Главная » Просмотр файлов » В.А. Скворцов - Материалы к экзамену по действительному анализу

В.А. Скворцов - Материалы к экзамену по действительному анализу (1117939), страница 3

Файл №1117939 В.А. Скворцов - Материалы к экзамену по действительному анализу (В.А. Скворцов - Материалы к экзамену по действительному анализу) 3 страницаВ.А. Скворцов - Материалы к экзамену по действительному анализу (1117939) страница 32019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Задача 19. Доказать, что функция f измерима тогда и только тогда, когда для любого множестваE ∈ B(R) его прообраз f −1 (E) измерим.Задача 20. Доказать измеримость f ′ , если измеримая функция f дифференцируема почти всюду.Задача 21. Будет ли измерима функция g f (x) , если:• g измерима, а f непрерывна;• g непрерывна, а f измерима?Решение.• Пусть K(x) — лестница Кантора на [0, 1], тогда ϕ(x) := x + K(x) непрерывна и монотонна.

Пусть f —функция, обратная к ϕ, тогда f : [0, 2] → [0, 1]. Пусть K — множество Кантора, тогда легко видеть, что µ ϕ(K) == 1. Найдём в ϕ(K) неизмеримое по Лебегу множество A, тогда B := f (A) ⊂ K и потому имеет мерунуль.Рассмотрим g := χB , тогда g будет измерима, но композиция g ◦ f не будет измеримой, т. к. (g ◦ f )−1 {1} = A.• Одно из эквивалентных определений непрерывной функции — прообраз открытого открыт. Следовательно,для ∀ c ∈ R при C = (−∞, c) имеем B := g −1 (C) ∈ B, а в силу измеримости f , имеем f −1 (B) измеримо. Поэтомукомпозиция g ◦ f измерима. Задача 22. Пусть f — простая функция, принимающая значения ak на множествах Ek , k = 1, .

. . , n, иEi ∩ Ej = ∅. Показать, что она измерима ⇔ все Ei измеримы.Задача 23. Пусть µ(X) = +∞. Построить последовательность измеримых функций, сходящуюся почтивсюду, но не сходящуюся по мере.Решение. Пусть X = R с мерой Лебега. Рассмотрим fn =µ {x : |fn (x)| > c} = +∞ для ∀ c > 0 и всех n. xn.Ясно, что для ∀ x ∈ R имеем fn (x) → 0, ноЗадача 24 (Пример Рисса). Построить последовательность функций, сходящуюся по мере, но не сходящуюся почти всюду.Решение.

Рассмотрим отрезок [0, 1]. Чтобы упростить обозначения, через I[a, b] будем обозначать индикаторотрезка [a, b]. Мы будем строить искомую последовательность «волнами», по n функций на n-ю волну. Первая1 1волна состоит из одной функции f11 := I[0, 1]. Втораяволнасодержитдвефункцииf:=I0,212 и f22 := I 2 , 1 . 11 22 Третья волна состоит из трёх функций31 := i fi+1 I 0, 3 , f23 := I 3 , 3 и f33 := I 3 , 1 .

Соответственно, n-ая волнабудет состоять из n функций вида I n , n . Заметим, что для функций из k-й волны имеем µ {x : fki 6= 0} = k1 .Расположим все функции в одну последовательность {fk } следующим образом:f11 , f21 , f22 , f31 , f32 , f33 , f41 , f42 , f43 , f44 . . .|{z}| {z } |{z} |{z}(3)µИз сказанного выше следует, что fk −→ 0, но ясно, что эта последовательность нигде не сходится на [0, 1].

Задача 25 (Теорема Рисса). Доказать, что последовательность измеримых функций, сходящаяся помере, содержит подпоследовательность, сходящуюся почти всюду.Решение. Откройте хороший учебник по теории меры и прочтите там доказательство. Задача 26. Показать, что теорема Егорова неверна, если µ(X) = +∞.8Решение.

Пусть X = R с мерой Лебега. Рассмотрим fn = nx . Ясно, что если выкинуть из R множество конечной меры, оставшееся множество будет неограниченным, а для такой последовательности функций равномернаясходимость имеет место только на ограниченных подмножествах R. Задача 27. Привести пример неизмеримой функции f , такой, что |f | измерима.Решение. Возьмём функцию из задачи 18. Ясно, что |f | = x, а эта функция измерима. Задача 28.

Пусть f ∈ L(E). Положим Ec := {x ∈ E : |f (x)| > c}. Доказать, что µ(Ec ) = o(1/c).∞FЗадача 29. Придумать измеримое множество E =Ek , где Ek измеримы, и не интегрируемую на Ek=1функцию f : E → R, такую что f интегрируема на всех Ek , и ряд∞ RPf dµ абсолютно сходится.k=1 Ekh i11Решение. Возьмём пример из задачи 32, и положим Ek = − k1 , − k+1∪ k+1, k1 .

Точку 0 отдельно накроемRмножеством E0 := {0}. Очевидно, чтоf dµ = 0, поэтому ряд сходится. EkЗадача 30. Доказать, что суммируемость счётно-простой функции, принимающей значения ak на Ek ,∞∞FPгде E =Ek , эквивалентна сходимости ряда|ak |µ(Ek ).k=1k=1Задача 31. Функция f измерима на E, и µ(E) < ∞. Доказать, что сходимость любого из рядов∞Xk=1∞Xk · µ {x ∈ E : k 6 |f (x)| < k + 1} ,k=1µ {x ∈ E : |f (x)| > k}(4)является необходимым и достаточным условием интегрируемости f на E.RЗадача 32. Следует ли из существования конечного предела lim [f ]N dµ суммируемость функции f ?N →∞ EРешение. Нет, не следует.

