А.М. Будылин - Ряды и интегралы Фурье (1118143), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Случай равномерной сходимости∞XЛитератураСтраница 10 из 127НазадПолный экранЗакрытьn=1Выход• ряды∞Xn=1|cn | и∞X|c−n | сходятся.n=1Тогда тригонометрический ряд сходится равномерно на R к непрерывной периодической с периодом 2π функции f , причем1cn =2πZ2πИнтегралы Фурье−inxf (x)edx ,n ∈ Z,Предметный указательЛитература01an =πРяды ФурьеZ2πf (x) cos nx dx ,n ∈ N,Веб – страница01bn =πZ2πТитульный листf (x) sin nx dx ,n ∈ N.0JJIIJIДоказательство.
Эквивалентность условий теоремы следует из неравенств|an | 6 |cn | + |c−n | ,|cn | 6|an | + |bn |,2|bn | 6 |cn | + |c−n | ,|c−n | 6|an | + |bn |.2Страница 11 из 127Далее, в силуНазад|cn einx + c−n e−inx | 6 |cn | + |c−n | ,тригонометрический ряд имеет мажорантный сходящийся рядX(|cn | + |c−n |), неПолный экранn>1зависящий от x. В силу признака Вейерштрасса, тригонометрический ряд сходитсяравномерно на R.
Поскольку члены тригонометрического ряда являются непрерывными периодическими функциями с периодом 2π, таковой будет и сумма ряда (вЗакрытьВыходсилу равномерной сходимости). Обозначим сумму ряда через f (x):f (x) = c0 +∞X(cn einx + c−n e−inx ) ,x ∈ R.n=1Ряды ФурьеВ силу неравенстваИнтегралы Фурьеinx|(cn e−inx+ c−n e−ikx)eПредметный указатель| 6 |cn | + |c−n | ,Литературарядc0 e−ikx +∞X(cn einx + c−n e−inx )e−ikx ,x ∈ R,Веб – страницаn=1равномерно сходится к функции f (x)e−ikx , и этот ряд можно почленно интегрировать. В силу (1.2) все члены ряда при интегрировании по интервалу [0, 2π] обращаются в ноль, за исключением слагаемого с номером n = k:12πZ2π−ikxf (x)e0Z2π+∞Xcndx =ei(n−k)x dx = ck ,2πn=−∞k ∈ Z.Титульный листJJIIJI0Соотношения для ak и bk вытекают из (1.3) и формул Эйлера.Страница 12 из 127НазадЗамечание 1.5.
Формулы для коэффициентов an , bn , cn в силу леммы 1.1 могут бытьПолный экранЗакрытьВыходпереписаны, например, в видеcn =12πZπf (x)e−inx dx ,n ∈ Z,−π1an =πbn =1πРяды ФурьеZπf (x) cos nx dx ,n ∈ N,−πZπИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураf (x) sin nx dx ,n ∈ N.Веб – страница−πТитульный листJJIIJIСтраница 13 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыход2.2.1.Тригонометрические ряды ФурьеПостановка вопросаПосмотрим на проблему с другой стороны. Пусть теперь f (x) — произвольная непрерывная периодическая с периодом 2π функция. Определим по ней последовательности чисел an , bn , cn согласно формуламcn =12πZ2π1πИнтегралы ФурьеПредметный указательf (x)e−inx dx ,n ∈ Z,(2.1)0a0 =Ряды ФурьеЛитератураВеб – страницаZ2π(2.2)f (x) dx ,Титульный лист01an =πZ2πf (x) cos nx dx ,n ∈ N,(2.3)JJIIJI01bn =πZ2πf (x) sin nx dx ,n ∈ N,(2.4)Страница 14 из 1270см., также, замечание 1.5.
