В.А. Скворцов - Материалы к экзамену по действительному анализу (1117939)
Текст из файла
Материалы к экзамену по действительному анализуЛектор — В. А. СкворцовIV семестр, 2004–2009 г.Формулировки и определения: материал предоставлен Д. А. Григоренко и пополнен в 2009 г. Ю. Г. Кудряшовым.Решения, набор и вёрстка: Д. Н. Вельтищев, М. Н. Вельтищев, В. А. Клепцын, Ю. Г. Кудряшов.1. Соглашения, обозначения, формулировки и определенияСимволом X, как правило, будем обозначать основное пространство. Будем обозначать через B(X) борелевскую σ-алгебру на X.
Интегрируемость (суммируемость) функций подразумевается по Лебегу. Совокупностьинтегрируемых на X функций обозначается L(X).Определение. Пусть f — измеримая функция. Для каждого N ∈ N положимf (x), |f (x)| 6 N ;N[f ] (x) =(1)N, f (x) > N ;−N, f (x) < −N.Такие функции называются срезками функции f .Определение.Множество S называется полукольцом, если ∀ A, B ∈ S имеем A ∩ B ∈ S и ∃ C1 , . . . , CN ∈F∈ S : A r B = Ci .Определение.
Множество R называется кольцом, если оно замкнуто относительно ∩ и △.Определение. Множество X ∈ S называется единицей, если ∀ A ∈ S имеем A ⊂ X.Определение. σ-кольцо — кольцо, замкнутое относительно счётного объединения.Определение. Алгебра — кольцо с единицей.Определение.
σ-алгебра — σ-кольцо с единицей.Теорема 1. Для данной системы множеств S существует единственное минимальное кольцо, содержащее её. Обозначение: R(S).Теорема 2. Пусть S — полукольцо, тогда R(S) — всевозможные конечные объединения непересекающихсяэлементов S.Определение. Пусть на полукольце S задана аддитивная мера m, т. е. задана функция m : S → [0, +∞) сосвойством m(A⊔B) = m(A)+m(B) для любых A, FB ∈ S таких, что A⊔BF ∈ S. МераP m называется σ-аддитивной,∞если для любого набора {Ai }i=1 ⊂ S такого, что Ai ∈ S, имеем m ( Ai ) = m(Ai ).Теорема 3. Существует единственное продолжение m′ меры m с полукольца S на R(S).
При этом еслиm σ-аддитивна на S, то и m′ также σ-аддитивна на R(S).Теорема 4 (Монотонность меры). Если A ⊂ B, то m(A) 6 m(B).Теорема 5 P(Счётная полуаддитивность σ-аддитивной меры на кольце). Пусть {Ai } ⊂ R, A ⊂тогда m(A) 6 m(Ai ).SAi ,Определение. Пусть m — σ-аддитивная мера на полукольце S, m′ — её продолжение на R(S), причёмR(S) — алгебра, тогда внешней мерой множества A ⊂ X называетсяµ∗ (A) :=inf∞A⊂Sk=1∞Xm(Pk ),Pk k=1Утверждение 6. Имеет место совпадение m′ = µ∗.R(S)1где Pk ∈ S.(2)Теорема 7 (Счётная полуаддитивность µ∗ ). Если A ⊂∞SAi , то µ∗ (A) 6i=1Определение.
Нижняя мера µ∗ (A) := m′ (X) − µ∗ (X r A).Pµ∗ (Ai ).Определение. Множество A измеримо, если µ∗ (A) = µ∗ (A) =: µ(A). Число µ(A) называется мерой Лебегамножества A.Теорема 8 (Критерий Вале-Пуссена). Множество A измеримо тогда и только тогда, когда ∀ ε >> 0 ∃ B ∈ R(S) : µ∗ (A △ B) < ε.Теорема 9. Класс измеримых по Лебегу множеств M является σ-алгеброй, а µ∗является σ-аддитив-Mной.Определение.МераTT µ называется непрерывной, если для любой последовательности E1 ⊃ E2 ⊃ . . ., такой,что Ei ∈ R, имеем µ ( Ei ) = lim µ(Ei ).i→∞Теорема 10. σ-аддитивность меры µ равносильна непрерывности µ.F∞Определение. Мера µ называетсяσ-конечной, если ∃ {Xi }i=1 ⊂ S, что единица X = Xi и для ∀ i имеемPµ(Xi ) < ∞. ПоложимPµ(X) := µ(Xi ). Множество A называется измеримым, если для ∀ i измеримо A ∩ Xi .
