Лекции Надежды Лауфер (1117929), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

. . , 2k+1 − 1>>>2( k/2),χ ∈ [0, 1/2k+1 )>><χ2k = −2k/2 ,χ ∈ (1/2k+1 , 1/2k )>>>>>:− − // − −Далее сдвигаем. В точках разрыва — как среднее арифметическоепределов или по непрерывности справа.Теорема Риса–Фишера.{ek }P∞k=1|ck |2 < ∞({ck } ∈ L2 ) ⇒ ∃f ∈ X : ck = fˆk по системе {ek }И можно выбрать f так, чтобы выполнялось равенство Парсеваля.PДоказательство.

Tn = nk=1 ck ekP2Tn удовлетворяет условию Коши: kTn −Tm k2 − nk=m+1 |ck | −−−−−→m,n→∞0Значит, Tn → f(f, ek ) = (f − Tn , ek ) + (Tn , ek ) = (по неравенству Коши–Бун.)(f −Tn , ek ) + ck(f − Tn , ek ) → 0 n → ∞(f, ek ) = ckТ.к. Tn → f , выполнено равенство Парсеваля (т.к. Tn — частныесуммы ряда Фурье){en } полная, если (f, en ) = 0∀n f = 0Задача.Полнота эквивалентна равенству Парсеваля ∀fПризнаки сходимости ряда Фурье.f (x + t) + f (x − t) − 2S∈ L(o, δ) в т. xПризнак Дини:tряд Фурье по тригонометрической сумме сходится к S (наиболеечасто встречается S = f (x))f (x + 0) + f (x − 0)S=238.

Характеристики

Список файлов лекций