В.А. Скворцов - Материалы к экзамену по действительному анализу (1117939), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Задача 19. Доказать, что функция f измерима тогда и только тогда, когда для любого множестваE ∈ B(R) его прообраз f −1 (E) измерим.Задача 20. Доказать измеримость f ′ , если измеримая функция f дифференцируема почти всюду.Задача 21. Будет ли измерима функция g f (x) , если:• g измерима, а f непрерывна;• g непрерывна, а f измерима?Решение.• Пусть K(x) — лестница Кантора на [0, 1], тогда ϕ(x) := x + K(x) непрерывна и монотонна.
Пусть f —функция, обратная к ϕ, тогда f : [0, 2] → [0, 1]. Пусть K — множество Кантора, тогда легко видеть, что µ ϕ(K) == 1. Найдём в ϕ(K) неизмеримое по Лебегу множество A, тогда B := f (A) ⊂ K и потому имеет мерунуль.Рассмотрим g := χB , тогда g будет измерима, но композиция g ◦ f не будет измеримой, т. к. (g ◦ f )−1 {1} = A.• Одно из эквивалентных определений непрерывной функции — прообраз открытого открыт. Следовательно,для ∀ c ∈ R при C = (−∞, c) имеем B := g −1 (C) ∈ B, а в силу измеримости f , имеем f −1 (B) измеримо. Поэтомукомпозиция g ◦ f измерима. Задача 22. Пусть f — простая функция, принимающая значения ak на множествах Ek , k = 1, .
. . , n, иEi ∩ Ej = ∅. Показать, что она измерима ⇔ все Ei измеримы.Задача 23. Пусть µ(X) = +∞. Построить последовательность измеримых функций, сходящуюся почтивсюду, но не сходящуюся по мере.Решение. Пусть X = R с мерой Лебега. Рассмотрим fn =µ {x : |fn (x)| > c} = +∞ для ∀ c > 0 и всех n. xn.Ясно, что для ∀ x ∈ R имеем fn (x) → 0, ноЗадача 24 (Пример Рисса). Построить последовательность функций, сходящуюся по мере, но не сходящуюся почти всюду.Решение.
Рассмотрим отрезок [0, 1]. Чтобы упростить обозначения, через I[a, b] будем обозначать индикаторотрезка [a, b]. Мы будем строить искомую последовательность «волнами», по n функций на n-ю волну. Первая1 1волна состоит из одной функции f11 := I[0, 1]. Втораяволнасодержитдвефункцииf:=I0,212 и f22 := I 2 , 1 . 11 22 Третья волна состоит из трёх функций31 := i fi+1 I 0, 3 , f23 := I 3 , 3 и f33 := I 3 , 1 .
Соответственно, n-ая волнабудет состоять из n функций вида I n , n . Заметим, что для функций из k-й волны имеем µ {x : fki 6= 0} = k1 .Расположим все функции в одну последовательность {fk } следующим образом:f11 , f21 , f22 , f31 , f32 , f33 , f41 , f42 , f43 , f44 . . .|{z}| {z } |{z} |{z}(3)µИз сказанного выше следует, что fk −→ 0, но ясно, что эта последовательность нигде не сходится на [0, 1].
Задача 25 (Теорема Рисса). Доказать, что последовательность измеримых функций, сходящаяся помере, содержит подпоследовательность, сходящуюся почти всюду.Решение. Откройте хороший учебник по теории меры и прочтите там доказательство. Задача 26. Показать, что теорема Егорова неверна, если µ(X) = +∞.8Решение.
Пусть X = R с мерой Лебега. Рассмотрим fn = nx . Ясно, что если выкинуть из R множество конечной меры, оставшееся множество будет неограниченным, а для такой последовательности функций равномернаясходимость имеет место только на ограниченных подмножествах R. Задача 27. Привести пример неизмеримой функции f , такой, что |f | измерима.Решение. Возьмём функцию из задачи 18. Ясно, что |f | = x, а эта функция измерима. Задача 28.
Пусть f ∈ L(E). Положим Ec := {x ∈ E : |f (x)| > c}. Доказать, что µ(Ec ) = o(1/c).∞FЗадача 29. Придумать измеримое множество E =Ek , где Ek измеримы, и не интегрируемую на Ek=1функцию f : E → R, такую что f интегрируема на всех Ek , и ряд∞ RPf dµ абсолютно сходится.k=1 Ekh i11Решение. Возьмём пример из задачи 32, и положим Ek = − k1 , − k+1∪ k+1, k1 .
Точку 0 отдельно накроемRмножеством E0 := {0}. Очевидно, чтоf dµ = 0, поэтому ряд сходится. EkЗадача 30. Доказать, что суммируемость счётно-простой функции, принимающей значения ak на Ek ,∞∞FPгде E =Ek , эквивалентна сходимости ряда|ak |µ(Ek ).k=1k=1Задача 31. Функция f измерима на E, и µ(E) < ∞. Доказать, что сходимость любого из рядов∞Xk=1∞Xk · µ {x ∈ E : k 6 |f (x)| < k + 1} ,k=1µ {x ∈ E : |f (x)| > k}(4)является необходимым и достаточным условием интегрируемости f на E.RЗадача 32. Следует ли из существования конечного предела lim [f ]N dµ суммируемость функции f ?N →∞ EРешение. Нет, не следует.
