А.М. Будылин - Ряды и интегралы Фурье (1118143), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Однако, можно получить соответствующую общуютеорию как следствие частного случая T = 2π используя растяжение (сжатие) вещественной оси. Действительно, если f — периодическая функция с периодом T = 2l,то функция g, определенная равенствомg(x) = fСтраница 47 из 127Назад lx πбудет периодической функцией с периодом T = 2π. При этом πx f (x) = g.lПолный экранЗакрытьВыходПусть теперь f и g — периодические функции с периодом 2l.
Обозначим через feи ge соответствующие им периодические функции с периодом 2π, т.е. lx lx fe(x) = f, ge(x) = g.ππРяды ФурьеТогдаИнтегралы Фурье1hfe|egi =2πZ2πZ2π Z2l1lxlx1ef (x)eg (x) dx =fgdx =f (t)g(t) dt .2πππ2l00Предметный указательЛитература0Последний интеграл и будет принят за скалярное произведение функций f и gпериодических с периодом 2l:Веб – страницаТитульный листhf |gi =12lZ2lf (t)g(t) dt0(функции считаются непрерывными, для определенности). Ортонормированная система функций en примет видπen (x) = ei l nx .(2.15)Возьмем непрерывную периодическую с периодом 2l функцию f .
Перейдем к функции fe (непрерывной и периодической с периодом 2π) и построим для нее ряд Фурьеотносительно ортонормированной системы einx на интервале [0, 2π]. Этот ряд будетрядом Фурье для функции f относительно ортонормированной системы (2.15) наинтервале [0, 2l] :f (x) ∼+∞Xn=−∞i πl nxcn e,x ∈ R,1cn =2lZ2lIIJIСтраница 48 из 127НазадПолный экранЗакрыть−i πl nxf (x)e0JJdx .ВыходВещественная форма ряда Фурье имеет вид∞f (x) ∼a0 Xπnxπnx+(an cos+ bn sin),2lln=1x ∈ R,гдеРяды Фурье1a0 =lZ2lИнтегралы ФурьеПредметный указательf (x) dx ,Литература01an =lZ2lf (x) cosπnxdx ,lВеб – страницаn ∈ N,01bn =lZ2lТитульный листπnxf (x) sindx ,ln ∈ N.0JJIIJIРавенство Парсеваля не изменит своего вида, если учесть, что теперь1kf k2 =2lZ2l|f (x)|2 dx .Страница 49 из 1270Формулы перехода от комплексной к вещественной форме и обратно изменению неподвергаются.2.10.Разложение четных и нечетных функцийНазадПолный экранВ этом вопросе удобно использовать вещественную форму ряда Фурье:Закрыть∞a0 Xπnxπnxf (x) ∼+(an cos+ bn sin),2lln=1x ∈ R,Выходзаписав соотношения для коэффициентов Фурье в симметричной форме:Zl1a0 =l(2.16)f (x) dx ,−lan =Ряды ФурьеZl1lf (x) cosπnxdx ,lИнтегралы Фурьеn ∈ N,(2.17)−lbn =ЛитератураZl1lПредметный указательf (x) sinπnxdx ,ln ∈ N.(2.18)Веб – страница−lНапомним, что если функция f — нечетная (и интегрируемая), тоZaf (x) dx = 0(∀a > 0) .−aТитульный листJJIIJIЕсли функция f — четная (и интегрируемая), тоZaf (x) dx = 2−aСтраница 50 из 127Zaf (x) dx (∀a > 0) .0Пусть функция f — непрерывная, периодическая с периодом 2l и четная.
Тогдаbn = 0 при всех натуральных n и ряд Фурье такой функции будет содержать толькокосинусы:∞a0 Xπnxf (x) ∼+, x ∈ R.an cos2ln=1НазадПолный экранЗакрытьВыходПусть функция f — непрерывная, периодическая с периодом 2l и нечетная. Тогдаan = 0 при всех натуральных n и при n = 0 и ряд Фурье такой функции будетсодержать только синусы:f (x) ∼∞Xbn sinn=1πnx,lx ∈ R.Интегралы ФурьеРассмотрим теперь следующую задачу. Пусть на интервале [0, l] задана непрерывная функция f . Как можно разложить ее в ряд Фурье на этом интервале? Возможныразные приемы.
Можно, например, продолжить ее периодически на всю ось с периодом T = l и воспользоваться общей теорией. Однако, можно предварительнопродолжить ее как четную или нечетную на интервал [−l, l] и затем уже продолжать периодически на всю ось с периодом T = 2l. В этом случае в зависимостиот способа предварительного продолжения мы получим разложение в ряд Фурьетолько по косинусам или только по синусам.
