Лекции Надежды Лауфер (1117929)
Текст из файла
Действительный анализПрислано Надеждой Лауфер (nadenkam@mail.ru)IV семестрАннотацияСвои пожелания, дополнения и замечания просьба направлять поуказанному email-адресу. К сожалению, текст далеко не всегда связени понятен, поэтому большая просьба к читателям — принять посильное участие в его улучшении. Администрация портала dmvn.mexmat.netнадеется, что в дальнейшем эти конспекты примут более завершённый вид.
Не судите пока строго. Хочется верить, что это начало пути.Лекция 1.Определение.S — полукольцо множеств, если:Tø ∈ S; S замкнуто относительно операции; и если A1 ∈ A, иSnA1 , A ∈ S, то A = i=1 Ai , Ai ∈ S.Определение. Кольцо — непустое семейство множеств, замкнуTTтое относительно. Обозначается R, ∆,.TЗадача 1. Замкнутость относительно \ , .Задача 2.Кольцо является полукольцом.Задача 3.Какие пары операций на множествах дают определе-ния, эквивалентные кольцу.Все множества семейства — подмножества множества Х.Если Х входит в класс, назовем его единицей.Определение.Кольцо с единицей — алгебра множеств.Определение.Если кольцо замкнуто относительно счётных объ-единений, назовем его δ - кольцом. δ - кольцо с единицей — δ - алгебра.1Определение.Кольцо, порожденное данным семейством — ми-нимальное кольцо, содержащее данное семейство.R(S) — минимальное кольцо, порожденное S.Теорема.∀A ∈ R(S)A=n[Bjj=1△SB = ki=1 Ci , Ci ∈ S.TSTA B = i,j (Bj Ci )SSTA \ B = j (Bj \ B) = _j i (Bj \ Ci ), Bj \ Ci принадлежитрассматриваемому семейству.SA∆B = (A \ B) (B \ A) ⇒ семейство замкнуто относительно ∆.Мераm : A → [ 0; +∞); A — семейство множеств,Sm(A B) = m(A) + m(B)P∞Sm( ∞i=1 m(Ai ) (δ-аддитивность)i=1 Ai ) =m : S → [ 0; +∞), S — полукольцоТеорема.Существует единственное продолжение меры m : S →[ 0; +∞) на R(S) m′ , причем если m δ-аддитивна, то m′ − δ-аддитивнана кольце.SA ∈ R(S), A = nj=1 Bj , Bj ∈ S.
Pn′m (A) = j=1 m BjPkПроверим, что m′ не зависит от представления.SA = ki=1 Ci — другое представление.STTA = j,i (BjCi ), Bj Ci ∈ STPkPnPn PkCi ) =m′ (A) =i=1 m(Bji=1 m(Ci ) ⇒j=1j=1 m(Bj ) =i=1m′ .m(Ci ) = m′ (A)Пусть есть второе продолжение m′′PnP′′′′′m′′ (A) = nj=1 m (Bj ) =j=1 m(Bj ) = m (A) ⇒ m совпадает сПроверка аддитивности:SA= nj=1 Aj2A=SmAj =′i=1Sk jBi , Bi ∈ SBj,kP Pk=1m (A) =ij,km(Bj,kTBi ) =Проверим δ-аддитивность.SSk jA= ∞k=1 Bj,kj=1 Aj , Aj =P Pjk,im(Bj,kTBi ) =Pm′ (Aj ) (∗)Далее пишем (*), только там пользуемся δ-аддитивностью m.Задача 4.На полукольце прямоугольников площадь — δ-аддитивная ме-ра.Теорема (полуаддитивность меры).SP∞A⊂ ∞i=1 Ai , тогда m(A) 6i=1 m(Ai )(m — δ-аддитивна)△TA1 , B2 = (A A2 ) \ B1TSBi = (A Ai )\ i−1k=1 BkS∞A = i=1PmA = mi=1 Bi 6 mAi (Bi ⊂ Ai в силу монотонности меры)B1 = ATВнешняя мераХ - основное множество, S - полукольцо.SE ⊂ i Pi , Pi ∈ SP∞Тогда µ∗ (E) = S infj=1 mPiiPi ⊃EСвойства внешней меры:1) полуаддитивностьP∞ ∗S∗E⊆ ∞j=1 µ (Ej )j=1 Ej ⇒ µ (E) 6Доказательство: приближенно с точностью ε/2j ∀ EjSPµ∗ (Ej ) + ε/2i > ∞i=1 mPj,i ;j,i P j, i — покрытие .PP ∗∗µ (Ej ) 6 i,j mPj,i 6 j µ (Ej ) + εPТак как это верно ∀ ε, то µ∗ (Ej ) 6 j µ∗ (Ej )µ∗ (E) = mX − µ∗ (X \ E)Определение.Внутренняя мераОпределение.Измеримое множество(1) µ∗ (E) = µ∗ (E)T(2) µ∗ (A) = µ∗ (A E) + µ∗ (A \ E) ∀ AЛекция 2.3µ∗ E = S∞infk=1Задача.⊃E∞Xk=1m Pk , Pk ∈ S.Определить µ∗ для покрытийных исходному.S∞k=1⊃ E, эквивалент-Если A ∈ R(S), то µ∗ (A) = m′ (A)SPA⊂ ∞m′ (A) 6 k mPk ⇒ m′ (A) 6 µ∗ (A)k=1 PkSТак как A ∈ R(S), то A = ni=1 Ai , Ai ∈ S.PnS′∗m (A) = i=1 mAi > µ (A), (т.к.
ni=1 Ai — одно из покрытий A)Далее будем считать, что есть функция λ, определенная на всехподмножествах Х и обладающая свойствами внешней меры µ∗ :1) λ(ø) = 02) A ⊂ B ⇒ λ(A) 6 λ(B)SP∞3) A = ∞i=1 ⇒ λ(A) 6i=1 λ(Ai )E ⊂ X называется λ-измеримым, если ∀Aλ(A) = λ(Aλ(A \ E)Теорема.TE) +Семейство множеств, измеримых по Каратеодори, об-разует δ-алгебру множеств, и внешняя мера λ является δ-аддитивноймерой на этой алгебре.Задача.Для проверки того, что семейство является алгеброй,Sдостаточно проверить его замкнутость относительно дополнения и .Замкнутость относительно дополнения видна из определения:TTλ(A) = λ (A E) + λ(A (X \ E)), т.е.
выполнение равенствадля Е влечет за собой выполнение равенства для X \ ESПроверка замкнутости относительно :TSSTSTλ(A(E1 E2 )) + λ(A \ (E1 E2 )) = λ(A(E1 E2 ) E1 ) +TSSTλ(A (E1 E2 )\E1 )+λ(A\(E1 E2 )) = λ(A E1 )+λ(A\E1 ) = λ(A).Индуктивно доказывается замкнутость относительно любого ко-нечного количества объединений:Sλ(E1 E2 ) = λ(E1 ) + λ(E2 )SSE= ∞Sn = ni=1 Eii=1 Ei ,TPTFλ(A) = λ(A Sn ) + λ(A \ Sn ) > nEi ) + λ(A \ ∞i=1 Ei ) ⇒i=1 λ(ATF∞TP∞λ(A) >Ei ) + λ(A \ i=1 Ei ) > λ(A E) + λ(A \ E) > λ(A),i=1 λ(Aт.е. все неравенства можно заменить на равенства.4δ-аддитивность: возьмем в качества A само E.
Получим:Pλ(E) = ∞i=1 λ(Ei )S∞E = i=1 λ(Ei )SSSSSi−1 SE= ∞(E2 \ E1 ) . . . (Ei \ k=1) ... =i=1 Ei = E1FFFSi−1FE1 (E2 \ E1 ) . . . (Ei \ k=1 Ek ) . . . ⇒ получается δ-алгебра.Применяя определение Каратеодори к µ∗ , будем называть полу-чившийся класс множеств множествами, измеримыми по Лебегу.Если λ(E) = 0 ⇒ E — измеримо.Определение.Мера называется полной, если при δ(E) = 0 ∀ E1 ⊂E имеем δ(E1 ) = 0Для множеств, имеримых по Лебегу, µ∗ обозначается µ.Определение.Наименьшая δ–алгебра множеств, содержащаявсе открытые множества, называется борелевской алгеброй.
Каждоемножество — борелевским множеством.F — замкнутые множества, Y — открытые множества.F σ — объединение, Yδ — пересечение.F σδ , Yδσλ определяем на подмножествах метрического пространства.Мера λ называется метрической, если ∀A, B ρ(A, B)>0 имеем:Fλ (A B) = λ(A) + λ(B)ρ(A, B) =infx∈A,y∈BЛемма.ρ(x, y).X — метрическое пространство, λ — метрическая ме-ра, E ∈ G, G − открытое, Ek = {x ∈ E : ρ(x, x \ G) > 1/k} ⇒limk→∞ λEk = λEОчевидно, что limk→∞ λEk 6 λE, т.к. Ek — последовательностьрасширяющихся множеств.Обозначим Dk = Ek+1 \ Ek .ρ(Dk+1 , Ek )x ∈ Ek , y ∈ Dk+1 , z ∈ X\G1k6 ρ(x, z) 6 ρ(z, y) + ρ(y, x)ρ(y, x) >1k−1k+1−ε>α>0Тогда имеем: ρ (Dk+1 , Ek ) > 05λ(E) 6 λ(Ek ) +P∞i=kλ(Di ) ⇒λ(E) 6 limk→∞ λ(Ek )(если ряд сходится)ρ(Dk+1 , Dk−1 ) > 0P∞PP+i=k λ(Di ) =i=2ti=2t+1Хотя бы один ряд сходится к +∞. Допустим, чтоP∞i=1λ(D2k ) = +∞λ(E2k+1 ) → k → ∞ + ∞, но тогда limk→∞ = +∞ ⇒ limk→∞ λEk >λEТеорема.Если λ — внешняя метрическая мера, то класс боре-левых множеств входит в δ–алгебру λ–измеримых множеств.Достаточно доказать для замкнутых множеств.E — замкнуто, A — произвольное множество, G = X \ EBk = {x ∈ A : ρ(x, E) >1}k(по лемме)limk→+∞ λBk = λ(A \ E)В силу метричности λ :FTTFTλ(Bk (A E)) = λ(Bk ) + λ(A E), λ(Bk (A E)) 6 λ(A)Tλ(A) > λ(A \ E) + λ(A E)Tλ(A) 6 λ(A \ E) + λ(A E) в силу полуаддитивностиT⇒ λ(A) = λ(A \ E) + λ(A E)Покажем, что в R∗ µ∗ является метрической, если ρ(E1 , E2 ) = α >0.
(В покрытии будем использовать k-мерные интервалы диаметромменьше α/2. Тогда покрытие разделяется, и при переходе к inf получим аддитивность)Если мера определена на δ-алгебре борелевских множеств, будемназывать её борелевской.Лекция 3.m, m′µ∗ (E) = S inf∗′Pk ⊃EP∞k=1m(Pk )µ = m для элементов кольцаE ⊂ R(S)Покажем, что E входит в класс измеримых множеств.Обозначим M — класс измеримых множеств.T∀A µ∗ (A) = µ∗ (A E) + µ∗ (A \ E) (надо доказать)P∞S∗A⊂ ∞k=1 mPk < µ (A) + ε (выбираем такое покрытие)i=1 Pk6Tµ∗ (A) 6 µ∗ (A E) + µ∗ (A \ E) в силу полуаддитивностиTPTPT∗′µ∗ (A E)+µ∗ (A\E) 6 ∞E)+µ∗ (Pk \E) = ∞E)+k=1 µ (Pkk=1 (m (PkP∞′∗m (Pk \ E)) = k=1 mPk 6 µ (A) + εTµ∗ (A E) + µ∗ (A \ E) 6 µ∗ (A) + εTВ пределе при ε → 0 µ∗ (A E) + µ∗ (A \ E) 6 µ∗ (A)Значит, выполнено равенство Каратеодори.Пример неизмеримого множестваE = {xα }, где xα — рациональная точка на единичной окружности,повёрнутая на угол α.Покажем, что E — неизмеримо.
Построенная мера инвариантнаSотносительно сдвига rn , причем ∞n=1 E + rn = T . Если E измеримоPи имеет меру a, {E + rn } также имеет меру a. Т.е. ∞n=1 a = 1, а этоневозможно.Непрерывность меры Лебега{Ek }Ek ⊂ Ek+1SОпределение. Мера непрерывна, если limk→∞ µEk = µ( ∞k=1 )FFFS∞(E2 \ E1 ) .
. . (Ek \ Ek−1 )k=1 Ek = E1P∞PS∞µ( k=1 ) = µE1 + ∞k=1 (µEk − µEk−1 ) =k=1 µ(Ek \ Ek−1 ) = µE1 +limk→∞ µ(Ek )Свойство непрерывности ⇔ δ-аддитивности.Задача.+∞;Пусть есть δ-кольцо с единицей, Х — единица, µX <T{Ek }, Ek ⊃ Ek+1 ; тогда limk→∞ µ (Ek ) = µ ( ∞k=1 Ek )(доказывается переходом к дополнению)Задача. Пример, показывающий существенность условия µE <+∞Регулярность внешней мерыВнешняя мера λ регулярна, если ∀ A ⊂ X ∃B ∈ M : B — измерима по Каратеодори иA ⊂ B т.ч. λ(A) = λ(B).Покажем, что мера, построенная конструкцией Лебега (мера µ∗ ),регулярна.Pµ∗ (A) + 1i > ∞k=1 mPi,k >STS∞(∀ i ∃ k Pi,k ⊃ A B = ∞i=1k=1 Pi,k )S∞∗> µ( k=1 Pi,k ) > µ (B) ∀i ∈ N ⇒ µ∗ A > µB7Очевидно, что µ∗ A 6 µ∗ B ⇒ µ∗ A = µBTS∞В случае Rn B = ∞i=1k=1 Pi,k ∈ Yδ(если в качестве элементов полукольца — интервалы)Для приближения с точностью до ε можно взять открытое мноSжество E ⊂ k PkµFε + ε 6 µE 6 µGε − ε для Е — измеримого множестваИ в Rn это — достаточное условие измеримостиВнутренняя мера E ⊂ X : µ∗ (E) = mX − µ∗ (X \ E)Множество Е измеримо по Лебегу, если µ∗ (E) = µ∗ (E), то естьmX = µ∗ (E) + µ∗ (X \ E)Покажем, что это определение эквивалентно определению Каратеодори:1) опр.
Каратеодори ⇒ опр. Лебега (очевидно)2) опр. Каратеодори ⇐ опр. Лебега:mX = µ∗ (E) + µ∗ (X \ E)A ∈ M,µ∗ (E) = µ(A)X \ E ⊂ B,SA B=XB ∈ M,(∃ такое E ⊂ A)∗µ (X \ E) = µBmX = µ∗ (E) + µ∗ (X \ E) = µA + µBTTµX = µA + µB − µ(A B) ⇒ µ(A B) = 0TA \ E ⊂ A B ⇒ A \ E — измеримоE = A \ (A \ E) как разность измеримых множествF - монотонная неубывающая функцияВ качестве кольца: [α; β)m([α, β)) = F (β) − F (α)F (x) = {m([0; x)),0,x>0x=0m([x; 0)),x < 0))Теорема.Мера m, таким образом, δ-аддитивна на полукольце[α, β) ⇔ F непрерывна слева (F (t − 0) − F (t))Необх.µEn = F (t) − F (t −1)−−−−→nk→∞0limn→∞ µEn = 0 (т.е.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
