1-47 (1118065)
Текст из файла
Çàäàíèÿ ïî êóðñó ÄÓ. Òåîðìèí.217 ãðóïïà, Áîãîìîëîâ Àëåêñàíäð1. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿïåðâîãî ïîðÿäêà.Th.1[Êîøè îa, |y − y0 | ≤ b}∃è ! ðåøåíèÿ]. Ïóñòü â íåêîòîðîì ïðÿìîóãîëüíèêåôóíêöèÿR = {|x − x0 | ≤f (x, y):1) íåïðåðûâíàÿ ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ;2) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà, ò.å.:|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ N |y1 − y2 |,y1 , y2 , y1 , y2 ∈ R.H = min(a, Mb ) (M = supR |f (x, y)|)ãäå N - ïîñòîÿííàÿ(íå çàâèñèò îò âûáîðàÒîãäà íà ñåãìåíòå|x − x0 | ≤ H,ãäåñóùåñòâóåò åäèí-ñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè:dy= f (x, y)dxy(x0 ) = y02.
Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ y' =f(x,y). Ïðîâåðüòå å¼ âûïîëíåíèå äëÿ çàäà÷è.Th.1[Êîøè îÒîæå, ÷òî∃è ! ðåøåíèÿ]. Ïðîâåðêà âûïîëíåíèÿ:f (x, y) = 4x − 4y1) íåïðåðûâíîñòü f(x,y): î÷åâèäíà, íî âñå æå. Ïðîâåðèì ïî îïðåäåëåíèþ. Íóæíî äîêàçàòü,∀ε > 0∃δ > 0∀M, ρ(M (x, y), M0 (x0 , y0 )) < δ : |f (M ) − f (M0 )| < ε. Ôèêñèðóåì ε > 0.δ = 8ε . Òîãäà, íóæíî äîêàçàòü, ÷òî |f (x, y) − f (x0 , y0 )| < ε: |4x − 4y − 4x0 + 4y0 | =4|(x − x0 ) − (y − y0 )| ≤ 4(|x − x0 | + |y − y0 |) < 4(δ + δ) = 8δ < ε 2) óñëîâèå Ëèïøèöà÷òî:Ïîëîæèìïðîâåðÿåòñÿ ýëåìåíòàðíî:|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| = 4|x − y1 − x + y2 | = 4|y1 − y2 | ≤ N |y1 − y2 |äëÿN ≥4Êàê âèäèì, âûáîð N íå çàâèñèò îò âûáîðà òî÷åê => óñëîâèå Ëèïøèöà âûïîëíÿåòñÿ.
Òàêèìîáðàçîì, óñëîâèÿ òåîðåìû âûïîëíåíû âñþäó äëÿ x>0.3. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ y' =f(x,y). Ïðîâåðüòå å¼ âûïîëíåíèå äëÿ çàäà÷è.Òîæå, ÷òîTh.1[Êîøè îf (x, y) =y√6∃è ! ðåøåíèÿ]. Ïðîâåðêà âûïîëíåíèÿ:1) íåïðåðûâíîñòü: î÷åâèäíà, íî çäåñü óæå ëó÷øå äîêàçûâàòü ÷åðåç ïðåäåëû.2) óñëîâèå Ëèïøèöà:√√| 6 y1 − 6 y2 | ≤ N |y1 − y2 |Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âûáîð N çàâèñèò îòy1 , y2=> óñëîâèå Ëèïøèöà íå âûïîëíÿåòñÿ âñþäó,â òîì ÷èñëå è ïðè x>0.
Òåì íå ìåíåå ïîêàæåì ýòî:√√| 6 y1 − 6 y2 |≤N|y1 − y2 |ïðèy2 = 0èy1 → 0:√√| 6 y1 − 6 y2 |1= 5/6 → ∞|y1 − y2 |y114. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó ×àïëûãèíà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿçàäà÷è Êîøè.α(x) è âåðõíåå β(x) ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîα(x) < β(x). Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x,y) íåïðåðûâíà è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþïåðåìåííîé y , ò.å. ïðè êàæäîì x ∈ [0; a] :Th.2[×àïëûãèíà] Ïóñòü ñóùåñòâóåò íèæíååøè, òàêèå ÷òîËèïøèöà ïî|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ N |y1 − y2 |, y1 , y2 ∈ [α(x), β(x)].Òîãäà çàäà÷à Êîøè èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ïðè÷åì:α(x) < y(x) < β(x), x ∈ [0; a]5. Äàéòå îïðåäåëåíèå ÔÑÐ ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî ÄÓ. Âèä îáùåãî ðåøåíèÿ.ÔÑÐ - ñîâîêóïíîñòü n ëèíåéíî íåçàâèñèìû íà îòðåçêå [a,b] ðåøåíèé ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî ÄÓ.Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà.ThÏóñòüy1 (x), · · · , yn (x)- ÔÑÐ ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà.Òîãäà ëþáîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå:z(x) =nXci yi (x),i=1ãäåci - ïîñòîÿííûå.Ïðèìåð:y 00 − 3y 0 = 0Ñîñòàâèì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå:λ2 − 3λ = 0Òîãäà ÔÑÐ óðàâíåíèÿ:y1 (x) = 1, y2 (x) = e3xÒîãäà, èç âûøå ñêàçàííîãî, îáùåå ðåøåíèå:z(x) = c1 + c2 e3x6.
Ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííîé äëÿ ðåøåíèÿ ÍË ÎÄÓ 1ï.Ñóòü ìåòîäà:Th.3[Ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííûõ] Ïóñòüy1 (x), .., yn (x)- ÔÑÐ îäíîðîäíîãî óðàâ-íåíèÿLy = y (n) + a1 (x)y (n−1) + ... + an (x)y = 0Py(x) = ni=1 ci (x)yi (x) áóäåò ðåøåíèåì íåîäíîðîäíîãîÒîãäà ôóíêöèÿc0 (x) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåé ñèñòåìå:íèÿ, åñëè( P(j)nc0i (x)yi (x) = 0, äëÿ j = 0, 1, .., n − 2Pi=1(n−1)n0(x) = f (x)i=1 ci (x)yiÏðèìåð: x = tÎáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî:x(t) = at + b2ëèíåéíîãî óðàâíå-Âàðüèðóåì ïîñòîÿííûå:x(t)= a(t)t + b(t)Ïîëó÷èì:Òàêèì îáðàçîì,2a0 t + b 0 = 0a0 = t3b(t) = − t3 + C22a(t) = t2 + C13x(t) = ( t2 + C1 )t + (− t3 + C2 ),ãäå~ = (C1 , C2 )T Cïðîèçâîëüíûé âåêòîð.7.
Ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííîé äëÿ íåîäíîðîäíîé ëèíåéíîé íîðìàëüíîé ñèñòåìû.˙Íîðìàëüíàÿ ñèñòåìà - ñèñòåìà âèäà: ~x{f1 (t), .., fn (t)}= A(t)~x + F~(t),F~ (t) =~x(t) = {x1 (t), ..., xn (t)}.ãäå A(t) - ìàòðèöà nxn,- çàäàííàÿ âåêòîð ôóíêöèÿ(íåîäíîðîäíîñòü),Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:Th.4 Ïóñòü A(t) è X(t) íåïðåðûâíû íà [a,b] è èçâåñòíî ÔÑÐ îäíîðîäíî ëèíåéíîéíîðìàëüíîé ñèñòåìû. Òîãäà îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþêâàäðàòóð.˙~i (t) - îáùåå ðåøåíèåi=1 ci xPn ñîîòâåòñâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû: ~x =xi (t) (7.1). Ïîäñòàâëÿåì â èñêîìîóþ ñèA(t)~x.
Âàðüèðóåì ïîñòîÿííûå => ~x = i=1 ci (t)~Ïóñòü~x =Pnñòåìó è ïîëó÷àåì:nXi=1c0i (t)~xi (t)+nX0ci (t)~xi (t) = A(t)|i=1P {zA(t)nXci (t)~xi (t) + F~(t)i=1}n~i (t)i=1 ci (t)xnXc0i (t)~xi (t) = F~i=1Åñëè ðàñïèñàòü ïî ñòðî÷íî, ïîëó÷èì ñèñòåìó: Pn 0ci (t)x1i = f1 (t) Pi=1n0i=1 ci (t)x2i = f2 (t)··· Pn 0i=1 ci (t)xni = fn (t)Òàê êàê îïðåäåëèòåëü ÂðîíñêîãîW [x~1 , · · · , x~n ] 6= 0=> ñèñòåìà ðàçðåøèìà èc0i (t) =φi (t), i = 1, n.Zci (t) =ãäåC̃ = (c˜1 , · · · , c˜n )Tφi (t)dt + c˜i ,- ïðîèçâîëüíûé âåêòîð.