Эти коэффициенты называются коэффициентами Фурьефункции f (x). Формулы перехода между комплексными и вещественными коэффициентами определяется равенствамиa0,2an + ibnan − ibn, c−n =, n ∈ N,cn =22an = cn + c−n , bn = i(cn − c−n ) , n ∈ N .c0 =(2.5)(2.6)НазадПолный экранЗакрыть(2.7)Выход(Отметим отличие от предыдущей нормировки при n = 0).Сопоставим функции f (x) тригонометрический рядf (x) ∼∞X∞cn einx =n=−∞a0 X+(an cos nx + bn sin nx) ,2n=1x ∈ R.Он называется [тригонометрическим] рядом Фурье функции f .Что можно сказать о сходимости этого ряда? Если ряд сходится, что собой представляет его сумма, какое отношение она имеет к функции f ? Что будет происходитьсо всеми этими соотношениями, если функцию f выбирать более гладкой или, наоборот, менее гладкой?Таковы, в общих чертах, вопросы, которые нас будут интересовать в дальнейшем.Однако для ответов на поставленные вопросы полезно сделать маленькийРяды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательЛитератураВеб – страницаТитульный лист2.2.Экскурс в теорию унитарных пространствНапомним, что унитарное пространство — это комплексное векторное пространствоV со скалярным произведением ha|bi , a, b ∈ V .
Напомним свойства комплексногоскалярного произведения:1. hλa + µb|ci = λha|ci + µhb|ci ,JJIIJIСтраница 15 из 1272. hb|ai = ha|bi ,Назад3. ha|ai > 0 ,4. ha|ai = 0 ⇐⇒ a = 0 .Полный экранЗаметим, чтоha|λb + µci = λha|bi + µha|ci .ЗакрытьНеотрицательное числоkak =pha|aiВыходназывается [эрмитовой] нормой вектора a. Как и всякая норма, эрмитова удовлетворяет свойствам1. kλak = |λ|kak ,2. ka + bk 6 kak + kbk ,Ряды ФурьеИнтегралы Фурье3.
kak = 0 ⇐⇒ a = 0 .Предметный указательТеорема 2.1 (Неравенство Шварца).Литература|ha|bi| 6 kak · kbk .Доказательство. Положим θ = − argha|bi, так что ha|bi = |ha|bi|e−iθ . Тогда ∀x ∈ Rhxeiθ a + b|xeiθ a + bi = x2 ha|ai + xeiθ ha|bi + xe−iθ hb|ai + hb|biВеб – страницаТитульный лист= x2 kak2 + 2x|ha|bi| + kbk2 > 0 ,откуда (условие неотрицательности дискриминанта) и вытекает неравенство Шварца.JJIIJIФункцияd(a, b) = ka − bkимеет смысл [эрмитова] расстояния между векторами a и b.Векторы a и b называются ортогональными, если их скалярное произведениеравно нулю:a ⊥ b ⇐⇒ ha|bi = 0 .Последовательность векторов e1 , e2 , .
. . называется ортонормированной, если этивекторы взаимно ортогональны и имеют длину равную единице:(0 , m 6= n ,hem |en i = δmn =1, m = n.Страница 16 из 127НазадПолный экранЗакрытьВыходДля произвольного вектора a ∈ V числаcn (a) = ha|en iназываются коэффициентами Фурье вектора a относительно ортонормированнойсистемы (en ).Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеТеорема 2.2 (О проекции). Пусть a — произвольный вектор из V . Положимb=nXПредметный указательЛитератураck ek ,k=1Веб – страницагде ck = ck (a) — коэффициенты Фурье вектора a относительно ортонормированной системы (ek ).
