Главная » Просмотр файлов » В.А. Скворцов - Материалы к экзамену по действительному анализу

В.А. Скворцов - Материалы к экзамену по действительному анализу (1117939), страница 2

Файл №1117939 В.А. Скворцов - Материалы к экзамену по действительному анализу (В.А. Скворцов - Материалы к экзамену по действительному анализу) 2 страницаВ.А. Скворцов - Материалы к экзамену по действительному анализу (1117939) страница 22019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Если меры σ-аддитивны на S и T , то µ тоже σ-аддитивна.Теорема 49 (Фубини). Пусть A ⊂ X × Y и f : A → R, f ∈ L(A). ПоложимAX := {y : ∃ x ∈ X : (x, y) ∈ A} ,ТогдаZAf (x, y) dµ =Z ZAY := {x : ∃ y ∈ Y : (x, y) ∈ A} .f (x, y) dµY dµX =X AXZ Zf (x, y) dµX dµY .(10)(11)Y AYОпределение. Для любого p > 1 определим Lp (X) — нормированное пространство классов эквивалентностифункций f : X → R таких, что |f |p ∈ L(X), с нормойkf kLp :=ZX1/p|f |p dµ.(12)Отношение эквивалентности — совпадение почти всюду.Замечание. L2 — гильбертово пространство.Теорема 50 (Неравенство Гёльдера). Имеем kf gkL1 6 kf kLp kgkLq при1p+1q= 1.Теорема 51 (Неравенство Минковского). Имеем kf + gkLp 6 kf kLp + kgkLp .Теорема 52 (Неравенство Юнга).

Имеем ab 6app+bqqпри1p+1q= 1.Утверждение 53. Lp — полное (и потому банахово) пространство.Теорема 54 (Рисса – Фишера). Пусть {ϕn } — произвольная ортогональнаянормированная система вP 2∞гильбертовом пространстве H, а {ck }k=1 — такой набор чисел, чтоck сходится. Тогда ∃ f ∈ H, чтоP 2ck = (f, ϕk ) иck = (f, f ) = kf k2 .52.

Задачи и их решенияЗадача 1. Замкнутость относительно каких операций ∪, △, ∩, r дает эквивалентное определение кольца?Решение.• Относительно △, ∪, так как A ∩ B = A △ B △ (A ∪ B).• Относительно △, r, так как A ∩ B = A r (A △ B).• Относительно ∪, r, так как A ∩ B = A r (A r B), A △ B = (A ∪ B) r (A ∩ B).Заметим, что никакой другой пары операций из ∪, ∩, r недостаточно. Действительно, при помощи операций ∩ и ∪ из множеств A и B невозможно получить никакого множества, не содержащего A ∩ B. При помощиопераций ∩ и r из множеств A и B можно получить только множества A ∩ B, A r B, B r A, ∅.

Задача 2. Проверить, что кольцо является полукольцом.Решение. Если множества A и B лежат в кольце, то B = A ⊔ (B r A) = A ⊔ B △ (A ∩ B) — разложение Bв сумму попарно непересекающихся множеств, одно из которых равно A. TЗадача 3. Доказать, что если для любого α ∈ I множество Rα является кольцом, тоRα — кольцо.α∈IРешение. Пусть X ∈ R и Y ∈ R.

Тогда для ∀ α ∈ I выполнено X ∈ Rα и Y ∈ Rα . Но тогда для ∀ α ∈ Iвыполнено X ∩ Y ∈ Rα и X △ Y ∈ Rα , а значит X ∩ Y ∈ R и X △ Y ∈ R. Таким образом, R — кольцо. Задача 4. Доказать, что на полукольце прямоугольников площадь является σ-аддитивной мерой.FPРешение. Пусть {An } и A — прямоугольники, A = An . Докажем, что S(A) = S(An ). Сначала докажем,nnPчто S(A) 6S(An ). Для каждого прямоугольника An фиксируем открытый прямоугольник A′n , площадьnкоторого не превосходит 2εn . Кроме того, фиксируем замкнутый прямоугольник A′ ⊂ A, площадь которогонеS(A) − ε.

Из покрытия компакта A′ открытыми множествамиA′n выделим конечное подпокрытие ′меньшеP′Ank . В силу конечной аддитивности площади, получим, чтоS(Ank ) > S(A′ ). Но тогдаkXnS(An ) >XnS(A′n ) − ε >Так как это выполнено для всех ε > 0, тоPXkS(A′nk ) − ε > S(A′ ) − 2ε > S(A) − 2ε.S(An ) > S(A). Докажем теперь, чтоnнеравенствоNP∞P(1)S(An ) 6 S(A). Каждоеn=1S(An ) 6 S(A) следует из аддитивности площади, а доказываемое получается из них предельнымn=1переходом. Задача 5. Привести пример множества A ∈ B(Rn ), не являющегося:• Fσ -множеством;• Gδ -множеством.Решение. Заметим, что дополнение к Gδ есть Fσ , поэтому достаточно построить плохое множество только∞Tодного типа.

Докажем, что множество A := Q ∩ [0, 1] ∈/ Gδ . Допустим, что A =Ui , где Ui открыты. Заметим,i=1что A всюду плотно в [0, 1], поэтому каждое из Ui должно быть всюду плотным. Далее, заметим, что A счётно.Определение. Множество называется остаточным, если оно является пересечением открытых всюду плотных множеств.Лемма 1. Остаточные множества в Rn имеют мощность континуум.T В самом деле, пусть E — остаточное множество, и E = {Ui }. Выберем произвольную точку x1 множества U1 . В силу открытости U1 она содержится в нём с некоторой своей окрестностью, а значит, и вместес некоторым отрезком I1 . В этом интервале можно найти некоторую точку x2 из множества U2 , так как оновсюду плотно, и точно также можно выделить отрезок I2 ⊂ I1 , содержащий точку из U1 ∩ U2 , и т.

д. Таким образом можно построить последовательность вложенных отрезков. У них есть хоть одна общая точка по леммео вложенных отрезках. Значит, E 6= ∅. Эту же конструкцию можно применить к построению континуальногоподмножества в E. А именно, на k-м шаге можно выбрать 2k отрезков, содержащихся в пересечении U1 , . . . , Uk .Для этого достаточно брать по одному отрезку в левой и правой окрестности точки, далее в каждом из нихнаходить по точке из Uk+1 , и т.

д. Будем кодировать каждый левый отрезок нулём, а каждый правый — единицей. Тогда получим множество точек, принадлежащих всем Ui , закодированных всеми последовательностямииз нулей и единиц, а их континуум, что и требовалось. 6Возвращаясь к задаче и применяя лемму 1, заключаем, что A является остаточным и в то же время счётным.Противоречие. Значит, A ∈/ Gδ . Отсюда следует, что [0, 1] r A ∈/ Fσ . Задача 6. Определить борелевский класс множества точек непрерывности функции на отрезке.Задача 7.

Привести пример A ⊂ R2 , измеримого по Лебегу, но не измеримого по Жордану.2Решение. Годится множество A = Q ∩ [0, 1] . Очевидно, что минимальное простейшее множество, содержащее A, есть квадрат [0, 1]2 , а внутрь множества A не уместится ничего, кроме конечного набора точек, ибоQ всюду плотно на [0, 1]. Значит, внешняя мера Жордана не совпадает с внутренней, что свидетельствует онеизмеримости A.

Задача 8. Доказать, что если множество E ⊂ Rn компактно и µL (E) = 0, то оно измеримо по Жордануи µJ (E) = 0.Задача 9. Пусть внешняя мера Лебега µ∗ является продолжением меры, заданной на некотором кольце.Доказать, что множество A µ∗ -измеримо по Каратеодори тогда и только тогда, когда для ∀ ε > 0 найдетсяэлемент кольца Bε такой, что µ∗ (A △ Bε ) < ε.∞FЗадача 10. Пусть S — полукольцо множеств на X, µ — σ-аддитивная мера на S, X =Xi , а Xi ∈i=1∈ S. По определению, множество A ⊂ X измеримо, если для ∀ i множество A ∩ Xi измеримо, и при этом∞Pµ(A) =µ(A ∩ Xi ).

Доказать, что так определенная мера не зависит от разбиения X на Xi ∈ S, являетсяi=1σ-аддитивной, и что измеримые множества образуют σ-алгебру, а множества конечной меры — σ-кольцо.Задача 11. Построить в множестве положительной меры Лебега неизмеримое по Лебегу подмножество.Решение. Мы изложим нашу конструкцию в случае, когда X = [0, 1]. Пусть E ⊂ X — исходное множество.Введём отношение эквивалентности на E: скажем, что x ∼ y, если x − y ∈ Q. Выберем ровно по одному элементуиз каждого класса эквивалентности и образуем из этих элементов множество F . Покажем, что F неизмеримопо Лебегу. Через A + q обозначим множество {x + q | x ∈ A}.

Легко видеть, что для всяких p, q ∈ Q множестваF + p и F + q не пересекаются. Действительно, если бы они пересеклись, то это означало бы, что в F найдутсядве точки, расстояниеF между которыми рационально, что противоречит его определению. Теперь рассмотриммножество U :=(F + q).

Заметим, что µ(F + q) = µ(F ) для всякого q ∈ Q. Если µ(F ) > 0, то, в силуq∈Q∩XPPсчётной аддитивности меры, получим µ(U ) =µ(F + q) =µ(F ) = ∞, что противоречит условию.q∈Q∩XС другой стороны, мера F не может быть нулевой, поскольку тогда µ(U ) = 0, но тогда и µ(E) = 0, а этоневозможно по условию. Задача 12. Построить на отрезке [0, 1] нигде не плотное множество наперёд заданной меры p.Задача 13. Пусть α > 0. Найти меру совершенного множества канторовского типа, в котором отношение длины выбрасываемого на n-м шаге интервала к длине отрезка, из которого выбрасывается интервал,1равно (α+n)2.Задача 14. Придумать множество меры нуль, не представимое в виде счетного объединения нигде неплотных множеств.Решение.

Рассмотриммеры канторовскогоS отрезок [0, 1] и счётное объединение множеств положительнойтипа на нём, т. е. E :=Kn , где Kn — канторово множество меры 1 − n1 . Заметим, что каждое Kn нигдене плотно. Очевидно, что множество G := [0, 1] r E имеет меру нуль. Покажем, что оно обладает требуемымсвойством. Действительно,SS допустим, что оно представимо в виде объединения нигде не плотных множеств Fn .Тогда [0, 1] = ( Fn ) ∪ ( Kn ). Но отрезок не представляется в виде счётного объединения нигде не плотныхмножеств, так как по аналогии с леммой о вложенных отрезках можно построить точку, которая не лежит вэтом объединении (вспомните определение нигде не плотного множества).

Задача 15. Доказать, что в любом множестве положительной меры найдутся две точки, расстояниемежду которыми рационально.Решение. Если мы живём на отрезке, то E ограничено. Если же мы живём на прямой, то, в силу σ-конечности меры Лебега на R, можно выделить в E ограниченное подмножество положительной меры и все рассуждения проводить для этого ограниченного подмножества.

Докажем, что уже в этом подмножестве искомыеточки существуют.Допустим противное, т. е. существует ограниченное множество E ⊂ R положительной меры, у которого всерасстояния между его точками иррациональны. Обозначим через E + q сдвиг множества E в точку q ∈ R, иначеговоря, E + q = {x + q | x ∈ E}. Тогда рациональные сдвиги E не пересекаются: если бы случилось так, чтоx + p = y + q, где x, y ∈ E, а p, q ∈ Q, то x − y = q − p ∈ Q, что противоречит тому, что все расстояния между7точками E иррациональны.

Рассмотрим F =S(E + rk ), где {rk } — нумерация всех рациональных чисел отрезкаrk[0, 1]. С одной стороны,P мера F конечна, поскольку F ограничено. С другой стороны, в силу σ-аддитивностимеры, имеем µ(F ) = µ(E) = ∞. Противоречие. kЗадача 16. Доказать, что E ⊂ Rn измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда для ∀ ε > 0 существуют замкнутое множество Fε и открытое множество Gε , такие что Fε ⊂ E ⊂ Gε и µ(Gε ) − µ(Fε ) < ε.Задача 17.

Доказать эквивалентность определения измеримости функции через измеримость множествлюбого из типов: {f (x) 6 C}, {f (x) < C}, {f (x) > C}, {f (x) > C}.Задача 18. Придумать неизмеримую функцию f , у которой для ∀ c ∈ R измеримо множество f −1 {c} .Решение. Пусть X = [0, 1]. Рассмотрим неизмеримое по Лебегу множество A ⊂ X, и построим функцию(x, x ∈ A;f (x) =(2)−x, x ∈/ A.Тогда прообразом любойточки c ∈ R будет либо ∅, либо одна точка. Однако функция не является измеримой,поскольку f −1 [0, 1] = A.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6455
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее