1-47 (1118065), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó∃è ! ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ íîðìàëíîé ñèñòåìû ÎÄÓ.Íîðìàëüíàÿ ñèñòåìà ÎÄÓ - ñèñòåìà âèäà (â âåêòîðíîé çàïèñè):~x0 = f~(t, ~x)8Çàäà÷à Êîøè äëÿ íîðìàëüíîé ñèñòåìû ÎÄÓ ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ðåøåíèÿ ñèñòåìû~x = ~x(t),óäîâëåòâîðÿþùåãî íà÷.óñëîâèÿì:~x(t0 ) = x~0 .Th [Êîøè] Ïóñòü âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1)2)f~(t, ~x) ∈ C(G), ò.å. ∃M = maxG |f~(t, ~x)| : |f~| ≤ M - ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà íà G;f~(t, ~x) â ëþáîé çàìêíóòîé îãðàíè÷åííîé ïîäîáëàñòè :ḡ ⊂ G óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþËèïøèöà:|f~(t, x~1 ) − f~(t, x~2 )| ≤ N |x~1 − x~2 |Òîãäà äëÿ âñåõ(t0 , x~0 ) ∈ G ∃è ! ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè, îïðåäåëåííîå â íåêîòîðîé îêðåñò-íîñòè íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé.18.
Àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè.Òîæå, ÷òî 14.19. Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ ëèí.îäíîðîäíîé ñèñòåìû ÎÄÓ ñïîìîùüþ ìàòðèöû Êîøè.Îïðåäåëåíèÿ ìàòðèöàíòà áûëî äàíî âûøå. Íàïîìíèì åãî.X(t) - ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà. Òîãäà: Ìàòðèöà Êîøè (ìàòðèöàíò) - ìàòðèöàK(t, τ ) = X(t)X −1 (τ ). Îíà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè: dK(t, t0 ) = A(t)K(t, t0 )dtK(t0 , t0 ) = EÏóñòüÐåøåíèå îäíîðîäíîé ñèñòåìû ÎÄÓ ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû Êîøè äàåòñÿ âûðàæåíèåì:~x(t) = K(t, t0 )C~0 ,ãäåC~0-ïðîèçâîëüíûé âåêòîð.Ïðèìåð:Îáùåå ðåøåíèå:x0 = x − 2yy 0 = −y~~z(t) = W (t)C t −t xe eC1C1 et + C2 e−ty===y0 e−tC2C2 e−t t −t −t0e ee− e−t0−1K(t, t0 ) = W (t)W (t0 ) ==0 e−t0 et0 t−t0e− 2sh(t − t0 )=0 et0 −t20. Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ ëèí.íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ÎÄÓ ñïîìîùüþ ìàòðèöû Êîøè.Àíàëîãè÷íî âîïðîñó19.
Ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ÎÄÓ:~x(t) = K(t, t0 )C~0 +Ztt09K(t, τ )F~ (τ )dτÏðèìåð:x0 = x − 2y + ety 0 = −y + 1 t −t −t0− e−t0ee e−1=K(t, t0 ) = W (t)W (t0 ) =0 et00 e−t t−t0e− 2sh(t − t0 )=0 et0 −t Z tZ t t−se− 2sh(t − s) esds =z(t) =K(t, s)F (s)ds =10 es−tt0t0 t e (t − t0 ) + 2−2ch(t − t0 )=+1−et0 −t21. Êàêîìó èíòóðó ðàâíîñèëüíà çàäà÷à Êîøè äëÿ ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà?.Íà÷àëüíóþ çàäà÷ó ìû ñòàâèëè óæå íåîäíîêðàòíî (íàïðèìåð, â 2-3 âîïðîñàõ). Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà:Th Ïóñòü f(x,y) íåïðåðûâíà ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ â íåêîòîðîì ïðÿìîóãîëüíèêåR = (x, y) : |x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b.Òîãäà çàäà÷à Êîøè ýêâèâàëåíòíà èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ:Zxy(x) = y0 +f (s, y(s))ds,x0êîòîðîå ðàññìàòðèâàåòñÿ â êëàññå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé.Ïðèìåð:dydx=5y(0) = 1Rxy(x) = 1 + 0 5ds = 5x + 1ïîëó÷èì y(x) = 5x + 1.Âñå óñëîâèÿ âûïîëíåíû:Ðåøàÿ, êàê îáû÷íî,×òî è îæèäàëîñü.22. ×òî òàêîå õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî ÎÄÓ.Íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíλxòàìè (ËÎÓñÏÊ) áóäåì ñòðîèòü â âèäå: y(x) = Ce , ãäå Ñ6= 0, λ = const (ìåòîä Ýéëåðà).Ïîäñòàâëÿÿ â ËÎÓñÏÊ:L[Ceλx ] = C [λn + a1 λn−1 + · · · + an ] eλx = 0{z}|M (λ)Îòñþäà:M (λ) = 0.Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí - ìíîãî÷ëåíPnn−i.i=1 ai λÕàðàêòåðèñòè÷åñêðå óðàâíåíèå - óðàâíåíèåM (λ) = λn + a1 λn−1 + · · · + an = λ +M (λ) = 0.Ïðèìåð :y 000 − y = 0ÕÓ:λ3 − λ = 0Ðåøåíèÿ ÕÓ:λ = 0, −1, +1.Òîãäà ÔÑÐ:Z(x) = (1 e−x ex ).1023.
Çàïèøèòå ìàòåìàòè÷åñêèå ïîñòàíîâêè çàäà÷è Êîøè äëÿ íîðìàëüíîé ñèñòåìûÎÄÓ 1 è ëèíåéíîãî ÎÄÓ n-ãî ïîðÿäêà.1) Çàäà÷à Êîøè äëÿ íîðìàëüíîé ñèñòåìû. Ïóñòü:~x0 (t) = A(t)~x(t) + F~(t),ãäå A(t) - ìàòðèöà n x n,F~ (t)- âåêòîð-ôóêöèÿ.Ïóñòü òàê æå äàíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ:~x(t0 ) = x~0Íàõîæäåíèå ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ñ ó÷åòîì íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ - çàäà÷à Êîøè äëÿ íîðìàëüíîé ñèñòåìû ÎÄÓ.2) Çàäà÷à Êîøè äëÿ ÎÄÓ n-ãî ïîðÿäêà. Ïóñòü:Ly = y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an y = f (x)Ïóñòü, êðîìå òîãî äàíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ:y(x0 ) = y10 , y 0 (x0 ) = y20 , · · · , y (n−1) (x0 ) = yn0Íàõîæäåíèå ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ñ ó÷åòîì íà÷àëüíûõ óñëîâèé - çàäà÷à Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî ÎÄÓ n-ãî ïîðÿäêà.24.×òî òàêîå ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ ÎÄÓ?.Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ ÎÄÓ - ñèñòåìà óðàâíåíèé:~x0 (t) = A(t)~x(t)Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà - ìàòðèöà èç ñòîëáöîâ ÔÑÐ îäíîðîäíîé ñèñòåìûx~1 (t), · · · , x~n (t).Ñïðàâåäëèâî ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå:Ẋ(t) = A(t)X(t)Ïðèìåð:ÔÑÐ ýòîé ñèñòåìû:ẋ = x − 2yẏ = −y t −t eez1 =, z2 = −t0eÒîãäà ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà: t −t e eZ(t) =0 e−t25.×òî òàêîå ìàòðèöà Êîøè îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ ÎÄÓ?.11X(t) =X(t) - ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà.
