1-47 (1118065), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Òåîðåìà Íàãóìî î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ íåëèíåéíîé êðàåâîé çàäà÷è.Ðàññìîòðèì äâóõòî÷å÷íóþ êðàåâóþ çàäà÷ó (37.1):d2 u= f (u, x), x ∈ D = (0; 1)dx2u(0) = u0 , u(1) = u1Ââåäåì ïàðó îïðåäåëåíèé:2Ôóíêöèè α(x), β(x) ∈ C (D)∩ C(D̄)íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñâåííîíèæíèì è âåðõíèìðåøåíèÿìè çàäà÷è (37.1), åñëè:d2 βd2 α−f(α(x),x)≥0≥− f (β(x), x), x ∈ Ddx2dx2α(0) ≤ u0 ≤ β(0), α(1) ≤ u1 ≤ β(1)α(x), β(x) - íèæíåå è âåðõíåå ðåøåíèå çàäà÷è (37.1),α(x) ≤ β(x), x ∈ [0; 1], à ôóíêöèÿ f (u, x) - íåïðåðûâíàÿ è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþËèïøèöà ïî ïåðåìåííîé u ∈ [α; β], x ∈ [0; 1].Òîãäà ∃ ðåøåíèå çàäà÷è (37.1) u(x), ïðè÷åì:Th [Íàãóìî] Ïóñòü ñóùåñòâóþòïðè÷åìα(x) ≤ u(x) ≤ β(x), x ∈ [0; 1]38. Òåîðåìà î ïðåäñòàâëåíèè ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà.Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà:Th Ïóñòü îäíîðîäíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à èìååò òîëüêî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå.
Òîãäà∃!ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé çàäà÷è, êîòîðîå ìîæåò áûòü âûðàæåíî ÷åðåç ôóíêöèþ Ãðèíà:Zy(x) =lG(x, s)f (s)ds039. Îïðåäåëåíèå ôóíêöèè Ãðèíà êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ÄÓ 2 ïîðÿäêà.Ôóíêöèåé Ãðèíà êðàåâîé çàäà÷è (37.1) íàçûâàþò ôóíêöèþ 2-õ ïåðåìåííûõ1)2)3)4)G(x, s)G(x, s)G(x, s)G(x, s)G(x, s):R = {(x, s) : 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ s ≤ l};Lx [G] = 0, 0 < x, s < l;óäîâëåòâîðÿåò íóëåâûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì: G(0, s) = G(l, s) = 0;èìååò ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà â x = s:îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà âóäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ:[G0x (s + 0) − G0x (s − 0)] =1p(s)40.
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ô.Ãðèíà è ðåøåíèÿ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ íåîäíîðîäíîãîÄÓ 2-ãî ïîðÿäêà.17Ðàññìîòðèì ïðåæäå îäíîðîäíóþ êðàåâóþ çàäà÷ó.Ly = 0y(x0 ) = 0, y(x1 ) = 0Ïóñòüy1 (x)- ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è, íî óäîâëåòâîðÿþùåå ëèøü ïåðâîìó ãðàíè÷íîìó óñëî-y2 (x)- ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è, íî óäîâëåòâîðÿþùåå ëèøü âòîðîìó ãðàíè÷íîìó óñëî-âèþ.Ïóñòüâèþ.Ïóñòüy1 (x), y2 (x) - íåòðèâèàëüíû.Ôóíêöèþ Ãðèíà èùåì â âèäå:c1 y1 (x), x0 ≤ x ≤ s;c2 y2 (x), s ≤ x ≤ x1G(x, s) =Âûáåðåì ïîñòîÿííûåc1 , c2òàê, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòü îïðåäåëåíèþ ôóíêöèè Ãðèíà:c1 y1 (s) = c2 y2 (s)c2 y20 (s) − c1 y10 (s) =Òàê êàêy1 (x1 ) 6= 0ðåøåíèÿy1 , y21p(s)- ëíç => âðîíñêèàíc1 =W [y1 , y2 ] 6= 0â òî÷êåx=s= >y1 (s)y2 (s), c2 =p(s)W (s)p(s)W (s)Îòñþäà:(G(x, s) =y2 (s)y (x), x0 ≤ x ≤ s;p(s)W (s) 1y1 (s)y (x), s ≤ x ≤ x1p(s)W (s) 2Òîãäà, ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé êðàåâîé çàäà÷è:Zx1y(x) =G(x, s)f (s)dsx041.
Îïðåäåëåíèå è àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è.ñì.39 - 4042. Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà ôóíêöèè Ãðèíà.ñì.3943. Çàïèøèòå ìàòåìàòè÷åñêèå ïîñòàíîâêè èçâåñòíûõ Âàì êðàåâûõ çàäà÷.Âîçüìåì çàäà÷ó èç ëåêöèè î ïðîôèëå ñòðóíû.y 00 (x) = f (x), 0 < x < l, f (x) ∈ C[0; l]y(0) = y(l) = 0Ðåøåíèå:Ðàññìîòðèì îäíîðîäíóþ çàäà÷ó.y 00 = 0 → y(x) = C1 x + C2 ñ ó÷åòîì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé:18y(x) ≡ 0. Ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäíàÿçàäà÷à èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.Ïîñòðîì ôóíêöèþ Ãðèíà.y1 (x) :y2 (x) :y100 (x) = 0→ y1 (x) = xy1 (0) = 0y200 (x) = 0→ y1 (x) = x − ly2 (l) = 0W [y1 , y2 ] = 1p(s) = 1Òîãäà:G(x, s) =Òîãäà:y(x) =Rlx(s − l), 0 ≤ x ≤ s;(x − l)s, s ≤ x ≤ lG(x, s)f (s)ds0Ôèç.ñìûñë - ïðîôèëü ñòðóíû ïðè ñòàò.íàãðóçêå f(x).44.
Ëèíåéíîå îäíîðîäíî óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåâðîãî ïîðÿäêà. Àëãîðèòìðåøåíèÿ.Ëèíåéíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà óðàâíåíèå âèäà:nXXi (x1 , · · · , xn )i=1∂z=0∂xiÏóñòü, äàëåå:1)2)Xi - îïðåäåëåíûè äèôôåðåíöèðóåìûPn2∀~x ∈ D : i=1 Xi (~x) 6= 0;â îáëàñòèD;Ïóñòü (44.1):dx1dx2dxn== ··· =X1 (~x)X2 (~x)Xn (~x)Ïåðâûì èíòåãðàëîì íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿêðèâîé (44.1) :Ψ(x1 , · · ·, xn ) = C .Ψ(x1 , · · · , xn ), òàêàÿ, ÷òî âäîëü èíòåãðàëüíîéÏóñòü èçâåñòíû n-1 íåçàâèñèìûõ èíòåãðàëîâ (44.1),ïðè÷åì:D(Ψ1 , · · · , Ψn−16= 0, ~x ∈ DD(x1 , · · · , xn−1Òîãäà îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿz = Φ(Ψ1 , · · · , Ψn−1 ). ãäåΦ- ïðîèçâîëüíàÿ äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ ñâîèõ àðãóìåíòîâ.45.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñèñòåìà è õàðàêòåðèñòèêè.nXXi (x1 , · · · , xn )i=1∂z= 0(45.1)∂xiÕàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñèñòåìîé, ñîîòâåòñâóþùåé (45.1), íàçûâàåòñÿ ñèñòåìà èç n-1óðàâíåíèé:dx1dx2dxn== ··· =X1 (~x)X2 (~x)Xn (~x)Õàðàêåòðèñòèêàìè óðàâíåíèÿ (45.1) íàçûâàþòñÿ ðåøåíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñèñòåìû.1946. Ïåðâûé èíòåãðàë õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñèñòåìû.Ïåðâûì èíòåãðàëîì õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿòàêàÿ, ÷òî âäîëü èíòåãðàëüíîé êðèâîé (45.1) :Ψ(x1 , · · ·Ψ(x1 , · · · , xn ),, xn ) = C .47.
Òåîðåìà î ðåøåíèè êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ â ÷.ï. ïåðâîãî ïîðÿäêà.Êâàçèëèíåéíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà -óðàâíåíèåâèäà:nXXi (x1 , · · · , xn , z)i=1∂z= Z(x1 , · · · , xn , z)∂xiV (x1 , · · · , xn , z) = 0.z: z = Ψ(x1 , · · · , xn ).Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â íåÿâíîì âèäå:Ïóñòü óð-èå ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíîÏóñòü:∂V∂z6= 0.Òîãäà, ñ ó÷åòîì:∂V∂zi= − ∂x∂V∂xi∂zÏîëó÷èì èç ïåðâîíà÷àëüíîé ñèñòåìû:nXi=1Xi (x1 , · · · , xn , z)∂V∂V=0+ Z(x1 , · · · , xn , z)∂xi∂z1) Çàïèøåì, êàê è ïðåæäå, õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ñèñòåìó:dx1dx2dxndz== ··· ==X1 (~x)X2 (~x)Xn (~x)Z(~x)ż ðåøåíèÿ - èíòåãðàëüíûå êðèâûå â ïðîñòðàíñòâå(x1 , · · · , xn , z).2) Íàéäåì, êàê è ðàíüøå, n ïåðâûõ èíòåãðàëîâ ñèñòåìû.Ψ1 (x1 , · · · , xn , z) = C1···Ψn (x1 , · · · , xn , z) = C2V = Φ(Ψ1 , · · · , Φn ).V = Φ(Ψ1 , · · · , Φn ) äàåò ðåøåíèå ïîñòàâëåííîéÒîãäà, çàïèøåì:3)20çàäà÷è â íåÿâíîì âèäå..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