Рассмотрим следующий пример: E = [−1, 1], а(1, x ∈ [−1, 1] r {0} ;f (x) = x0, x = 0.Тогда для ∀ N ∈ N имеемR(5)[f ]N dµ = 0 в силу нечётности функции, но эта функция не интегрируема. EЗадача 33. Показать, что в теореме Беппо Леви условие f1 (x) ∈ L(E) нельзя выбросить.∞P√1Задача 34. Пусть Q = {rk }. Доказать, что рядсходится почти всюду.2k=1 k|x−rk |Решение.
Применить теорему Беппо Леви к последовательности частных сумм ряда. Задача 35. Привести пример, когда в заключении теоремы Фату имеет место строгое неравенство.Задача 36. Доказать, чтоlimn→∞+∞Z011+x nnx1/ndx = 1.(6)Задача 37. Доказать, что для неотрицательных функций из интегрируемости по Риману в несобственном смысле следует суммируемость.Задача 38. Пусть функция f интегрируема по Лебегу на измеримом множестве E. Обозначим Ek == {x ∈ E | k < |f (x)|}.
Доказать, что µ(Ek ) = o k1 при k → ∞.Задача 39. Придумать измеримую не интегрируемую функцию, для которой выполнено свойство1µ {|f (x)| > k} = o, k → ∞.k(7)Задача 40. Придумать функцию, такую, что любая функция, совпадающая с ней почти всюду, не интегрируема по Риману.Задача 41. Доказать, что если аддитивная функция множества является одновременно абсолютно непрерывной и сингулярной, то она тождественно равна нулю.9Задача 42. Доказать, что аддитивная функция множества абсолютно непрерывна (сингулярна) тогдаи только тогда, когда абсолютно непрерывны (сингулярны) её верхняя и нижняя вариации.Задача 43. Пусть ϕ является σ-аддитивной функцией на σ-алгебре Σ, а {Ek } — монотонная последовательность элементов Σ (т. е.
Ek ր E или Ek ց E). Доказать, что тогда ϕ(E) = lim ϕ(Ek ).k→∞Задача 44. Пусть ϕ — неотрицательная аддитивная функция на σ-алгебре Σ, а {Ek } — произвольнаяпоследовательность элементов Σ. Доказать, что ϕ(lim inf Ek ) 6 lim inf ϕ(Ek ) 6 lim sup ϕ(Ek ) 6 ϕ(lim sup Ek ).Задача 45. Доказать, что канторова лестница не является AC-функцией.Задача 46. Доказать линейность классов AC и VB.Задача 47. Доказать, что для любой функции на прямой множество точек {x | D− F (x) < D+ F (x)} не более чем счётно.1Задача 48. При каких α и β функции xα sin xβ , xα cos xβ принадлежат классам AC и VB на [0, 1]?Задача 49. Привести пример функции из класса ACG, которая не принадлежит классу AC.Задача 50. Вычислить интеграл Лебега – Стилтьеса для функции скачков.RbRbЗадача 51.
Доказать для случая ϕ ∈ AC равенство (LS) f dϕ = (L) f ϕ′ dx.aaЗадача 52. Пусть f, g ∈ L1 (R). Доказать, что для почти всех y существует свёрткаZ(f ∗ g)(y) := f (x)g(y − x) dx.(8)RµЗадача 53. Придумать последовательность интегрируемых по Лебегу функций fn , таких что fn −→ f,но kfn − f kL1 9 0.µРешение. Рассмотрим fn = n · χ[0, 1 ] на [0, 1]. Очевидно, что fn −→ 0, но kfn kL1 = 1 9 0. nЗадача 54. Показать несовпадение пространств Lp (E) при различных p для E = [0, 1] и E = [1, +∞).Задача 55. Выяснить связь между сходимостью в Lp (E), сходимостью почти всюду и по мере.Задача 56. Доказать неравенство Чебышёва для Lp (E):Z1µ {x : |f (x)| > α} 6 p|f (x)|p dµ.α(9)EРешение. Пусть L = {x : |f (x)| < α}, а G = E r L.
ТогдаZZZZ|f |p dµ = |f |p dµ + |f |p dµ > |f |p dµ.ELGp(10)GppПоследний интеграл оценим снизу числом α µ(G), ибо |f | > α на G. Значит,требовалось доказать. REp|f | dµ > αp µ(G), что иЗадача 57. Доказать, что если kf kLp 6 C < ∞ при всех p > 1, то f эквивалентна ограниченной функции.Решение. Воспользуемся неравенством Чебышёва:Zpkf kLp1Cpµ {x : |f (x)| > α} 6 p|f (x)|p dµ =6.ααpαp(11)EЗаметим, что при α > C последняя дробь стремится к нулю при p → ∞.
Значит, для ∀ α > C имеемµ {x : |f (x)| > α} = 0, т. е. функция f эквивалентна ограниченной функции [f ]α . P cos nxЗадача 58. При каких α рядбудет рядом Фурье функции из L2 ?nαP cos nxЗадача 59. Будет лиln n рядом Фурье непрерывной функции?Последняя компиляция: 25 апреля 2009 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.1 Смысл значков D + и D , если обозначения с 2003 года не поменялись, таков: D — нижняя производная слева, D + — верхняя−−производная справа (есть ещё, соответственно, D − и D+ ) — Прим. ред.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