Вэтом случае µ(A) := µ (A ∩ Xi ).Определение. Класс борелевских множеств B — минимальная σ-алгебра, содержащая все открытые множества.Следствие 1. B содержит все замкнутые множества.Определение. Мера Бореля — произвольная σ-аддитивная мера на B.Теорема 11. Пусть полукольцо S таково, что минимальная σ-алгебра, порожденная им, совпадает с B,тогда продолжение на B ограничения меры Бореля на кольцо совпадает с этой мерой Бореля.Утверждение 12.
В любом множестве положительной меры есть неизмеримое подмножество.Определение. Мера Стилтьесана R: рассмотрим S = [a, b) : a, b ∈ R и F — произвольную возрастающуюфункцию на R, тогда µSt [a, b) := F (b) − F (a).Теорема 13. F непрерывна слева, т. е. lim F (t − δ) = F (t), тогда и только тогда, когда µSt являетсяδ→+0σ-аддитивной.Определение. Пусть в тройке (X, Σ, µ) X — основное пространство, Σ — σ-алгебра подмножеств X, µ —σ-аддитивная мера на Σ. Тогда f : X → R измерима, если ∀ c ∈ R имеем {x ∈ X : f (x) < c} ∈ Σ.
Или, эквивалентно: для ∀ B ∈ B(R) имеем f −1 (B) ∈ Σ.Утверждение 14. Пусть a ∈ R, а функции f и g измеримы. Тогда функции a · f , a + f , f + g, f · g, а если0∈/ g(X), то и f /g, будут измеримыми.Определение. Мера µ называется полной, если для всякого множества E меры нуль любое подмножествоF ⊂ E измеримо.Утверждение 15.
Если µ полна, а f измерима, то любая функция g, равная g почти всюду, также будетизмеримой.Утверждение 16. Пусть {fn } — последовательность измеримых функций, тогда inf fn , sup fn , а, значит,nnи lim fn , lim fn , будут измеримы.nnТеорема 17. Множество точек сходимости последовательности измеримых функций измеримо, а предел — измеримая функция.Определение. Измеримая функция f называется простой, если онаFпринимает конечное множество значений.
Эквивалентное определение: ∃ E1 , . . . , En ∈ Σ и a1 , . . . , an ∈ R, что Ei = X и f ≡ ai на Ei .Теорема 18. Любая измеримая функция есть поточечный предел последовательности простых измеримых функций {fn }, причём если f > 0, то fn можно выбрать так, чтобы fi ր f .µОпределение. Сходимость по мере: fn −→ f , если для ∀ ε > 0 выполнено(3)µ {x ∈ X : |fn (x) − f (x)| > ε} → 0, n → ∞.Теорема 19. Если µ(X) < ∞, то из сходимости почти всюду следует сходимость по мере.XrEп.в.Теорема 20 (Егорова). Если µ(X) < ∞, а fn −→ f , то для ∀ ε > 0 ∃ E ⊂ X : µ(E) < ε, а fn ⇒ f .2Замечание.
Если X ⊂ Rn , то E можно взять открытым.Определение. Функция f обладает C-свойством Лузина в пространстве X, если ∀ ε > 0 найдётся замкнутоеFε ⊂ X, что µ(X r Fε ) < ε и f ∈ C(Fε ).Теорема 21 (Лузина). Функция в Rn измерима тогда и только тогда, когда она обладает C-свойством.Определение.
Пусть мера µ из тройки (X, Σ, µ) полна. Пусть f : X → [0, +∞] измерима, E ∈ Σ, тогда(L)Zf dµ :=Замечание. ЕслиRnFE=En XsupEk k=1k=1inf f µ(Ek ).(4)Ekf dµ < +∞, то f конечна почти всюду.EОпределение. ЕслиRf dµ < +∞, то f называется интегрируемой по Лебегу (суммируемой).EУтверждение 22.• Если µ(E) = 0, тоRf dµ = 0;R• Если E1 ⊂ E2 , то f dµ 6 f dµ;E1E2RR• Если f 6 g на E, то f dµ 6 g dµ;REE• Для простых функцийERf dµ =nPai µ(Ai ).k=1EТеорема 23. Пусть fk ր f , тогда limRУтверждение 24.Rfk dµ =k→∞ Ef dµ.ERRR• Линейность интеграла: для всяких f, g ∈ L(E) и всяких a, b ∈ R имеем (af + bg) dµ = a f dµ + b g dµ.EEERRRf dµ.• Аддитивность относительно множества: f dµ + f dµ =E1 ⊔E2E2E1RRп.в.• Если f = g, то f dµ = g dµ.EEОпределение.
Пусть f — измерима, тогдаRf dµ :=EEТеорема 25. Пусть f =∞PRf + dµ −Rf − dµ.Efk , где fk измеримы на E и неотрицательны. Тогдаk=1Zf dµ =E∞ ZX(5)fk dµ.k=1 EСледствие 2. Пусть fk измеримы и неотрицательны, а ряд∞ RPfk dµ сходится. Тогдаk=1 Eпочти всюду.Теорема 26 (Счётная аддитивность интеграла Лебега). Пусть f ∈ LZFEkf dµ =∞ ZXFPfk сходитсяEk . Тогда(6)f dµ.k=1EkRRТеорема 27.
Пусть fk ր f , fk > 0 на E, тогда lim fk dµ = f dµ.k EEТеорема 28 (Беппо Леви). fn ր f почти всюду, f1 ∈ L(E), тогдаRf dµ = limE< const, то f конечна почти всюду и f ∈ L(E), в противном случае f ∈/ L(E).RRп.в.Теорема 29 (Фату). Пусть fn −→ f , причём fn > 0. Тогда f dµ 6 lim fn dµ.E3n→∞ ERn Efn dµ. ЕслиREfn dµ <п.в.Следствие 3.
Пусть fn −→ f , fn > 0 иREfn dµ 6 const, тогда lim fn (x) < +∞ и f ∈ L(E).n→∞п.в.Теорема 30 (Лебега о мажоранте).RR Пусть fn −→ f и интегрируемы. Пусть ∃ ϕ(x) ∈ L(E) такая, что|fn | 6 ϕ. Тогда f ∈ L(E) и lim fn dµ = f dµ.n EERЗамечание. Если f ∈ L(E), то lim [f ]N dµ =N ERf dµ.ERТеорема 31. Если f ∈ L(E), то lim f − [f ]N dµ = 0.N EУтверждение 32. Если функция интегрируема по Риману, то она интегрируема по Лебегу.Замечание. Обратное, вообще говоря, неверно.Теорема 33. Для функций f : [a, b] → R имеем M[a, b] = L[a, b].RxСледствие 4. Если F (x) = (L) f dµ, то F дифференцируема почти всюду на [a, b] иa 1f (x) = lim n F x +− F (x) .n→∞n(7)Определение.
Введём отношение эквивалентности для интегрируемых функций: f ∼ g тогда и толькоп.в.тогда, когда f = g. Факторпространство L/∼ являетсялинейным метрическим пространством, RобозначаемымR1L (X). Метрика на нём задаётся так: ρ(f, g) := |f − g|dµ. Норма в L1 определяется как kf k := |f |dµ.XXЛемма 34 (Неравенство Чебышёва). µ x ∈ X : |f (x)| > c 6Определение. Заряд — σ-аддитивная функция ϕ : Σ → R.1ckf k.Определение. Заряд ϕ абсолютно непрерывен относительно меры µ, если для любого множества E, длякоторого µ(E) = 0, имеем ϕ(E) = 0.Определение. Заряд ϕ сингулярен относительно меры µ, если найдётся множество µ-меры нуль, такое, чтодля ∀ Y ⊂ (X r Z) имеем ϕ(Y ) = 0.Определение. Верхняя, нижняя и полная вариации:V (E, ϕ) := sup ϕ(A),{A∈Σ|A⊂E}V (E, ϕ) := V (E, −ϕ),Утверждение 35. Верхняя вариация полуаддитивна: VV (E, ϕ) := V (E, ϕ) + V (E, ϕ).∞Sn=1Утверждение 36. V (E) < +∞.En6∞P(8)V (En ).n=1Утверждение 37.
