А.М. Будылин - Ряды и интегралы Фурье (1118143), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Напомним, что ядро Дирихле было определено равенствомsin N xN sin(N x)DN (x) ==·.πxπNxЕго Фурье-образ, согласно теореме подобия, равенrξ1 π ξ1 dDN (ξ) =H(ξ + N ) − H(ξ − N ) .H+1 −H−1 = √π 2NN2πФункция fN совпадает со сверткой, см. стр. 87:√fN = 2πf ∗ DN .Веб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 110 из 127НазадТогда(fb(ξ) , ξ ∈ [−N, N ] ,bfcN (ξ) = f (ξ) H(ξ + N ) − H(ξ − N ) =0,ξ∈/ [−N, N ] .Полный экранЗакрытьВыход7.2.Распространение тепла в бесконечном стержнеРассмотрим задачу о распространении тепла в бесконечном стержне, если задананачальная температура u(x, 0) = ϕ(x). Эту задачу принято называть задачей Кошидля уравнения теплопроводности∂2u ∂u= a2 2 ,x ∈ R, t ∈ [0, +∞) ,∂t∂xu(x, 0) = ϕ(x) , x ∈ R .Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураФиксируя t, подвергнем функцию u(x, t) преобразованию Фурье:Веб – страницаU (ξ, t) = (F u)(ξ, t) .Тогда рассматриваемая задача Коши будет иметь следующий образ Фурье: ∂U= −a2 ξ 2 U, ξ ∈ R, t ∈ [0, +∞) ,∂tU (ξ, 0) = Φ(ξ) , ξ ∈ R .Титульный листJJIIJIЗдесь Φ = F ϕ.

Фиксируя ξ, решим полученное дифференциальное уравнение:2 2U (ξ, t) = Φ(ξ)e−aξ tСтраница 111 из 127.Решение исходной задачи находится по формулеНазадu(x, t) = (F −1 U )(x, t) .Полный экранЗдесь полезно воспользоваться теоремой о свертке в форме 6.2:2 2F ∗ [e−aξ t2 2] ∗ ϕ = F ∗ (e−aξ tЗакрыть· F ϕ) .ВыходЗаметим,что в силу четности (по ξ) и теоремы подобия (роль множителя играет√a t)x22 22 21F ∗ [e−a ξ t ] = F [e−a ξ t ] = √ e− 4a2 t .a 2t(Здесь также поменялись ролями переменные x и ξ). Тогдаu(x, t) =1√2a πt+∞Z(x−y)2ϕ(y)e− 4a2 t dy .−∞Отметим, что в отличие от волнового уравнения, параметр a не играет рольскорости распространения тепла.

Как видно из полученного решения, скорость распространения тепла бесконечна (с точки зрения данной модели): в любой скольугодно малый момент времени t > 0 изменение температуры u(x, t) происходит навсем протяжении бесконечного стержня (для всех x)!7.3.Частотный спектрВ связи с предельным переходом, описанным в параграфе 5.1, полезно познакомитьсяс понятием частотного спектра.Пусть f — вещественная периодическая функция с периодом 2l. Ее разложениев ряд Фурье имеет видРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 112 из 127∞a0 X+(an cos ωn x + bn sin ωn x) ,f (x) =2n=1гдеπn.lВеличины ωn имеют смысл частот колебаний и называются гармониками, причемгармоника ω1 называется основной частотой, остальные гармоники ωn = nω1 , кратные основной, называются обертонами.НазадПолный экранωn =ЗакрытьВыходВведем величиныA0 =a0,2An =pa2n + b2n ,n > 1.Разложение в ряд Фурье может быть переписано в видеXf (x) ∼ A0 +An sin(ωn x + ϕn ) ,Литературагде фазы колебаний ϕn определяются равенствамиan,Ancos ϕn =bn.AnПоследовательность амплитуд колебаний An , отнесенных к соответствующимгармоникам, и носит название дискретного частотного спектра.Найдем, например, частотный спектр пилообразной 2l-периодической функции,заданной на периоде равенствомf (x) = x ,x ∈ [−l, l] .Ее разложение в ряд Фурье имеет видf (x) =Интегралы ФурьеПредметный указательn=1sin ϕn =Ряды ФурьеВеб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 113 из 127+∞X(−1)n+1 2lsin ωn x ,πnn=1НазадоткудаAn =2l,πnсм.

рис. 5.Следует подчеркнуть, что частотный спектр не определяет функцию f (x) однозначно.Полный экранЗакрытьВыходAnf (x)Ряды ФурьеИнтегралы Фурье0Предметный указательlx0ω1ω2ω3ω4ωnЛитератураВеб – страницаРис. 5: Дискретный частотный спектрТитульный листСовершая предельный переход l → ∞, мы получаем интеграл Фурье функцииf (x):Z∞f (x) = [a(ξ) cos ξx + b(ξ) sin ξx] dξ ,JJIIJI0где+∞Z1f (x) cos xξ dx ,a(ξ) =π−∞+∞Z1b(ξ) =f (x) sin xξ dx .π−∞По аналогии с дискретным случаем, вводится непрерывный частотный спектрpA(ξ) = a2 (ξ) + b2 (ξ) .Страница 114 из 127НазадПолный экранЗакрытьЗаметим, чтоrfb(ξ) =π· [a(ξ) − ib(ξ)] ,2ВыходоткудаrA(ξ) =2 b· |f (ξ)| .πВеличина A(ξ) служит мерой вклада частоты ξ в функцию f (x).На рисунке 6 можно видеть примеры непрерывных частотных спектров.Ряды ФурьеИнтегралы Фурьеf (x)Предметный указатель2A(ξ) =π01 sin ξ ·ξ ЛитератураВеб – страницаx0πξТитульный листf (x) = e−x H(x)0xA(ξ) =11·pπ1 + ξ2JJIIJIСтраница 115 из 1270ξНазадРис.

6: Примеры непрерывных частотных спектровПолный экранЗакрытьВыходA.Дополнение. Сходимость в среднеквадратичномМы докажем в этом параграфе, что для произвольной кусочно непрерывной и квадратично интегрируемой функции f интеграл+∞+∞ZZsin N (x − t)1f (t)dt ,fN (x) =f (t)DN (x − t) dt =πx−tИнтегралы ФурьеПредметный указатель−∞−∞Ряды Фурьеназываемый простым интегралом Фурье функции f , в среднеквадратичном сходится к функции f , т.е.vuZu +∞ukf − fN k → 0 ,kf k = t|f (x)|2 dx .N →∞ЛитератураВеб – страницаТитульный лист−∞Если определить функциюDN (x) =√2π DN (x) ,то интеграл fN (x) можно записать как сверткуJJIIJIfN (x) = f ∗ DN (x) .Введем срезающий оператор ΓN . Если f — произвольная функция на оси, то(g(x) , x ∈ [−N, N ] ,ΓN f (x) =0,x∈/ [−N, N ] .Тогда, если преобразование Фурье fb = F f функции f существует и как несобственный интеграл сходится равномерно, то простой интеграл Фурье запишется ввидеfN = F ∗ ΓN F f .Нам будут полезны следующие две леммы.Страница 116 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыходЛемма A.1 (Интегральное неравенство Минковского).

Пусть функция f (x, y)непрерывна. Тогдаvvu b d2 Zd uZuZuZbuut dx f (x, y) dy 6 dy t |f (x, y)|2 dx .acacРяды ФурьеИнтегралы Фурье(Пределы интегрирования могут быть бесконечными).Предметный указательЛитератураДоказательство. ПоложимВеб – страницаZdg(x) =f (x, y) dy .Титульный листcПо неравенству Шварцаvvu bu bZbuZuZuu|f (x, y)g(x)| dx 6 t |f (x, y)|2 dx t |g(x)|2 dx .aaJJIIJIaСтраница 117 из 127Заметим, чтоZbaZd2 Zbdx f (x, y) dy = |g(x)|2 dx .cНазадaПолный экранЗакрытьВыходПри этомZb2Zb|g(x)| dx 6aZd|f (x, y)| dydx|g(x)|acZd=Zd|f (x, y)g(x)| dx 6dycРяды ФурьеZbavvu bu buZuZuu2dy t |f (x, y)| dx t |g(x)|2 dx ,acaоткудаvvu buZd uZbuZuut |g(x)|2 dx 6 dy t |f (x, y)|2 dx ,acЛемма A.2 (Равенство Парсеваля).

Пусть f — финитная непрерывная (кусочно–непрерывная) функция и fb — ее преобразование Фурье. Тогдаkfbk = kf k ,+∞+∞ZZ2b|f (ξ)| dξ =|f (x)|2 dx .−∞Предметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листaчто и требовалось доказать.т.е.Интегралы ФурьеJJIIJIСтраница 118 из 127Назад−∞Полный экранДоказательство. Напомним, что функция называется финитной, если она обращается в ноль на внешности некоторого интервала.

Предположим вначале, что f (x)обращается в ноль вне интервала [−π, π]. Переопределим ее как 2π-периодическую,ЗакрытьВыходпродолжая ее с интервала [−π, π] на всю ось как периодическую. Для разложениятаким образом переопределенной функции f (x) в ряд Фурье+∞Xf (x) ∼cn einx ,cn =n=−∞12πZπf (x)e−inx dx ,Ряды Фурье−πИнтегралы Фурьевыполняется равенство Парсеваля для рядов:ZπПредметный указательЛитература+∞X|f (x)|2 dx = 2π|cn |2 .Веб – страницаn=−∞−πПусть α ∈ [0, 1). Тогда замещая f (x) функцией e−iαx f (x), находимZπ+∞X2|f (x)| dx = 2π−π1cn (α) =2π2|cn (α)| ,n=−∞Zπf (x)e−i(n+α)x dx .Титульный листJJIIJI−πЗаметим, чтоfb(n + α) =√2π cn (α) ,Страница 119 из 127откудаZπ−π|f (x)|2 dx =+∞X|fb(n + α)|2 .Остается проинтегрировать полученное равенство по α в пределах от 0 до 1, замечая,чтоn+1Z1Z2|fb(n + α)| dα =|fb(ξ)|2 dξ .0Назадn=−∞Полный экранЗакрытьnВыходВ силу аддитивности интегралаZπ+∞ZZ+∞ n+1X2b|f (x)| dx =|f (ξ)| dξ =|fb(ξ)|2 dξ .2n=−∞ n−π−∞Рассмотрим теперь общий случай, считая, что функция f (x) обращается в ноль внеинтервала [−l, l].

Тогда функция g(x) = f (ax), где a = πl , обращается в ноль внеинтервала [−π, π] и для нее верно равенство+∞+∞ZZπZ22|g(x)| dx =|g(x)| dx =|bg (ξ)|2 dξ .−∞−πРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страница−∞Титульный листНо+∞+∞+∞ZZZ22|g(x)|2 dxf (at) a dt = a|f (x)| dx =−∞и, согласно теореме подобия,b=1,aоткуда+∞+∞+∞ZZZ22bb|f (ξ)| dξ =|f (bη)| b dη = a|bg (η)|2 dη .−∞−∞IIJI−∞−∞gb(ξ) = bfb(bξ) ,JJ−∞Страница 120 из 127НазадПолный экранЗакрытьПерейдем к основному исследованию.ВыходЕсли g(x) — финитная гладкая функция, то по теореме Фурье 5.2 интегралZN1√2πgb(ξ)eiξx dξ = g ∗ DN (x) = F ∗ ΓN gb (x) = F ∗ ΓN F g (x)−NРяды Фурьесходится к функции g(x) при N → ∞. Ревизия доказательства теоремы Фурье показывает, что эта сходимость для финитной бесконечно дифференцируемой функцииявляется равномерной по x на любом конечном интервале.Пусть функция g обращается в ноль вне интервала [a, b] и пусть K достаточновелико, так что [a, b] ⊂ (−K, K).

Характеристики

Список файлов книги