Дифуры (1118066)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1.Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðâîãîïîðÿäêà.Äâà ñëó÷àÿ.•Ëèíåéíîå:Ïóñòüp(x)dydxè+ p(x)y(x) = f (x), y(x0 ) = y0f (x) ∈ C(a, b). Òîãäà ÷åðåç êàæäóþòî÷êó(a, b) × Rx ∈ (a, b).ïðîõîäèòN (x, y) íåïðåðûâíûåQ âûïîëíåíû óñëîâèÿâìåñòå ñî(x0 , y0 )îäíà è òîëüêî îäíà èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ, îïðåäåëåííàÿ ïðè âñåõ•M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0Q = (a, b) × (c, d) ôóíêöèè M (x, y)ïîëîñû ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ:Ïóñòü â ïðÿìîóãîëüíèêåñâîèìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè∂M∂yè∂N ,∂xïðè÷åì âñþäó âè∂N (x, y)∂M (x, y)=∂y∂xN (x, y) 6= 0Òîãäà ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó(x0 , y0 ) ∈ Q(1)(2)ïðîõîäèò îäíà è òîëüêî îäíà èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿóðàâíåíèÿ.2.Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøèäëÿ óðàâíåíèÿ y 0 = f (x, y). Ïðîâåðüòå óñëîâèÿ âûïîëíåíèÿ ýòîé òåîðåìû äëÿ çàäà÷èy 0 = 4x − 4y, x > 0, y(0) = 03.Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøèäëÿ óðàâíåíèÿ y 0 = f (x, y).

Ïðîâåðüòå óñëîâèÿ âûïîëíåíèÿ ýòîé òåîðåìû äëÿ çàäà÷è√6y, x > 0, y(0) = 0(dydx= f (x, y),y(x0 ) = y0 .f (x, y) çàäàíà â îáëàñòè G ïëîñêîñòè (x, y), ñîäåðæàùåé[x0 − a, x0 + a] × [y0 − b, y0 + b], D ⊂ G è âûïîëíåíû óñëîâèÿ:Ïóñòü• f (x, y)íåïðåðûâíà â îáëàñòèDóäîâëåòâîðÿåò âDâD,òî åñòüóñëîâèþ Ëèïøèöà ïî|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ N |y1 − y2 |,x0 −H ≤ x ≤ x0 +HM = max |f (x, y)|Dy:ãäå N - ïîñòîÿííàÿ Ëèïøèöà, íå çàâèñÿùàÿ îò x è yÈëè æå:Òîãäà íà îòðåçêåD =è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííà∃M : |f (x, y)| ≤ M• f (x, y)çàìêíóòûé ïðÿìîóãîëüíèê∂f (x, y)∈ C(D)∂yñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è, ãäåÏðîâåðêà: dy dx = 4x − 4y,y(0) = 0,x > 0.1b ).H = min(a, Mf (x, y) = 4x − 4yíåïðåðûâíà â(0, a] × Rïðè∀a.Óñëîâèå Ëèïøèöà:|f (x, y2 ) − f (x, y1 )| = |4x − 4y2 − 4x + 4y1 | = 4|y1 − y20 | ≤ N |y2 − y1 |Çíà÷èò, óñëîâèÿ âûïîëíåíû,×ÒÄ. dy√ dx = 6 y,y(0) = 0,x > 0.√6 y íåïðåðûâíà â (−∞, +∞) × (0, +∞); çíà÷èò, îíà íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â ïðÿìîóãîëüíèêå [x0 − a, x0 + a] × [y0 − b, y0 + b] äàæå ó÷èòûâàÿ äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå x > 0.

Óñëîâèÿf (x, y) =òåîðåìû4.íåâûïîëíåíû.Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó ×àïëûãèíà î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà.Ñàìà çàäà÷à: dy dx = f (x, y),y(0) = y0 ,0<x≤aÄëÿ íà÷àëà îïðåäåëåíèå âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé (âåðõíåé è íèæíåé ô-é ×àïëûãèíà):Ôóíêöèÿz ∈ C −1 (0, a]∩C[0, a] íàçûâàåòñÿ íèæíèì ðåøåíèåì çàäà÷è, åñëè âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà0 < x ≤ a,dz< f (x, z(x)), z(0) < y0dxèëè æå ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà, åñëè ðå÷ü î âåðõíåì ðåøåíèè çàäà÷è0 < x ≤ a,Òîãäà ïðèdz> f (x, z(x)), z(0) > y0dx∀x ∈ [0, a]: α(x) < y(x) < β(x),ãäåα, β- íèæíåå è âåðõíèå ðåøåíèÿ,y(x)- ïðîñòîðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû.Ñàìà òåîðåìà:Ïóñòü∃α(x), β(x) - âåðõíåå è íèæíåå ðåøåíèÿ çàäà÷è ñîîòâåòñòâåííî è α(x) < β(x) (õç çà÷åìx ∈ [0, a].

Ïóñòü f (x, y) íåïðåðûâíà è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî ïåðåìåííîéíàïèñàíî),y, òî åñòü∀x ∈ [0, a] : |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| < N |y1 − y2 |; y1 , y2 ∈ [α(x), β(x)]Òîãäà îïèñàííàÿ âûøå çàäà÷à Êîøè èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèåy(x),ïðè÷åìα(x) < y(x) < β(x), 0 ≤ x ≤ a.5.Äàéòå îïðåäåëåíèå ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû ðåøåíèé (ÔÑÐ) ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (ËÎÄÓ). Êàêîé âèä èìååò îáùåå ðåøåíèå òàêîãîóðàâíåíèÿ? Ïðèâåäèòå ïðèìåð.•Ïóñêàé åñòü ËÎÄÓy (n) + a1 (x)y (n−1) + .

. . + an (x)y = 0Ñîâîêóïíîñòü ëþáûõn (n- ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ) ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ íà îòðåçêåíèé ýòîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàåòñÿ ÔÑÐ ËÎÄÓ.2[a, b]ðåøå-•Îáùåå ðåøåíèå:y(x) =nPCi yi (x),ãäåy1 . . . yn- ÔÑÐ óðàâíåíèÿ.i=1•Ïðèìåð: îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿy 00 − y = 0y(x) = C1 ex + C2 e−x ,à åãî ÔÑÐ, ñîîòâåòñòâåííî{ex , e−x }6.Ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííîé äëÿ ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî îáûêíîâåííîãîäèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (ÍËÄÓ) ïåðâîãî ïîðÿäêà.

Ïðèâåäèòå ïðèìåð.•Ïóñêàé åñòü ÍËÄÓy (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an (x)y = f (x)ÏóñòüÒîãäày1 (x) . . . yn (x) - ÔÑÐ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ y (n) + . . . + an (x)y = 0.nPy(x) =Ci (x)yi (x) áóäåò ðåøåíèåì ÍËÄÓ, åñëè Ci (x) óäîâëåòâîðÿþòñèñòåìå óðàâ-i=1íåíèé nP 0(j)Ci (x)yi (x) = 0,j = 0, 1, 2, . . .

, n − 2i=1nP(n−1)Ci0 (x)yi(x) = f (x)i=1•Äëÿ ÍËÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà, ñîîòâåòñòâåííî:y 0 + a(x)y(x) = f (x);y(x) = C1 (x)y1 (x);Äàëüøå ïðîñòî ïîäñòàâëÿåì ýòî â èñõîäíîå óðàâíåíèå, òàê êàê ñèñòåìó ìû íàïèñàòü íå ìîæåì.Èç ýòîãî íàõîäèì7.C(x)è âóàëÿ.Ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííûõ äëÿ ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîé ëèíåéíîé íîðìàëüíîé ñèñòåìû ÎÄÓ (ÍËÍÑ) ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ïðèâåäèòå ïðèìåð.~x˙ = A(t)~x + F~ (t), ãäå A(t) - ìàòðèöà n × n, F~ (t) - çàäàííàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ,îïðåäåëåííàÿ ïðè t ∈ [a, b], ~x = {x1 (t), . . . , xn (t)}. Ýëåìåíòûai,j ìàòðèöû A(t), à òàê æå ôóíêöèè~fi (t) èç F (t) íåïðåðûâíû íà [a, b].Ïóñòü èçâåñòíà ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà W (t) (ñì. âîïðîñ 10) îäíîðîäíîé ñèñòåìû (ìàòðèöà,ñòîáöû êîòîðîé - ÔÑÐ îäíîðîäíîé ñèñòåìû), W (t) è F (t) íåïðåðûâíû íà [a, b].

(Öèòàòà èç ëåêÏóñòü åñòü ñèñòåìàöèè: Òîãäà îáùåå ðåøåíèå ÍËÍÑ íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ êâàäðàòóð è äàëüøå äîê-âî ìåòîäà âàðèàöèè ïîñòîÿííûõ). Òîãäà îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîé ñèñòåìû áóäåò â âèäåðåøåíèå íåîäíîðîäíîé èùåì â âèäå~ .~ỹ = W (t)C(t)~˙ = F~ (t)W (t)CÎòñþäà íàõîäèì~ ;C(t)ïîäñòàâëÿåì âà ÷àñòíîåÏîäñòàâëÿÿ ýòî â ñèñòåìó, ïîëó÷àåìâ ñèëó òîãî, ÷òî~~y = W (t)C~,~y = W (t)CẆ = A(t)W (t).è ïîëó÷àåì ÷àñòíîå ðåøåíèå ÍËÍÑ, à, çíà÷èò, èåå îáùåå ðåøåíèå, òàê êàê èçâåñòíî îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîé ñèñòåìû. Ïðèìåð ïðèâîäèòü ëåíü.8.Ïîêàæèòå ðàâíîñèëüíîñòü çàäà÷è Êîøè äëÿ ÎÄÓ n-ãî ïîðÿäêà çàäà÷å Êîøè äëÿ íîðìàëüíîé ñèñòåìû 1-ãî ïîðÿäêà. Ïðèâåäèòå ïðèìåð.3•Çàäà÷à Êîøè: (n)y= fi (x, y, y 0 , .

. . , y (n−1) )y(x ) = y 001··· (n−1)y(x0 ) = yn0Çàìåíÿåìy = y1 , y 0 = y2 , . . . , y (n−1) = yn .Òîãäà ïîëó÷àåì çàäà÷ó Êîøè äëÿ íåîäíîðîäíîéíîðìàëüíîé ñèñòåìû 1-ãî ïîðÿäêà:y10 = y2y20 = y3· · ·0= ynyn−10yn = f (x, y1 , y2 , . . . , yn )yi (x0 ) = yi0 ,i = 1, 2, . . . , n•Ïðèìåð: çàäà÷à Êîøè00y + y = sin(x)y(0) = A 0y (0) = Bñâîäèòñÿ ïóòåì çàìåíûv = y0êv = x0v 0 + y = sin(x)y(0) = Av(0) = B9.Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿñèñòåìû óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà.Ïóñòü åñòü ñèñòåìà(~y˙ = f~(x, ~y )~y (x~0 ) = y~0f~(x, ~y ) çàäàíà â îáëàñòè G (n+1)-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà.~(x, ~y ) ∈ C(G) (∃M : ∀(x, ~y ) ∈ G : |f (x, ~y )| ≤ M ) è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî ~yÏóñòü f(âíèìàíèå: äëÿ âñåõ êîìïîíåíò yi êîíñòàíòà N îäíà è òà æå) â ëþáîé çàìêíóòîé îãðàíè÷åííîéîáëàñòè g ⊂ G.

Òîãäà ∃!~y , ÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè íà âñåì G.ãäå10.×òî òàêîå ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà? Êàê ñ åå ïîìîùüþ ïîñòðîèòü îáùåå ðåøåíèåîäíîðîäíîé ñèñòåìû? Ïðèâåäèòå ïðèìåð.•Ñîâîêóïíîñòü èç n ðåøåíèé îäíîðîäíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû~x˙ = A(t)~x,ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ~ (t) íåòó), íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþíà [a, b] (ñì. 6, ÷òî òàêîå [a, b], òîëüêî Fðåøåíèé (ÔÑÐ) ýòîé ñèñòåìû.•Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöàX(t)- ìàòðèöà èç ñòîëáöîâ, îáðàçóþùèõ ÔÑÐ:X(t) = (X~1 (t), . . . , X~n (t)),ãäåX~1 (t), . . . , X~n (t)- ÔÑÐ.4•Îáùåå ðåøåíèå~x(t) =nPCi Xi (t)ïðè ïîìîùè ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû ìîæíî çàïèñàòü âi=1âèäå:~~x(t) = X(t)C,ãäå•11.~C- ïðîèçâîëüíûé âåêòîð.Ïðèìåð - áåðåì êàêóþ-íèáóäü ïðîñòåíüêóþ ñèñòåìó, ðåøàåì åå è ïîêàçûâàåì åå ÔÑÐ è X(t).Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿóðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà, ðàçðåøåííîãî îòíîñèòåëüíî ñòàðøåé ïðîèçâîäíîéÏóñòüf (x, y1 , y2 , .

. . , yn )íåïðåðûâíà è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà âD = {0 ≤ x ≤ a, |y1 − yi0 | ≤ bi }, i = 1, 2, . . . , n.Òîãäà çàäà÷à (n)y= fi (x, y, y 0 , . . . , y (n−1) )y(x ) = y 001··· (n−1)y(x0 ) = yn0èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå íà îòðåçêå[x0 , x0 + H],ãäåbbH = min(a, 1 , . . . , i ), M = max |f (x, y1 , . . . , yn )|.MMD12.Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó î ñòðóêòóðå ÔÑÐ îäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè â ñëó÷àå ïðîñòûõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãîóðàâíåíèÿ.

Ïðèâåäèòå ïðèìåð.• Ly = y (n) + a1 y (n−1) + . . . + an y = f (x), ai = const.M (λ) = λn + a1 λn−1 + . . . + an•Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí:•Ïóñòü êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà (M (λ)= 0)ïðîñòûå (òî åñòü, êàæäûé âñòðå-÷àåòñÿ òîëüêî îäèí ðàç). Òîãäà ôóíêöèèyk = eλk x , k = 1, .

. . , n•Ïðèìåð: îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿîáðàçóþò ÔÑÐ.y 00 − y = 0y(x) = C1 ex + C2 e−x ,à åãî ÔÑÐ, ñîîòâåòñòâåííî{ex , e−x }13.Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèå ìàòðèöû Êîøè îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ ÎÄÓ.Ïðèâåäèòå ïðèìåð.−1 (τ ), ãäå X(t) - ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà, à X −1 (t) - îáðàòíàÿ åé,Ìàòðèöà K(t, τ ) = X(t)Xíàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé Êîøè.Îïðåäåëèòü åå ïîëåã÷å ìîæíî ÷åðåç òî, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿA(t)K(t, τ ),14.óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèþK 0 (t, τ ) =K(τ, τ ) = E .Àëãîðèòì ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî ÎÄÓ n-ãî ïîðÿäêà ñ ïîìîùüþ ôóíêöèèÊîøè. Ïðèâåäèòå ïðèìåð.5•ÔóíêöèÿK(x, ξ), ÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåì ñïåöèàëüíîé çàäà÷è Êîøè(Lx K(x, ξ) = 0K(ξ, ξ) = 0, Kx0 (ξ, ξ) = 0, . .

. , Kxn−2 (ξ, ξ) = 0, Kxn−2 (ξ, ξ) = 1íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Êîøè.•Ïîðÿäîê äåéñòâèéÍàäî äîïèñàòü, ÿ õç15.Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû îäíîðîäíîé ñèñòåìû ÎÄÓ n-ãîïîðÿäêà. Ïðèâåäèòå ïðèìåð.•Îïðåäåëåíèå è ïðèìåð - ñì. 10 (Òóò îáîçíà÷ó åå êàê•ëèíåéíàÿ ÎÑ ÎÄÓ èìååò ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó.•Çíàÿ ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöóX(t)ñèñòåìû, ìîæíî îäíîçíà÷íî âîññòàíîâèòü ýòó ñèñòåìóóðàâíåíèé. Êàê ýòî ñäåëàòü - ÷åðåç òîò ôàêò, ÷òî•X(t))Ẋ(t) = A(t)X(t),îòñþäà íàõîäèòñÿA(t).X(t) îòëè÷åí îò íóëÿ íà [a, b] (âî âñåõ òî÷êàõýòîãî îòðåçêà).

ñì. 6, ÷òî òàêîå~[a, b], òîëüêî F (t) íåòó. Ýòîò ôàêò î÷åâèäåí, åñëè âñïîìíèòü, ÷òî îïðåäåëèòåëü ýòîé ìàòðèöûÎïðåäåëèòåëü- ïî ñóòè, âðîíñêèàí ÔÑÐ.16.•Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà óäîâëåòâîðÿåò ìàòðè÷íîìó óðàâíåíèþ•Ëþáîé ðåøåíèå ñèñòåìû ïðåäñòàâèìî â âèäå~ , ãäå C~x(t) = X(t)CẊ(t) = A(t)X(t).- ëþáîé ïîñòîÿííûé âåêòîð.Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿ Âðîíñêîãî, ïîñòðîåííîãî èç ðåøåíèé îäíîðîäíîãî ÎÄÓ n-ãî ïîðÿäêà.

Ïðèâåäèòå ïðèìåð.•Îïðåäåëèòåëåì Âðîíñêîãî (âðîíñêèàíîì) ñèñòåìûnîïðåäåëèòåëü: y1 (x) y 0 (x) 1...W [y1 (x), . . . , yn (x)] = y (n−2) (x) 1 (n−1)y(x)1•Ïóñòü ôóíêöèèyi (x)ëèíåéíî çàâèñèìû íà îòðåçêå•Ïóñòü ôóíêöèèyi (x)ëèíåéíî íåçàâèñèìû íà îòðåçêå•[a, b],è òîãäà ýòè ðåøåíèÿ ËÇ íà[a, b],ñëó÷àå ðàññìàòðèâàåìûå ðåøåíèÿ ËÍÇ íà...............[a, b].Âðîíñêèàí ñèñòåìû ðåøåíèé îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿíày1 (x), . . .

, yn (x)yn (x) yn0 (x) ...(n−2)yn(x)(n−1)yn(x)ôóíêöèéÒîãäà[a, b].W [. . .] = 0.ÒîãäàLy = 0íàçûâàåòñÿW [. . .] 6= 0.ëèáî òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþëèáî íå îáðàùàåòñÿ â íîëü íèãäå íà[a, b];â ýòîì[a, b].•Âðîíñêèàí ñèñòåìû, ñîñòàâëåííîé èç ôóíêöèé,•Ïðèìåð: îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ∈ÔÑÐ, îòëè÷åí îò íóëÿ.y 00 − y = 0y(x) = C1 ex + C2 e−x ,à åãî ÔÑÐ, ñîîòâåòñòâåííî{ex , e−x }Âîçüìåì âðîíñêèàí îò ýòîé ñèñòåìû ôóíêöèé: x−x eex−xx −xx −x xe −e−x = e (−e ) − e e = −2e e = −2, −2 6= 0, ×ÒÄ6- âðîíñêèàí ÔÑÐ6= 017.Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿíîðìàëüíîé ñèñòåìû ÎÄÓ.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)