V , V и V являются σ-аддитивными.Теорема 38 (Разложение Жордана). Для всякого E ∈ Σ имеем ϕ(E) = V (E) − V (E).Теорема 39 (Разложение Хана). Пусть E ∈ Σ, тогда ∃ P ⊂ E такое, что для ∀ A ⊂ P имеем ϕ(A) > 0и ∀ A ⊂ (X r P ) имеем ϕ(A) 6 0.
Эквивалентная формулировка: V (P ) = 0 и V (E r P ) = 0.Теорема 40 (ОбобщённоеразложениеХана). Пусть ϕ > 0, а µ(E) < +∞, тогда для ∀ a ∈ R суще∞F Fствует разложение E = ZEk , где µ(Z) = 0, а для ∀ A ⊂ Ek имеемk=1(9)(k − 1) · a · µ(A) 6 ϕ(A) 6 k · a · µ(A).Теорема 41 (Разложение Лебега). Пусть ϕ — заряд, а мера µ — σ-аддитивна,R тогда существуютзаряды α и σ такие, что α абсолютно непрерывен, а σ — сингулярен, причём α(E) = f dµ, а σ(E) = ϕ(Z ∩E∩ E), где µ(Z) = 0.Теорема 42 (Радона – Никодима). Каждая σ-аддитивная, абсолютно непрерывнаяотносительно некоRторой σ-конечной меры µ функция представима в виде интеграла Лебега: α(A) = f dµ. При этом f опредеAлена однозначно с точностью до множества меры нуль, а если α > 0, то f > 0 почти всюду.Теорема 43.
Если f : [a, b] → R и f возрастает на [a, b], то почти всюду существует f ′ ∈ L[a, b].Следствие 5. Функция ограниченной вариации дифференцируема почти всюду.4Определение. Пусть f : [a, b] → R. Говорят, что f абсолютно непрерывна на [a, b] и пишут f ∈ AC[a, b],если ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 такое, что для любого конечногонабора отрезков [ai , bi ] ⊂ [a, b] с непересекающимисяPвнутренностями и суммой длин меньше δ имеем|f (bi ) − f (ai )| < ε.Теорема 44. AC ⊂ VB.Определение.Функция f обладает N-свойством Лузина, если для ∀ E ⊂ X такого, что µ(E) = 0, имеемµ f (E) = 0.Теорема 45.
Если функция F ∈ AC[a, b], то F обладает N-свойством.Замечание. Если f ∈ AC[a, b], то f почти всюду дифференцируема на [a, b].Теорема 46. Если f ∈ AC[a, b] и f ′ > 0 почти всюду на [a, b], то f возрастает на [a, b].RxТеорема 47. Пусть f ∈ L[a, b], рассмотрим F (x) := f dµ, тогда F ∈ AC[a, b].aRbRbОпределение. Пусть ϕ(x) возрастает на R, тогда (LS) f dϕ := (L) f dµϕ , где µϕ — мера Стилтьеса,aaопределяемая функцией ϕ.RbОпределение. Пусть ϕ(x) ∈ VB(R), тогда ϕ = ξ − ψ, где ξ и ψ возрастают на R. Положим (LS) f dϕ :=aRbRb:= (LS) f dξ − (LS) f dψ.aaОпределение. Пусть µX и µY — меры на X и Y соответственно, продолженные с полуколец S и T соответственно. Заметим, что S × T — полукольцо. Зададим на нём меру: µ(A × B) := µX (A) · µY (B).Теорема 48.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
