Лекции Надежды Лауфер (1117929), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Выберем [x′i , x′i + ki ] — конечное число отрезков, для которых выполнено:f (x′i + ki ) − f (x′i )>rki′f (xi + ki ) − f (x′i ) > ki rPP′′i (f (xi + ki ) − f (xi )) > ri ki >T S ′ ′∗µ ∗ (B ( [xi , xi + ki ])) > µ (B) − ε > µ∗ (A) − 2ε> r(µ∗ A − 2ε)PPk (f (xk ) − f (xk − nk )) >i (f (xi + ki ) − f (xi )), так как f — мо-нотоннаяsµ∗ (A) + sε > rµ∗ (A) + 2rεsµ∗ (A) > rµ∗ (A)s > r — противоречие.⇒ µ∗ A = 0Это верно для любой пары производных чисел (доказывается аналогично) ⇒ все производные числа Дини совпадают п.в.f (x + 1/k) − f (x) f ′ (x)Докажем неравенство теоремы: fk (x) =−−−−→k→∞1/kf (x) продолж. справа от в конст.
f (b − 0)f (x) = f (b − 0) ∀x > bfk (x) > 0По теореме ФатуR a+1/kaRbaf ′ dµ 6 limk→∞Rbafk dµ = limk→∞ k(R b+1/kbf dx−f dx) = f (b − 0) − f (a − 0)RbРавенство a f ′ dµ = f (b) − f (a) выполняется тогда и только тогда,когда f — абсолютно непрерывна.f ∈ AC, f ′ (x) = g(x) п.в. ( сущ. п.в. , т.к. f ∈ AC)Rbaf ′ dµ = f (b) −f (a) ⇔ g интегрируема по Лебегу (можно взять за эквивалентноеопределение)Лекция 11.Сравнение интеграла Римана–Стилтьеса с интеграломЛебега–Стильтьеса(RS)Rbaf dga = x0 < x1 < x2 < . .
. < xi−1 < xi < xi < . . . < xn = bP — разбиение отрезка30Mi = supx∈[xi−1 ,xi ] f (x), mi = infx∈[xi−1 ,xi ] f (x)g берем непрерывной слева.Верхняя сумма Дарбу.Нижняя сумма Дарбу.U (f, g, P ) =L(f, g, P ) =Pni=1Pni=1Mi g(△i )mi g(△i )Если inf U = sup L, то ∃ интеграл Римана–Стильтьеса, равныйэтой величине.RbЕсли ∃ a f dg, то можно взять последовательность разбиений Pk , Pk ⊂Pk+1 и получить интеграл как σ(Pk ) → 0 предел при k → ∞ суммДарбу.Теорема.Rb(LS) a f dµgВ случае существования интеграла Римана–СтильтьесаДоказательство.Uk (x) = Mi , x ∈ [xi−1 , xi )Lk (x) = mi , x ∈ [xi−1 , xi )RbRbU (f, g, Pk ) = (LS) a Uk dµg → (RS) a f dfRbL(f, g, Pk ) = (LS) a Lk dµg րUk ց ULk ր LUk (x) > U (x) > (x) > f (x) > L(x) > Lk (x)По теореме Б.
Леви можно переходить к пределу под знаком интеграла Лебега.RbRb(LS) a U dµg = (LS) a LdµgRb(LS) a (U − L)dµg = 0 ⇒ U − L = 0 µg ⇒ U (x) = f (x) = L(x)RbRbRbRb(LS) a f dµg = (LS) a U dµg = (LS) a µg = (RS) a f dgТеорема будет верна для g ∈ V B (педст. в виде разности двухмонотонных функций)Задача (*). Интеграл не зависит от представления g (но будем ист.представление V̄ - V)¯Теорема Фубини(X, S, µx )(Y, T, µy )X ×YA ∈ S, B ∈ TdefC =A×Bµ(C) = µx A × µy B31Задача C = A × B, A ∈ S, B ∈ T, {C} образует полукольцо.Мера определена на полукольце → определим её на минимальномкольце → с помощью конструкции Лебега определим µ∗ → с помощьюопределения Каратеодори определим класс измеримых множеств.Получим меру, называемую производной мер µx и µy наX ×Y, µ =µx × µyПроверим σ–аддитивность меры на полукольце C =Ak × BkµC = µx A×µy B =RxχA (x)µy Bdµx =R PxkS∞k=1 ,χAk µy Bk dµx =Ck =Pkµx Ak µy Bkf (x, y) определена на X × Y — измерим., неотриц.RR RТогда X×Y f (x, y)dµ = X ( Y f (x, y)dµy )dµx , если имеет смысл ле-вая часть.Считаем: f (x, y) измерима при фиксированном x на Y для п.в.
yRТогда F (x) = Y f (x, y)dµy имеет смысл и предполагается измери-мой.Сначала докажем теорему для характеристической функции χA (x, y)измеримого множества относительно µ = µx × µy .Сначала рассмотрим A = A′ × A”.Для такой χA — очевидно. (χэлемента кольца =Лемма.Pχэлемента полукольца )∀ измеримого A ∃Bnk — последовательность элементовкольца, Bnk ↑ Bn , Bnk ↓ B, n → ∞ и µB = µA, BsupsetAДоказательство.PµA = inf S Pi ⊃A ∞i=1 µPiSP∞µA + 1/n > i=1 µPi > µ( i Pi )Хотим, чтобы Bn ⊃ Bn+1ST SST( i Pi ) ( k Pk′ ) = i,k (Pi Pk′ )Пользуясь этим, получим µA + 1/n > µ(Bn )Tlimn→∞ µBn = µ( ∞n=1 Dn ) = µB = µASkBnk = i=1 PiИтак, для χBnk теорема Фубини верна.Ax = {y : (x, y) ∈ A}RRχBn (x, y)dµ = limk→∞ X×Y χBnk (x, y)dµ = limk→∞X×Y32ZRR(χBnk (x, y)dµy ) dµx = (Применяем теорему Б.
Леви) = X (limk→∞ Y χBnk (x, y)µy )dµxX| Y{z}Rмонот. посл. функцийRRχBn (x, y)dµ = X limk→∞ µy (Bnk )f µx = X µy (Bn )x dµx =X×YR R( χBn (x, y)dµy )dµxX YRДокажем для χBn . Аналогичен переход χBn → χBA = B \ (B \ A)χA = χB − χB\A ,µ(B \ A) = 0Докажем теорему Фубини для любого измеримого множества меры 0.C ⊂ B ′ , µC = µB ′ = 0 ( аналогично B ′ - изм.
оболочка)0xДля B ′ теорема доказана.RRR RRχC (x, y)dµ = X×Y χB′ dµ = X ( Y χB′ dµy )dµx = 0 ⇒ Y χB′ dµy =X×Yµy Bx′ = 0 ⇒ µCx = 0RχC (x, y)dµ = 0X×YR R( χC (x, y)dµy )dµx = 0X YЛекция 12.X × Y µx × µy f (x, y) > 0RR Rf (x, y)dµ = X ( Y f (x, y)dµy )dµxX×YУже доказано для χA , A измеримо.Меры µx и µy предполагаются полными. Так как доказано дляхарактреристических функций ⇒ доказано для простых функций.fn (x, y) ր f (x, y), fn — простые функцииRR Rf (x, y)dµ = X ( Y fn (x, y)dµy )dµxX×Y nВыбрасываем множество меры 0 для каждого n, где fn (x, y) неизм.по y и берем их объединение. Затем применяем теорему Леви.Для неотрицательных функций торема Фубини доказана.Теорема Фубини: f — измеримая функция, f интегрируема по ЛеRR Rбегу на X×Y (интеграл конечен).
Тогда X×Y f (x, y)dµ = X ( Y f (x, y)dµy )dµxf (x, y) изм. для п.в. x, и интеграл по у конечен для п.в. хRf (x, y)dµy интегрируема по xX(в предположении конечности левой части формулы)f = f +f −33Пример существенности условия конечности левой частиформулы.f (x, y) =xy,(x2 +y 2 )2x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1]Эта функция не интегрируема по Лебегу как функция двух переменных.Пространство Lp (X, (M ), µ)1 6 p 6 +∞Rkfp k = ( X |f |p dµ)1/p < +∞Уже рассматривали L1 = Lkf k = 0 ⇔ f = 0 — это все функции, равные 0 п.в.
(эквивалентнынулевой функции)Элементы Lp — классы эквивалентности функций.Проверим свойства нормы: kλf kp = |λ|kf kp — очевидно.Если 1 < p < +∞, то сопр. показатель q п определению — число,удовлетворяющее свойству 1/p + 1/q = 1q = p/(p − 1)Докажем неравенство Гёльдера.Rf ∈ Lp , g ∈ L1 , тогда X |f g|dµ 6 kf kp kgkqRaRbab 6 0 xp−1 dx + 0 y q−1 dyab 6 q p /p + bq /qПрименим это к доказательству неравенства Гёльдера.|f (x)||g(x)|a=,b =kf kpkgkqR |f (x)| · |g(x)|1 R |f (x)|p1 R |g(x)|q6dµ +dµXXkf kp kgkqpkf kpq X kgkqУпрощаем и получаем неравенство Гёльдера.Доказательство неравенства Минковского.kf + gkp 6 kf kp + kgkp , p > 1RR|f + g|p 6 X |f + g|p−1 |f |dµ + X |f + g|p−1 |g|dµ 6p(p−1)·Rp − 1 )1−1/p ·(R |f |p )1/p +(R |f +g|p )1−1/p ·(R |g|p )1/p6 ( X |f +g|XXXRЕсли X |f + g|dµ = 0, то это очевидно.|f (x) + g(x)|p 6 2p max |f (x)p , |g(x)p || 6 2p (|f (x)|p + |g(x)|p )RТогда, сокращая на X |f + g|p dµ, получаем неравенство Минков-ского (оно же неравенство треугольника для k · k)Lpfn −−→ f34Связь разных сходимостей.R|fn − f |dµkfn − f kppµx ∈ X : |(fn − f )(x)| > ε 6 X=pεεЗначит, сходимость в Lp ⇒ сходимость по мере (обратное неверно)Задача.Выяснить связь сходимости в Lp с другими сходимо-стямиТеорема.Lp — полное пространствоДокажем, что Lp — полное пространство (в предположении, чтоµ − δ–конечна)Пусть fn удовлетворяет условию Коши.
Покажем, что fn → f поточечно п.в.Найдем nk : kfnk − fn kp < 1/2k ∀n > nkОпределим подпоследовательности fnk ; nk < nk+1 < . . .Возьмем множество, на котором µ конечна.S(X = ∞k=1 Ek , µEk < ∞). Возьмем Ek )R1Тогда |fnk − fnk+1 |dµ 6 kfnk − fnk+1 k · c 6 c · k2(Неравенство Гёльдера)Ряд из интегралов сходится ⇒P|fn1 (x)| + ∞k=1 |fnk+1 (x) − fnk (x)| сходится п.в.PТогда ряд fn1 (x) + ∞k=1 (fnk+1 (x) − fnk (x)) сходится абсолютно.Его частичные суммы — fnk .RRl>kЗначит, fnk (x) → X |fnk − fnl |dµ −−−→ X |fnk − f |p dµ 6 ε (поl→∞теореме Фату)kfnk − fnl kp < 1/2k , nk < n 6 nk+1Тогда kfn − f kp 6 kfn − fnk kp + kfnk − f k < 2εЛекция 13.f X Ek влечет удовлетворение условия Коши на XLp , 1 < p < ∞Можно определить L∞Существенный супремумess supx |f (x)| = inf{C : µ|f (x)| > C = 0} =kf k в L∞ .Элементы L∞ — классы эквивалентных функций.f ∼g⇔f =gЗадачаПроверить свойство нормы.35Пространство Lo — пространство всех измеримых функцийR|f − g|L0 (x) : ρ(f, g) = Xdµ µX < ∞1 + |f − g|Задача 1.