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ(7.1) è ïîëó÷àåì îáùåå ðåøåíèå äëÿ íåîäíîðîäíîé ËÍÑ.Ïðèìåð:ẋ = yẏ = −x +1cos(t)Îáùåå ðåøåíèå ñîîòâåòñâóþùåé îäíîðîäíîé: xc1 cos(t) + c2 sin(t)=y−c1 sin(t) + c2 cos(t)3ci (t)â ôîðìóëóÂàðüèðóåì ïîñòîÿííûå. Ïîëó÷èì: c1ln | cos(t)| + c˜1=c2t + c˜2Òàêèì îáðàçîì, îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû çàïèøåòñÿ â âèäå: x(ln | cos(t)| + c˜1 ) cos(t) + (t + c˜2 ) sin(t)=y−(ln | cos(t)| + c˜1 ) sin(t) + (t + c˜2 ) cos(t)8. Ïîêàæèòå ðàâíîñèëüíîñòü.Çàäà÷à Êîøè äëÿ ÎÄÓ n-ãî ïîðÿäêà ñòàâèòñÿ òàê:y (n) = f (x, y, y 0 , · · · , y (n−1) )ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ: y(x0 )0Ïóñòü òåïåðü y = y1 , y = y2 , · · ·ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ:0= y10 , y 0 (x0 ) = y20 , · · · , y (n−1) (x0 ) = yn−1., y (n−1) = yn .
Òîãäà ïðèõîäèì ê ñèñòåìå: 0 y10 = y2 y2 = y3···y 0 = yn n−1yn0 = f (x, y1 , y2 , · · · , yn )0.y1 (x0 ) = y10 , y2 (x0 ) = y20 , · · · , yn−1 (x0 ) = yn−1- óäîâëåòâîðÿþò âñåì óñëîâèÿì òåîðåìû î ∃ è !, ëèøü òîëüêî0(n)ïîòðåáóåì íåïðåðûâíîñòü f (x, y, y , · · · , y) è âûïîëíåíèå óñëîâèå Ëèïøèöà.Ïðàâûå ÷àñòè:fi = yi+1Ïðèìåð:mẍ = F (t, x, ẋ)Ïóñòüy1 = x, y2 = ẋ.9. Òåîðåìà∃ẏ1 = y2ẏ2 = F (t, y1 , y2 )è ! ðåøåíèÿ ç.Êîøè äëÿ ñèñòåìû ïåðâîãî ïîðÿäêà.Ïîñòàâèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà (9.1).
Ïóñòü: ẋ1 = f1 (t, x1 , · · · , xn )···ẋn = fn (t, x1 , · · · , xn )Èëè â âåêòîðíîì âèäå:~x0 = A(t)~x.Ïóñòü çàäàíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ:xi (t0 ) = x0i (i = 1, n).Th [Êîøè] Ïóñòü:1)2)fifi- íåïðåðûâíû â îêðåñòíîñòè íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé;óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî âñåì àðãóìåíòàì, íà÷èíàÿ ñîÒîãäà ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (9.1)∃è !.10.Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà è òàê äàëåå.42-ãî.Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà - ìàòðèöà, ñîñòàâëåííàÿ èç ñòîëáöîâ, îáðàçóþùèõ ÔÑÐ -X(t) = (x~1 (t), · · · , x~n (t)).Òàê êàê êàæäûé ñòîëáåö ìàòðèöû - ðåøåíèå, òî ñïðàâåäëèâî ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå (10.1):Ẋ(t) = A(t)X(t)Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå:~~x(t) = X(t)C,ãäå~C- ïðîèçâîëüíûé âåêòîð.Ïîäñòàâèâ â (10.1) => òîæäåñòâî => Ìû ïîñòðîèëè îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîé ñèñòåìû.Ïðèìåð:ẋ = yẏ = −xËåãêî ïðîâåðèòü:x~1 =cos(t)− sin(t)èx~2 =sin(t)cos(t)îáðàçóþò ÔÑÐ ýòîé ñèñòåìû.
Òîãäà, îáùåå ðåøåíèå äàåòñÿ: xc1−c1 sin(t) + c2 cos(t)x~0 == X(T )C = (x~1 x~2 )=yc2c1 cos(t) + c2 sin(t)11. Òåîðåìà∃è ! ðåøåíèÿ ç.Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà.Ïîñòàâèì çàäà÷ó Êîøè (11.1).Ïóñòü:y (n) = f (x, y, y 0 , · · · , y (n−1) )Ïóñòü òàêæå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ:0y(x0 ) = y10 , y 0 (x0 ) = y20 , · · · , y (n−1) (x0 ) = yn−1Òîãäà:Th [Êîøè] Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (11.1) ∃ è !, åñëè â îêðåñòíîñòè íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé(n−1)) ôóíêöèÿ f:(x0 , y0 , y00 , · · · , y01) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé âñåõ ñâîèõ àðãóìåíòîâ;2) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî âñåì àðãóìåíòàì, íà÷èíàÿ ñî 2-ãî.12. Òåîðåìà î ñòðêòóðå ÔÑÐ îäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà ñïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè â ñëó÷àå ïðîñòûõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãîóðàâíåíèÿ.Ââåäåì ïàðó îïðåäåëåíèé.Ëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå n-ãî ïîðÿäêà - ÄÓ âèäà (11.1):Ly ≡ y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an (x)y = f (x)ïðè óñëîâèè, ÷òî âñåai (x)èf (x)- íåïðåðûâíû íà ìíîæåñòâå X(íåêîòîðîì ïîäìíîæåñòâå÷èñëîâîé ïðÿìîé).Îäíîðîäíîå óðàâíåíèå - óðàâíåíèå âèäà (11.1) ïðè ïðîòèâíîì ñëó÷àå ÄÓ íàçûâàåòñÿf (x) ≡ 0.íåîäíîðîäíûì.Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (11.1) - ëþáàÿ ôóíêöèÿy(x) ∈ C n [X],óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíå-íèþ.ÄÓ (11.1) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè, åñëè5ai (x) = consti .Íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèy(x) = Ceλx , ãäå Ñ6= 0, λ = const (ìåòîä Ýéëåðà).åíòàìè (ËÎÓñÏÊ) áóäåì ñòðîèòü â âèäå:Ïîäñòàâëÿÿ â ËÎÓñÏÊ:L[Ceλx ] = C [λn + a1 λn−1 + · · · + an ] eλx = 0{z}|M (λ)Îòñþäà:M (λ) = 0.Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí - ìíîãî÷ëåíPnn−i.i=1 ai λÕàðàêòåðèñòè÷åñêðå óðàâíåíèå - óðàâíåíèåM (λ) = λn + a1 λn−1 + · · · + an = λ +M (λ) = 0.Ïóñòü: õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò n ðàçëè÷íûõ (ïðîñòûõ) êîðíåéλxÎòñþäà, ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî êàæäîìó λi ñîîòâåòñâóåò ðåøåíèå: yi (x) = e i .λ1 , · · · , λn .Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà:Th Ïóñòü êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïðîñòûå.
Òîãäà ôóíêöèè:(iyi (x) = eλi x= 1, n)îáðàçóþò ÔÑÐ ýòîãî îäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ.Çàìå÷àíèå:(α+iβ)x (α−iβ)xÅñëè êîðíè λi - êîìïëåêñíûå, ïàðó ôóíêöèé e,e, îòâå÷àþùèõ λi =αxα − iβ , îáû÷íî çàìåíÿþò âåùåñòâåííûìè ôóíêöèÿìè e cos(βx), eαx sin(βx).α+iβ, λi+1 =Ïðèìåð:y 000 − 2y 00 − 3y = 0Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (ÕÓ):λ3 − 2λ2 − 3λ = 0Åãî ðåøåíèÿ:λ1,2,3 = 0, 3, −1Òîãäà. ÔÑÐ îäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ:Y (x) = (1 e3x e−x )13. Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèå ìàòðèöû Êîøè îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ ÎÄÓ.ÏóñòüX(t)- ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà. Òîãäà:Ìàòðèöà Êîøè (ìàòðèöàíò) - ìàòðèöàK(t, τ ) = X(t)X −1 (τ ).Îíà îäíîçíà÷íî îïðåäå-ëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè:dK(t, t0 )dt= A(t)K(t, t0 )K(t0 , t0 ) = EÑêàæåì ïàðó ñëîâ î ïîñòðîåíèè ìàòðèöàíòà è åãî èñïîëüçîâàíèè.Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòðèöû Êîøè íàäî ðåøèòü n âåêòîðíûõ çàäà÷ Êîøè: 0xi x~i = A(t)~x~ (t ) = x~0i i 0k = 1, nÐåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ íåîäíîðîäíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû èìååò âèä:Zt~x(t) = K(t, t0 )x~0 +t0Ïðèìåð:ïîêà õç6K(t, τ )F~ (τ )dτ14.