Тогдаa − b ⊥ b.Доказательство. Заметим, что при k 6 nck (b) = ck (a) ,Титульный листJJIIJIтак что при k 6 nСтраница 17 из 127ha − b|ek i = ha|ek i − hb|ek i = ck − ck = 0 .ТогдаНазадha − b|bi = ha − b|nXk=1Напомним теорему Пифагораck ek i =nXk=1ck ha − b|ek i = 0 .Полный экранЗакрытьВыходТеорема 2.3 (Пифагор).a⊥bka + bk2 = kak2 + kbk2 .⇒Доказательство.Ряды Фурьеka + bk2 = ha + b|a + bi = ha|ai + ha|bi + hb|ai + hb|bi = kak2 + kbk2 .Интегралы ФурьеПредметный указательЛитератураСледствие 2.4. Если (ek ) — ортонормированная система, тоknXck ek k2 =k=1nXВеб – страница|ck |2 .k=1Титульный листДоказательство.
Достаточно (n − 1) раз применить теорему Пифагора и учесть,что kck ek k = |ck |kek k = |ck | .JJIIТеорема 2.5 (Неравенство Бесселя). Пусть ck = ck (a) — последовательностькоэффициентов Фурье произвольного вектора a относительно некоторой ортонормированной системы векторов (ek ). ТогдаJI∞XСтраница 18 из 127|ck |2 6 kak2 .k=1Доказательство. Пусть b =nXck ek . Тогда в силу a = (a − b) + b и теорем 2.2НазадПолный экранk=1и 2.3kak2 = ka − bk2 + kbk2 ,ЗакрытьВыходОткуда kbk2 6 kak2 , или что то жеnX|ck |2 6 kak2 .k=1Последнее неравенство в силу произвольности n (и положительности членов ряда)приводит к утверждению теоремы.Ряды ФурьеИнтегралы ФурьеПредметный указательСледствие 2.6 (лемма Римана-Лебега).
Пусть a — произвольный вектор и cn (a)— соответствующие коэффициенты Фурье относительно произвольной ортонормированной системы (en ). ТогдаЛитератураВеб – страницаcn (a) → 0 .n→∞Титульный листДоказательство. Применить необходимый признак сходимости ряда.Следующая теорема устанавливает основное геометрическое свойство коэффициентов Фурье.JJIIТеорема 2.7 (Минимизирующее свойство коэффициентов Фурье).
Пустьe1 , . . . en — произвольная ортонормированная система и a — произвольный вектор из V . ФункцияJI∆(λ1 , . . . λn ) = ka −nXλk ek k,λ 1 , . . . λn ∈ C ,Страница 19 из 127Назадk=1достигает своего наименьшего значения при условииПолный экранλ1 = c1 (a) , . . . λn = cn (a) ,Закрытьт.е. на коэффициентах Фурье вектора a относительно данной ортонормированной системы.ВыходДоказательство.
Положим ck = ck (a) , k = 1, . . . n и b =nXck ek . Вектор a − bk=1ортогонален векторам ek при 1 6 k 6 n. Тогда по теореме Пифагораka −nXλk ek k2 = ka − b −nX(λk − ck )ek k2 = ka − bk2 +|λk − ck |2 .Ряды Фурьеk=1k=1k=1nXИнтегралы ФурьеНаименьшее значение, очевидно, достигается, если λk = ck , k = 1, . . . n:min ka −λ1 ,...λnnX22λk ek k = kak −k=1nXПредметный указательЛитература2|ck | ,(2.8)k=1Веб – страницагде мы воспользовались равенствомka − bk2 = kak2 − kbk2 = kak2 −nX|ck |2 .k=1Но наименьшее значение величины ∆ и наименьшее значение величины ∆2 достигаются одновременно.Геометрический смысл теоремы вполне прозрачен, см. рис. 1.
Рассмотреннуюзадачу можно охарактеризовать как задачу об аппроксимации вектора a линейнымикомбинациями фиксированной ортонормированной системы векторов e1 , . . . en :a≈nXλk ek .Титульный листJJIIJIСтраница 20 из 127Назадk=1Наилучшая (в смысле эрмитовой нормы) аппроксимация получается на коэффициентах Фурье. Заметим, также, что расширение ортонормированной системы (т.е.увеличение n) может привести только к улучшению аппроксимации (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