Рассмотрим следующий пример: E = [−1, 1], а(1, x ∈ [−1, 1] r {0} ;f (x) = x0, x = 0.Тогда для ∀ N ∈ N имеемR(5)[f ]N dµ = 0 в силу нечётности функции, но эта функция не интегрируема. EЗадача 33. Показать, что в теореме Беппо Леви условие f1 (x) ∈ L(E) нельзя выбросить.∞P√1Задача 34. Пусть Q = {rk }. Доказать, что рядсходится почти всюду.2k=1 k|x−rk |Решение.

Применить теорему Беппо Леви к последовательности частных сумм ряда. Задача 35. Привести пример, когда в заключении теоремы Фату имеет место строгое неравенство.Задача 36. Доказать, чтоlimn→∞+∞Z011+x nnx1/ndx = 1.(6)Задача 37. Доказать, что для неотрицательных функций из интегрируемости по Риману в несобственном смысле следует суммируемость.Задача 38. Пусть функция f интегрируема по Лебегу на измеримом множестве E. Обозначим Ek == {x ∈ E | k < |f (x)|}.

Доказать, что µ(Ek ) = o k1 при k → ∞.Задача 39. Придумать измеримую не интегрируемую функцию, для которой выполнено свойство1µ {|f (x)| > k} = o, k → ∞.k(7)Задача 40. Придумать функцию, такую, что любая функция, совпадающая с ней почти всюду, не интегрируема по Риману.Задача 41. Доказать, что если аддитивная функция множества является одновременно абсолютно непрерывной и сингулярной, то она тождественно равна нулю.9Задача 42. Доказать, что аддитивная функция множества абсолютно непрерывна (сингулярна) тогдаи только тогда, когда абсолютно непрерывны (сингулярны) её верхняя и нижняя вариации.Задача 43. Пусть ϕ является σ-аддитивной функцией на σ-алгебре Σ, а {Ek } — монотонная последовательность элементов Σ (т. е.

Ek ր E или Ek ց E). Доказать, что тогда ϕ(E) = lim ϕ(Ek ).k→∞Задача 44. Пусть ϕ — неотрицательная аддитивная функция на σ-алгебре Σ, а {Ek } — произвольнаяпоследовательность элементов Σ. Доказать, что ϕ(lim inf Ek ) 6 lim inf ϕ(Ek ) 6 lim sup ϕ(Ek ) 6 ϕ(lim sup Ek ).Задача 45. Доказать, что канторова лестница не является AC-функцией.Задача 46. Доказать линейность классов AC и VB.Задача 47. Доказать, что для любой функции на прямой множество точек {x | D− F (x) < D+ F (x)} не более чем счётно.1Задача 48. При каких α и β функции xα sin xβ , xα cos xβ принадлежат классам AC и VB на [0, 1]?Задача 49. Привести пример функции из класса ACG, которая не принадлежит классу AC.Задача 50. Вычислить интеграл Лебега – Стилтьеса для функции скачков.RbRbЗадача 51.

Доказать для случая ϕ ∈ AC равенство (LS) f dϕ = (L) f ϕ′ dx.aaЗадача 52. Пусть f, g ∈ L1 (R). Доказать, что для почти всех y существует свёрткаZ(f ∗ g)(y) := f (x)g(y − x) dx.(8)RµЗадача 53. Придумать последовательность интегрируемых по Лебегу функций fn , таких что fn −→ f,но kfn − f kL1 9 0.µРешение. Рассмотрим fn = n · χ[0, 1 ] на [0, 1]. Очевидно, что fn −→ 0, но kfn kL1 = 1 9 0. nЗадача 54. Показать несовпадение пространств Lp (E) при различных p для E = [0, 1] и E = [1, +∞).Задача 55. Выяснить связь между сходимостью в Lp (E), сходимостью почти всюду и по мере.Задача 56. Доказать неравенство Чебышёва для Lp (E):Z1µ {x : |f (x)| > α} 6 p|f (x)|p dµ.α(9)EРешение. Пусть L = {x : |f (x)| < α}, а G = E r L.

ТогдаZZZZ|f |p dµ = |f |p dµ + |f |p dµ > |f |p dµ.ELGp(10)GppПоследний интеграл оценим снизу числом α µ(G), ибо |f | > α на G. Значит,требовалось доказать. REp|f | dµ > αp µ(G), что иЗадача 57. Доказать, что если kf kLp 6 C < ∞ при всех p > 1, то f эквивалентна ограниченной функции.Решение. Воспользуемся неравенством Чебышёва:Zpkf kLp1Cpµ {x : |f (x)| > α} 6 p|f (x)|p dµ =6.ααpαp(11)EЗаметим, что при α > C последняя дробь стремится к нулю при p → ∞.

Значит, для ∀ α > C имеемµ {x : |f (x)| > α} = 0, т. е. функция f эквивалентна ограниченной функции [f ]α . P cos nxЗадача 58. При каких α рядбудет рядом Фурье функции из L2 ?nαP cos nxЗадача 59. Будет лиln n рядом Фурье непрерывной функции?Последняя компиляция: 25 апреля 2009 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.1 Смысл значков D + и D , если обозначения с 2003 года не поменялись, таков: D — нижняя производная слева, D + — верхняя−−производная справа (есть ещё, соответственно, D − и D+ ) — Прим. ред.10.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6508
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее