1 (1115619), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Д анное интегральное уравнение может быть приведено к дифференциальному виду. Дифференциальность уравнения означает, что замкнутый контур должен описывать бесконечно малую площадь стягивающуюся в точку . Поэтому для перехода к дифференциальному виду надо разделить левую и правую часть на и взять предел (рис. 3). В математической теории поля доказывается, что этот предел, где означает бесконечно малую площадку, проходящую через точку и перпендикулярную вектору (который, в свою очередь, имеет произвольное направление), равен слагающей ротора вектора по произвольному направлению в произвольной точке поля

, т.е. .

В виду произвольности направления вектора ротор вектора во всех точках электростатического поля равен нулю: .

Подчеркнём, что ротор - математический объект, полученный в результате математических операций, и нам нет необходимости знать как он получен - для нас важно знать его выражение как математического объекта и правила его использования, другими словами: конечная формула, по которой мы можем формально вычислить его значение.

В математике показано, что ротор произвольного вектора имеет вид (в декартовой системе координат)

, где - - проекции ротора на соответствующие оси: .

Вектор , где - проекции вектора на оси: .

Таким образом, в декартовой системе координат

Обычно используют символические выражения

Р отору, как любому вектору, можно придать геометрический смысл. Рассмотрим вращение твёрдого тела с угловой скоростью (рис. 4). Выберем ось так, чтобы она совпадала с осью вращения и была направлена по . Тогда линейная скорость точки тела будет равна ,

а слагающие её по осям координат

Используя формулу для вычисления ротора, получим:

или

Итак, в тех точках (и только в тех точках) тела, которые находятся во вращательном движении, описывая замкнутые траектории. Это и послужило основанием названия этого математического объекта - ротор (или вихрь ротора) (от латинского слова гоtо - "вращаю").

Отметим, что переход от интегрального представления (циркуляции вектора) к дифференциальному представлению (ротору) можно реализовать прямым использованием математического аппарата теории поля. В теории поля выведена формула . Используя эту формулу, можно сразу прийти к выражению .

2.3.1.2. Потенциал электростатического поля

Используя потенциальность электростатического поля, введём определение разности потенциалов: разность потенциалов между двумя точками электростатического поля равна взятой с обратным знаком работе, совершаемой полем при перемещении единичного положительного заряда из первой точки во вторую: . Если эти точки находятся на бесконечно близком расстоянии , то, , а разность потенциалов между точками 1 и 2 на конечном расстоянии или

Потенциал точки 2 определён неоднозначно, так как работа измеряет только разность потенциалов, а не абсолютные величины каждого потенциала. Выберем точку 1 так, чтобы её потенциал был равен нулю - для этого в качестве такой точки возьмём бесконечно удалённую точку , тогда . Таким образом, потенциал произвольной точки поля равен

работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность. При этих условиях потенциал точечного заряда равен , где - расстояние от заряда до рассматриваемой точки поля. Потенциал поля произвольной системы точечных зарядов равен сумме потенциалов полей каждого из этих зарядов в отдельности: , где - расстояние точки поля с потенциалом от заряда . В случае поверхностных зарядов потенциал

, а в случае объемных зарядов потенциал , где и - соответственно плотность поверхностных и объёмных зарядов, - расстояние точки поля, обладающей потенциалом , от элемента поверхности и объёма соответственно.

Формулы для потенциалов поверхностных и объёмных зарядов получены с использованием формулы для потенциала точечных зарядов. Так, в случае поверхностных зарядов заряд каждой поверхности может быть разложен на совокупность элементарных зарядов бесконечно малых элементов поверхности . Тогда, заменяя в формуле для потенциала точечных зарядов через , и переходя к интегрированию, получим формулу для потенциала поверхностных зарядов. Аналогично выводится и формула для потенциала объёмных зарядов (в этом случае роль элементарных зарядов играют заряды ).

2.3.1.3. Связь вектора и потенциала

Из формул следует, что . Это частный случай связи и . В математической теории поля показано, что в общем случае связь между и определена как (см. Гидромеханику) или

Мы знаем, что с математическими выражениями можно проводить различные математические операции, приводящие к новым выражениям, формулам, соотношениям, с помощью которых можно углублять знания, получать новые методы расчётов или возможность экспериментального подтверждения. С этой целью подвергнем формулу связи и математическим операциям, а именно: возьмём дивергенцию от обеих частей формулы: . Левая часть формулы (см. ранее). Выражение для правой части находим в справочнике:

.

