(ξ) .dxnТаким образом, при преобразовании Фурье операция умножения на независимуюпеременную x переходит в операцию дифференцирования (по ξ) с точностью домножителя i, а операция дифференцирования по x переходит в операцию умноженияна независимую переменную ξ с точность до того же множителя i:FxddxFiddξiξ .Титульный листJJIIJIСтраница 93 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыход5.6.Пространство ШварцаВ теории интеграла Фурье важную роль играет пространство Шварца S(R) гладкихбыстро убывающих функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