Òîãäà: Ìàòðèöà Êîøè (ìàòðèöàíò) - ìàòðèöàK(t, τ ) = X(t)X −1 (τ ). Îíà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè: dK(t, t0 ) = A(t)K(t, t0 )dtK(t0 , t0 ) = EÏóñòüÄëÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòðèöû Êîøè íàäî ðåøèòü n âåêòîðíûõ çàäà÷ Êîøè: 0xi x~i = A(t)~0~x~ (t ) = xi i 0k = 1, n26.Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó Ëÿïóíîâà îá óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ïî ïåðâîìóïðèáëèæåíèþ.Ïðåæäå ïîñòàâèì çàäà÷ó è ââåäåì ïàðó îïðåäåëåíèé.Ïóñòü äàíà íîðìàëüíàÿ ñèñòåìà ÄÓ (26.1):ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè:Ïóñòüdyidt= Φi (t, y1 , · · · , yn )(i = 1, n)yi (t0 ) = y0i (i = 1, n).t ∈ [t0 ; +∞).yi - íåïðåðûâíû è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ëèïøèöà íà G = {(t, ~x) :t ∈ [t0 ; +∞), ~x ∈ D − îòêðûòîì ìíîæåñòâå}.Ðåøåíèå ϕi (t)(i = 1, n) ñèñòåìû (26.1) íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì ïî Ëÿïóíîâó(óñòîé÷èâûì),Ïóñòü, êðîìå òîãî,åñëè:∀ε > 0∃δ(ε) > 0, ∀yi (t) − ðåøåíèÿòîé æå ñèñòåìû, |yi (t0 )|yi (t) − ϕi (t)| < ε(äëÿêàæäîãîi− ϕi (t0 )| < δ(ε), ∀t ≥ t0 := 1, n)(ò.å., áëèçêèå ïî íà÷àëüíûì çíà÷åíèÿ îñòàþòñÿ áëèçêèìè).Åñëè ðåøåíèåϕi (t)(i = 1, n)íå òîëüêî óñòîé÷èâî, íî:lim |yi (t) − ϕi (t)| = 0t→∞òî ðåøåíèå íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì.Ïóñòü òåïåðü (26.2):ndxi X=aij (t)xj + Ri (t, x1 , · · · , xn )(i = 1, n)dtj=1Th [Ëÿóïíîâà î óñòîé÷èâîñòè ïî 1ïðèá] Åñëè ñèñòåìà óðàâíåíèé (26.2) ñòàöè-Riîíàðíà â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè, âñå ÷ëåíûêîîðäèíàò ïðèt ≥ T ≥ t0â äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè íà÷àëàóäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì:nX1|Ri | ≤ N (x2i ) 2 +α ,i=1ãäåN, αíèÿ:- ïîñòîÿííûå (α> 0).
Ïóñòü, êðîìå a11 − k a12 a21a22 − k ······ an1an2òîãî, âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíå-············12a1na2n···ann − k=0èìåþò îòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè, òî òðèâèàëüíîå ðåøåíèåxi ≡ 0(i = 1, n)ñè-òåìû àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâû => âîçìîæíî èññëåäîâàíèå íà óñòîé÷èâîñòü ïî ïåðâîìóïðèáëèæåíèþ.Th [Ëÿóïíîâà î íåóñòîé÷èâîñòè ïî 1ïðèá] Åñëè âñå óñëîâèÿ, êàê â ïðåäûäóùåéòåîðåìå, íî, õîòÿ áû îäèí êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ èìååò ïîëîæèòåëüíóþäåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü, òî òî÷êà ïîêîÿxi ≡ 0(i = 1, n)ñèñòåìû íåóñòîé÷èâà=> âîçìîæíîèññëåäîâàíèå íà óñòîé÷èâîñòü ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ.27.
Äàéòå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîãî ðåøåíèÿ.Ðåøåíèåϕi (t)(i = 1, n) ñèñòåìû (26.1) íàçûâàåòñÿóñòîé÷èâûì ïî Ëÿïóíîâó(óñòîé÷èâûì),åñëè:∀ε > 0∃δ(ε) > 0, ∀yi (t) − ðåøåíèÿòîé æå ñèñòåìû, |yi (t0 )|yi (t) − ϕi (t)| < ε(äëÿêàæäîãîi− ϕi (t0 )| < δ(ε), ∀t ≥ t0 := 1, n)(ò.å., áëèçêèå ïî íà÷àëüíûì çíà÷åíèÿ îñòàþòñÿ áëèçêèìè).Ïðèìåð:ïîêà õç28. Äàéòå îïðåäåëåíèå àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîãî ðåøåíèÿ.Ðåøåíèåδϕi (t) íàçûâàåòñÿàñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì, åñëè∀yi (t), ∃δ, |yi (t0 )−ϕi (t0 )| <:lim |yi (t) − ϕi (t)| = 0t→∞Ïðèìåð:Ðàçëîæèìsin(y), ex , cos(y)dxdtdydtâ ðÿä Òåéëîðà, ïðåäñòàâèì ñèñòåìó â âèäå:ÃäåR1 , R2dxdtdydt= −2x + 8y + R1= −x − 3y + R2óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ òåîðåìû Ëÿïóíîâà îá àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.Åãî êîðíè:= −2x + 8 sin(y)= 2 − ex − 3y − cos(y)k1,2 = − 21 ± i2−k 8=0−1−3 − k √7= > òî÷êà ïîêàÿ2x=0- àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà.29.
Äàéòå îïðåäåëåíèå íåóñòîé÷èâîãî ðåøåíèÿ.Ðåøåíèåϕi (t)(i = 1, n)ñèñòåìû (26.1) íàçûâàåòñÿ íåóñòîé÷èâûì, åñëè:∃ε > 0∀δ(ε) > 0, ∃yi (t) − ðåøåíèÿòîé æå ñèñòåìû, |yi (t0 )|yi (t) − ϕi (t)| > εÏðèìåð:dxdtdydt= x − y + x2 + y 2 sin(t)= x + y − y213− ϕi (t0 )| < δ(ε), ∀t ≥ t0 :Íåëèíåéíûå ÷ëåíû óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ òåîðåìû Ëÿïóíîâà îá àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè (èëè íåóñòîé÷èâîñòè).dxdtdydt=x−y=x+y1 − k −1 =011−k Åãî êîðíè:k1,2 = 1 ± i= > òî÷êà ïîêàÿx=0- íåóñòîé÷èâà.30. Ñôîðìóëèðóéòå êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé ëèíåéíûõ ÄÓ ñ ïîñòîÿííûìèêîýôôèöèåíòàìè.Äëÿ íîðìàëüíîé ñèñòåìû â âåêòîðíîé çàïèñè âèäà:~t0 = A~xÑïðàâåäëèâà òåîðåìà.Th Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ~x = θ~áûëî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì,íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿλkìàòðèöû A èìåëè îòðèöà-òåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè.31.
Ñôîðìóëèðóéòå êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé ëèíåéíûõ ÄÓ ñ ïîñòîÿííûìèêîýôôèöèåíòàìè.ñì.30.32. Óñòîé÷èâûé è íåóñòîé÷èâûé óçëû. Ïðèìåðû.Ðàññìîòðèì ñèñòåìó:Òî÷êè ïîêîÿ ýòîé ñèñòåìû -dxdtdydt= a11 x + a12 y= a21 x + a22 yx = y = 0. ÕÓ èìååò âèä: a11 − λ a12=0 a21a22 − λ Èëè:λ2 − (a11 + a22 )λ + (a11 a22 − a21 a12 ) = 0Åñëè:1) Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ - âåùåñòâåííûå ðàçëè÷íûå íåíóëåâûå:1λ tλ tln( Cx1 ) èëè:Îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä: x = C1 e 1 , y = C2 e 2 , t =λ1y = C2 (Åñëèλ1 < λ2 < 0=>x → 0, y → 0ïðèx λλ2) 1C1t → ∞- òî÷êà ïîêîÿ -óñòîé÷èâûé óçåë -àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà.Åñëè0 < λ1 < λ2=>x → ∞, y → ∞ïðèt→∞íåóñòîé÷èâà.14- òî÷êà ïîêîÿ -íåóñòîé÷èâûé óçåë -Ïðèìåð:ÕÓ:ẋ = −3x + 2yẏ = x − 4y −3 − λ 2 1−4 − λÐåøåíèÿ:λ1,2 = −5, −2.=0Òî÷êà ïîêîÿ - óñòîé÷èâûé óçåë.33. Óñòîé÷èâûé è íåóñòîé÷èâûé ôîêóñû.
Ïðèìåðû.2) Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ - êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûåλ1,2 = α ± iβ .x = C1 eαt cos(βt), y = C2 eαt sin(βt) →à) Åñëèá) Åñëèα < 0 => òî÷êà ïîêîÿ (0; 0) α > 0=> òî÷êà ïîêîÿ (0; 0) -Òîãäà áùåå ðåøåíèå:y2x2+= e2αtC12 C22óñòîé÷èâûé ôîêóñ - àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà;íåóñòîé÷èâûé ôîêóñ - íå óñòîé÷èâàÿ.Ïðèìåð:ÕÓ:Ðåøåíèÿ:ẋ = yẏ = −2x + 2y −λ 1 −2 2 − λλ1,2 = 1 ± i.=0Òî÷êà ïîêîÿ - íåóñòîé÷èâûé ôîêóñ.34. Ñåäëî. Ïðèìåðû.Åñëè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âåùåñòâåííûå ðàçëè÷íûå è íåíóëåâûå è: Åñëèx → 0, y → ∞ïðèt→∞- òî÷êà ïîêîÿ -ñåäëî - íåóñòîé÷èâà.Ïðèìåð:15λ1 < 0 < λ=>ÕÓ:ẋ = yẏ = 2x + y −λ −1 21−λÐåøåíèÿ:λ1,2 = −1, 2.=0Òî÷êà ïîêîÿ - ñåäëî.35. Öåíòð.
Ïðèìåðû.Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ - êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå.Åñëèα=0=> òî÷êà ïîêîÿ -öåíòð - óñòîé÷èâà, íî íå àñèìïòîòè÷åñêè.Ïðèìåð:ÕÓ:ẋ = −yẏ = x −λ −1 1−λÐåøåíèÿ:λ1,2 = ±i.=0Òî÷êà ïîêîÿ - öåíòð.36. Òåîðåìà î åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è è òåîðåìà î äîñòàòî÷íûõóñëîâèÿõ ñóùåñòâîâàíèÿ òîëüêî òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ ó îäíîðîäíîé êðàåâîé çàäà÷è ñóñëîâèÿìè ïåðâîãî ðîäà.Ïîñòàâèì çàäà÷ó.Ïóñòü:dud2 u+ a1 (x) + a2 (x)u = f1 (x), 0 < x < l2dxdxñ äîïîëíèòåëüíûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî ðîäà(çàäà÷à Äèðèõëå),u(0) = u0 , u(l) = u1â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òîa1 , a2 , f1 ∈ C[0; l].Êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è Äèðèõëå áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèþC[0; l],óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ è êðàåâûì(ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì).Ñïðàâäåëèâû òåîðåìû:16u(x) ∈ C 2 (0; l) ∩Th [! ðåøåíèÿ]Åñëè îäíîðîäíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à èìååò òîëüêî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå,òî ñîîòâåòñâòóþùàÿ íåîäíîðîäíàÿ íå áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ.Th [äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ !] Ïóñòü â îïåðàòîðåL[u] q(x) ≥ 0.Òîãäà îäíîðîäíàÿêðàåâàÿ çàäà÷à èìååò:1) â ñëó÷àå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé 1-ãî ðîäà òîëüêî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå;d(p(x) du) − q(x)u.Íàïîìíèì, ÷òî îïåðàòîð L[u] =dxdx37.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