Таким образом, в результате формального применения математических операций к выражению получаем дифференциальное уравнение - оно носит название уравнение Пуассона. В тех областях, где , уравнение имеет вид и носит название уравнение Лапласа. Использование этих уравнений позволяет расширить класс задач, решаемых в электростатике, однако при этом используются сложные математические операции и специальные приёмы, выходящие за рамки курса общей физики. В рамках курса общей физики эти уравнения используются в самых простых случаях, имеющих демонстрационный характер (см. далее).

2.3.1.4. Графическое изображение электростатического поля

Из изученного материала следует, что для решения задач электростатики достаточно знать физические модели объектов, их математические образы, основные уравнения и математические операции (в данном случае под термином "знать" имеется в виду "уметь пользоваться"). При этом представлять наглядные образы изучаемых объектов нет необходимости. Однако таких, которые "блаженны не видевшие и уверовавшие" (от Иоанна, 20-29) мало, большинство людей хотят видеть и часто даже ищут "видимого" там, где его нет. Чтобы создать наглядные образы электрических явлений, можно использовать графическое представление силовых линий и эквипотенциальные поверхности - не образы свободных ассоциаций, а геометрически образы, строго описываемые аналитически.

По определению, электрической силовой линией называется линия, касательные к которой в каждой её точке совпадают по направлению с вектором напряжённости поля в той же точке. Чтобы построить такую линию, надо помнить, что через каждую точку поля можно провести только одну линию и что в каждой точке поля вектор имеет только одно направление. Допустим, что мы знаем значение в каждой точке поля. Возьмём точку и зададим направление в этой точке, отложим из точки произвольно малый отрезок в направлении и придём в точку где вектор может иметь другое направление,

зададим новое направление и отложим в этом направлении отрезок, придя в точку и т.д.

Полученная таким образом ломаная в пределе, т.е. при бесконечном уменьшении составляющих её отрезков, совпадает с искомой силовой линией. Однако проблему можно решить и чисто математически. Так как элемент длины силовой линии параллелен вектору , то дифференциальное уравнение имеет вид .

Решение этих уравнений даёт аналитическое выражение для силовой линии, которое можно построить и именно эта построенная фигура и есть наглядный образ силовой линии.

Нанести на чертёж все силовые линии невозможно, поэтому обычно силовые линии чертятся с таким расчётом, чтобы в любом участке поля число линий, пересекающих перпендикулярную к ним площадку единичной поверхности было пропорционально величине напряжённости поля на этой площадке. В этом случае густота расположения силовых линий может служить мерой напряжённости поля. При этом число линий, пересекающих произвольный элемент поверхности , будет пропорционально произведению и проекции элемента на плоскость, перпендикулярную к . Это произведение равно потоку вектора через элемент . Поэтому, вместо термина "поток вектора через данную поверхность", употребляют иногда выражение "число силовых линий, пересекающих данную поверхность". Это число считается положительным или отрицательным в зависимости от того, пересекают ли силовые линии данную поверхность в направлении положительной (внешней) или отрицательной (внутренней) нормали к ней.

При указанном способе изображения силовых линий общее число этих линий, пересекающих любую замкнутую поверхность , пропорционально алгебраической сумме зарядов внутри неё, так как согласно теореме Гаусса сумма этих зарядов пропорциональна потоку векторов через поверхность . В частности, число силовых линий, пересекающих любую замкнутую поверхность без зарядов равно нулю. Отсюда следует, что в свободных от зарядов участках поля силовые линии не могут начинаться и не могут оканчиваться. С другой стороны, они не могут быть замкнутыми, ибо тогда . Таким образом, в электростатическом поле линии сил либо начинаются и оканчиваются на электрических зарядах, либо одним концом уходят в бесконечность.

Электростатическое поле обладает и потенциалом в каждой точке. Если взять точки поля, обладающие одним потенциалом, то совокупность этих точек, вообще говоря, образует поверхность, которая называется эквипотенциальной. Аналитически эта поверхность описывается уравнением . Если заряд движется по эквипотенциальной поверхности, то он не совершает работы, а значит, в каждой точке эквипотенциальной поверхности вектор направлен перпендикулярно к ней. Поэтому, зная картину силовых линий, можно, например, в плоскости построить картину эквипотенциальных поверхностей (вернее, их проекции на плоскость). При этом каждой поверхности можно задать соответствующее значение потенциалов. В этом случае получаем наглядное изображение силовых и энергетических характеристик электростатического поля - распределение вектора и потенциала (рис. 5).

Характеристики

Список файлов лекций