Àëãîðèòì ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî ÎÄÓ n-ãî ïîðÿäêà ìåòîäîì Êîøè.Ââîäíûå îïðåäåëåíèÿ äàíû â 12.Ly = f (x)K(x, s) - ðåøåíèå ñïåöèàëüíîé çàäà÷è Êîøè: L[K(x, s)] = 0K(s, s) = K 0 (s, s) = · · · = K (n−2) (s, s) = 0 (n−1)K(s, s) = 1Ìåòîä Êîøè - ìåòîä íàõîæäåíèÿ ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ:Ïóñòü ôóíêöèÿíàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Êîøè.Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:RxK(x, s)f (s)ds - ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâTh Ôóíêöèÿ y(x) =x0íåíèÿ ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè, ò.å: Ly = f (x)y(x0 ) = y 0 (x0 ) = · · · = y (n−1) (x0 ) = 0x, x0 ∈ [a, b]ÔóíêöèÿK(x, s)- ôóíêöèÿ Êîøè.ProofÏðîâåðÿåì íåïîñðåäñòâåííî ïîäñòàíîâêîé y(x) â óðàâíåíèå. Ïðåæäå:Zxan (x)|y =K(x, s)f (s)dsx0Z0an−1 (x)|y = K(x, x) f (x) +| {z }=0xKx0 (x, s)f (s)dsx0··· Zxa1 (x)|y (n−1) = Kx(n−2) f (x) +Kx(n−1) (x, s)f (s)ds| {z }x0=0Z x(n)(n−1)f (x) +|y = KxKx(n) (x, s)f (s)ds| {z }x0=1Óìíîæèì êàæäîåy(k)(x)íàak (x),ñëîæèì è ïîëó÷èì:ZxLy = f (x) +L[K(x, s)]f (s)dx = f (x)x0Îòñþäà ñðàçó: ÷òä.Ïðèìåð: 00 y + y = f (x)y(0) = 0 0y (0) = 0Ðåøàåì îäíîðîäíîå:y(x) = c1 sin(t) + c2 cos(t)Òåïåðü èç ñâîéñòâ ôóíêöèè Êîøè:c1 sin(s) + c2 cos(s) = 0c1 cos(s) − c2 sin(s) = 1Îòñþäà ñðàçó: c1cos(s)=c2− sin(s)Òî åñòü:K(x, s) = sin(x − s).Òîãäà ðåøåíèå äà¼òñÿ:7y(x) =Rx0sin(x − s)f (s)ds.15.
Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû îäíîðîäíîé ëèíåéíîé ñèñòåìûÎÄÓ.Ïîêà õç, ÷åì îòëè÷àåòñÿ îí îòñì. âîïðîñ 10.16. Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿ Âðîíñêîãî, ïîñòðîåííîãî èç ðåøåíèéîäíîðîäíîãî ÎÄÓ n-ãî ïîðÿäêà.Îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî (Âðîíñêèàí) ôóíêöèéy1 , y2 , · · · , yn((n-1) ðàç äèôôåðåí-öèðóåìûõ íà ïðîìåæóòêå X) - îïðåäåëèòåëü âèäà:W (x) = W [y1 , y2 , · · · , yn ] = Ïóñòü òåïåðüy1 , y2 , · · · , yny1y10···(n−1)y1y2y20···(n−1)y2············ynyn0···(n−1)yn- ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî ÎÄÓ n-ãî ïîðÿäêà. Òîãäà ñïðàâåäëèâûñëåäóþùèå òåîðåìû-ñâîéñòâà:y1 , y2 , · · · , yn - ëèíåéíîW [y1 , · · · , yn ] ≡ 0 íà ýòîì îòðåçêå.1) Åñëè ôóíêöèèìûçàâèñèìû ïðèx ∈ [a; b],òî âðîíñêèàí ýòîé ñèñòå-(äîêàçûâàåòñÿ "â ëîá"âûïèñûâàíèåì óñëîâèÿ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè âåêòîðîâ è äèôôåðåíöèðîâàíèåì îíîãî (n-1) ðàç)2) Åñëè ëèíåéíî íåçàâèñèìûå (ëíç) ôóíêöèèy1 , · · · , ynÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ëèíåéíîãîîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ:y (n) + p1 (x)y (n−1) + · · · + pn (x)y = 0ñ íåïðåðûâíûìè íà îòðåçêå [a;b] êîýôôèöèåíòàìèpi (x),òî âðîíñêèàí ýòîé ñèñòåìûW [y1 , · · · , yn ] 6= 0íè â îäíîé òî÷êå ýòîãî îòðåçêà.Ïðèìåð:y 00 − y = 0ÕÓ:λ2 = 1ÔÑÐ:Ñîñòàâèì âðîíñêèàí xy1e= −xy2eW [y1 , y2 ]: x −x e eW [y1 , y2 ] = xe −e−x = −1 − 1 = −2Êàê è îæèäàëîñü, âðîíñêèàí ëíç âåêòîðîâ îòëè÷åí îò íóëÿ âñþäó, ãäå âåêòîðà ëíç.17.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