Следует заметить, что для вычислениякоэффициентов Фурье нет необходимости явно строить описанные продолжения.Действительно, в случае четного продолжения мы можем найти коэффициенты anпо формуламa0 =2lРяды ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJIZlf (x) dx ,Страница 51 из 12702an =lZlf (x) cosπnxdx ,ln ∈ N,Назад0Полный экрана в случае нечетного продолжения мы можем найти коэффициенты bn по формулам2bn =lZl0πnxdx ,f (x) sinlЗакрытьn ∈ N.ВыходСледует заметить, что скорости сходимости этих рядов будут в общем случае различны. При четном продолжении функция останется непрерывной.
При нечетномона (в общем случае) получит точки разрыва (1 рода) в нуле и при x = l (и далее периодически с периодом 2l). В последнем случае ряд будет сходиться заведомомедленно.Ряды ФурьеИнтегралы Фурье2.11.Вещественная форма тригонометрического ряда ФурьеДо сих пор мы получали сведения о вещественной форме тригонометрического рядаФурье благодаря формулам перехода (2.7). Следует, однако, заметить, что функции1√ , cos x , sin x , cos 2x , sin 2x , . .
.2образуют ортонормированную систему относительно скалярного произведения1hf |gi =πZπf (x)g(x) dx−πв пространстве непрерывных периодических с периодом 2π функций и коэффициенты an и bn являются коэффициентами Фурье относительно этой ортонормированнойсистемы (кроме√ a0 , который становится коэффициентом Фурье в этом смысле последеления на 2). Равенство Парсеваля может быть переписано в виде∞|a0 |2 X1+(|an |2 + |bn |2 ) =2πn=1ZπПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 52 из 127Назад|f (x)|2 dx .−πВ случае периодических функций с периодом 2l полной ортонормированной системой будет1πxπx2πx2πx√ , cos, sin, cos, sin,...llll2Полный экранЗакрытьВыходотносительно скалярного произведенияhf |gi =1lZlf (x)g(x) dx .−l2.12.Ряды ФурьеПонятие об улучшении скорости сходимости ряда ФурьеТригонометрические ряды Фурье, возникающие в результате решения конкретныхприкладных задач, могут оказаться медленно сходящимися, что часто препятствуетих использованию (если сумма ряда не находится в замкнутом виде).
Если оказывается возможным из данного медленно сходящегося ряда выделить медленносходящуюся часть с известной суммой так, что оставшаяся часть ряда сходится ужебыстро, то такое выделение и называется улучшением сходимости ряда Фурье.Если особенности (разрывы) функции f , улучшением сходимости ряда Фурьекоторой мы интересуемся, известны, то функцию f можно легко представить каксумму достаточно простой (например, кусочно линейной) функции с точно такимиже особенностями, что и f и функции, которая уже особенностей не имеет (номожет иметь особенности производной).Если особенности функции f не известны, для улучшения сходимости ряда Фурье можно воспользоваться методом А.Н.Крылова. Идея метода состоит в том, чтобывыделить из коэффициентов Фурье младшие степени величины n1 и попытаться отсуммировать полученные ряды при помощи таблиц известных разложений.Например, пусть требуется улучшить сходимость рядаf (x) =+∞X(−1)nn=2n3sin nx ,n4 − 1x ∈ (−π, π) .Интегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 53 из 127НазадПолный экранЗакрытьЗаметим, что3n11.= + 5−1n n −nn4ВыходНо известно, что при x ∈ (−π, π)+∞x X (−1)n+1=sin nx ,2 n=1nРяды Фурьеоткудаf (x) = −+∞X(−1)nx+ sin x +sin nx ,2n5 − nn=2Интегралы Фурьеx ∈ (−π, π) .Предметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 54 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыход3.3.1.Примеры и приложенияПериодические решенияРассмотрим линейное дифференциальное уравнениеРяды Фурьеp0 y (n) (x) + p1 y (n−1) (x) + · · · + pn y(x) = q(x)(3.1)с постоянными коэффициентами и периодической правой частью q(x) периода 2π.Существует ли периодическое решение с периодом 2π?Будем искать решение в форме ряда ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаy(x) =+∞Xyk eikx .Титульный листk=−∞Разложим правую часть уравнения в ряд Фурьеq(x) =+∞Xqk eikx ,JJIIJIk=−∞тогда при всех k ∈ ZСтраница 55 из 127p0 · (ik)n yk + p1 · (ik)n−1 yk + · · · + pn · yk = qkНазад(равенство коэффициентов Фурье левой и правой частей уравнения).