Проверить ρ(f, g)L0 — метрика.Задача 2.Сходимость относительно ρ(f, g) ⇔ сходимость помереВ L2 можно ввести скалярное произведение (f, g) =комплексных функций)RXf (g)dµ (дляL2 — полное пространство со скалярным произведением. (то естьгильбертово пространство)(f, g) 6 kf k · kgkОпределение.Метрическое протранство называется сепарабель-ным, если в нем найдется счетное всюду плотное множество.Докажем, что Lp ([a, b]) сепарабельно.
В качестве счетного множества берем множество всех многоленов с рациональными коэффициентами. Покажем, что оно всюду плотно вLp . Для L1 ясно (применим теорему о приближении непрерывной функцией функции интеграла по Лебегу, затем применим теорему Вейерштрасса о приближении многочленами, затем приблизим полиномом с рациональнымикоэффициtнтами)Для Lp : f > 0fn — простые. По теореме Б.Леви kfn − f kp → 0Простые функции — линейные комбинации характеристическихфункций. Приближение полиномами хар.
функций изм. множеств.Измеримое пространство приближается открытым множеством. Открытое множество — счетное объединение интервалов. Приближениехарактеристической функцией конечного числа интервалов (выбр. счетное число интервалов суммарной длины < ε). Значит, надо приближать характеристической функцией инт. с точностью до varepsilon.Затем применить теорему Вейерштрасса.Свойства гильбертова пространства.f и g ортогональны, если (f, g) = 0pkf k = (f, f )Можно рассматривать ортонормированные системы (О.Н.С.)X — гильбертово пространство, f — его элемент.36{en } — ОКоэффициенты Фурье fˆn = (f, en )Теорема.f ∈ X, X — гильбертово пространство. Тогда kf −Pn2ˆk=1 αk ek k — минимально, если αk = fkДоказательство.PPn2 Pnˆ 2 Pn |fˆk |2 , min(f − nk=1 αk ek , f −k=1 αk ek ) = kf k +k=1 |αk −fk | −k=1получается при αk = fˆkПолучаем равенство:PPn22ˆˆ 2kf − nk=1 fk ek k = kf k −k=1 |fk | , т.к.
левая часть > 0, тоPˆ 2kf k2 > nk=1 |fk |Переходим к пределу при n → ∞, получим неравенство Бесселя:Pˆ 2kf k2 > ∞k=1 |fk |Если ряд Фурье сходится к функции, тоPˆ 2kf k2 > ∞k=1 |fk | — равенство Парсеваля.Равенство Парсеваля ⇔ сходимости ряда Фурье к своей функцииfТеорема (Мермера).Коэффициенты Фурье по ограниченной(поточечно) ортонормированной системе в L1 стремятся к нулю. (приn → ∞)L2 (x) µX < ∞{en } |en (x)| 6 M ∀x ∈ X ∀nRfˆk = f ek dµR∀ε > 0∃N : X |fN − f |dµ < ε (fN — срезка)fN ∈ L2 (x) ⇒ для fN выполнено неравенство Бесселя, т.е.
коэф-фициенты Фурье → 0.RRRR|fˆk | = | I f ek dµ| 6 | X (f −fN )ek dµ|+| X fN ek dµ| 6 X |f −fN |dµ+kε· M + ε/2 = ε. k > no|fˆN | 62MО.Н.С. не ограничена в совокупности в L2 ([0, 1])χ0 = 18>< 1,χ1 =>:−1,χ ∈ [0, 1/2)χ ∈ (1/2, 0]378√>>>2,χ ∈ [0, 1/4)>><√χ2 = − 2,χ ∈ (1/4, 1/2)>>>>>:− − // − −8√><− − // − −2, χ ∈ (1/2, 3/4)χ3 =√>:− 2,χ ∈ (3/4, 1]Далее 8определим функции от 2k , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