ПолагаяПолный экранP (z) = p0 z n + p1 z n−1 + · · · + pn ,получаем соотношение (Фурье-образ уравнения (3.1))P (ik) · yk = qk(k ∈ Z) .Закрыть(3.2)ВыходЕслиP (ik) 6= 0 (∀k ∈ Z) ,тоyk =(3.3)qk,P (ik)т.е. мы нашли коэффициенты Фурье функции y(x) а, следовательно, и саму этуфункцию. Однако, чтобы найденная функция действительно была решением, необходимо оправдать возможность n-кратного дифференцирования суммы ряда Фурьеy(x) почленно. В этих целях потребуем непрерывной дифференцируемости правойчасти q(x). Тогда в силу неравенства (вытекающем из асимптотики P (ik) ∼ p0 · (ik)nпри k → ∞)|P (ik)| > c|k|mРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный листс некоторым c > 0 , заключаем, что|yk | 6|σk |,c|k|n+1где σk — коэффициенты Фурье производной q 0 (x).
Последняя оценка позволяет намсослаться на теорему 2.25 о дифференцируемости ряда Фурье, из которой и вытекаетn-кратная непрерывная дифференцируемость функции y(x).Заметим теперь, что построенное решение будет единственным. Действительно, иначе существовало бы нетривиальное 2π-периодическое решение однородногоуравненияp0 y (n) (x) + p1 y (n−1) (x) + · · · + pn y(x) = 0 ,но, как известно, общее решение последнего уравнения выражается через экспоненты eλx , где λ — корни характеристического уравненияJJIIJIСтраница 56 из 127НазадПолный экранЗакрытьP (z) = 0 ,Выходи эти экспоненты могут привести к 2π–периодическому решению только при λ =ik (k ∈ Z) в противоречии с условием (3.3).Итак, при непрерывно дифференцируемой правой части условие (3.3) являетсяусловием существования и единственности 2π-периодического решения рассматриваемого дифференциального уравнения (3.1).Если при некотором целом mРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательP (im) = 0 ,Литературауравнение (3.1) будет иметь 2π периодические решения только при условии, чтосоответствующий коэффициент Фурье правой части равен нулю: qm = 0.
При этомединственность 2π-периодического решения теряется: коэффициент Фурье ym можетбыть выбран произвольно (здесь также используется тот факт, что экспонента eimxявляется решением однородного уравнения).Наконец, если при некотором целом m одновременноP (im) = 0и qm 6= 0 ,периодического решения не существует.3.2.Задача о колебаниях закрепленной струныВеб – страницаТитульный листJJIIJIСтраница 57 из 127Рассмотрим струну, закрепленную в точках 0 и π на оси x с положением равновесияпо отрезку [0, π]. Если придать струне произвольную начальную форму, заданную,например, функцией f (x), и затем отпустить, струна начнет колебаться.
Требуетсянайти форму струны в произвольный последующий момент времени. В математической физике выводится следующее уравнение для функции u(x, t), описывающейформу струны в момент времени t:НазадПолный экранЗакрыть2∂2u2∂ u=a,∂t2∂x2(3.4)Выходгде a — некоторая постоянная. Уравнение (3.4) будем рассматриваться с начальнымиусловиями(u(x, 0) = f (x) (начальная форма),∂u (струна отпущена без начальной скорости).∂t t=0 = 0Интегралы ФурьеИмеются также граничные условияПредметный указательЛитератураu(0, t) = u(π, t) = 0 .Будем искать решение в виде ряда Фурье по синусамu(x, t) =Ряды Фурье∞XВеб – страницаbn (t) sin nx ,Титульный листn=1что сразу позволяет удовлетворить граничным условиям.
Вычисляя формально коэффициенты Фурье левой и правой частей волнового уравнения (3.4), приходим кравенствамb00n (t) = −a2 n2 bn (t) (n ∈ N) .Начальные условия будут выполнены, если(bn (0) = bn ,b0n (0) = 0 ,где bn — коэффициенты Фурье функции f (x):JJIIJIСтраница 58 из 127Назадbn =2πRπf (x) sin nx dx. РешениеПолный экран0задачи Коши для функций bn (t) имеет видЗакрытьbn (t) = bn cos(ant) ,Выходчто ведет к представлению искомого решения в видеu(x, t) =∞Xbn cos(ant) sin(nx) .(3.5)n=1Однако, чтобы полученная функция u(x, t) была действительно решением, надо обеспечить возможность дважды непрерывно дифференцировать ряд (3.5) как по t, таки по x почленно. Например, достаточно потребовать сходимости рядаРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитература∞X|bn |n2 .Веб – страницаn=1Последний ряд заведомо сходится, если функция f (x), например, трижды непрерывно дифференцируема на [0, π] иf 00 (0) = f 00 (π) = 0 .Титульный листJJIIJIВ этом случае2bn = − 3πnZπf 000 (x) cos nx dx ,0σn, где рядnЗаметим далее, чтот.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
