1 (1115619), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Следуя своему методу, Максвелл постулирует, что поток жидкости в трубках своей скоростью представляет напряжённость электрической силы, а своим направлением - её направление. Стенки трубок при этом сводятся к математическим поверхностям, которые определяют направление движения жидкости, непрерывно заполняющей всё пространство. В результате математический объект описания жидкости - поток вектора скорости в качестве аналога приводит к математическому объекту описания электрического явления - потоку вектора напряжённости электрического поля .

Графическое изображение потока скорости жидкости (реальное или математическое) становится аналоговым изображением потока напряжённости электрического поля, а формула служит средством математического описания электрических явлений и получения с её помощью новых формул и следствий, которые подлежат измерению. При этом природу самого поля (физическая она или математическая) знать нет необходимости. Так, используя гидромеханические аналоги, Максвелл построил теорию электромагнитных явлений, которую рассматривал как сугубо математическую. В отношении электростатических и магнитостатических явлений она и сегодня остаётся только математической, что касается явлений, связанных с электромагнитным полем, то были придуманы эксперименты, которые показали, что электромагнитное поле - это физическая реальность, так называемая полевая форма материи (см. далее).

Итак, в электростатике электрическое поле является полем математическим. Сегодня, когда с одной стороны, хорошо развита математическая теория поля, а с другой стороны, к любому явлению, независимо от его природы, можно применить математическое описание (важно выполнение математических условий) проблему описания взаимодействия электрических зарядов можно решить, не прибегая ни к каким аналогиям.

Итак, согласно математической модели поля, должна существовать область пространства, в каждой точке которой существует значение скалярной или векторной функции . Возьмём заряд , закрепим его в какой-либо точке и будем помещать в различные точки пространства вокруг заряда заряд . Тогда в любой точке (в пределах окружающей заряд области) на заряд будет действовать сила (по закону Кулона) - т.е. область вокруг заряда может быть описана в рамках математической теории поля. Выделим параметры, относящиеся к заряду , для этого разделим левую и правую часть на величину заряда и отношение обозначим символом . . Назовём символ напряженностью электрического поля. Из отношений следует, что . Математические формулы можно интерпретировать так: заряд создаёт вокруг себя электрическое поле, характеризующееся напряжённостью , а заряд взаимодействует с электрическим полем заряда , что приводит к силе взаимодействия . Таким образом, в электростатике электростатическое поле есть способ описания кулоновского взаимодействия электрических зарядов с помощью математической теории поля.

Перейдём к рассмотрению электростатики в рамках математической теории поля. Итак, при рассмотрении кулоновского взаимодействия в полевом представлении была введена величина - "напряжённость электрического поля", определённая как отношение силы, действующей на заряд со стороны заряда к величине заряда : . В случае нескольких зарядов напряжённость поля в данной точке равна векторной сумме напряжённостей поля каждого из этих зарядов в отдельности (принцип суперпозиций напряжённостей). Следует помнить, что напряжённость (или, как её ещё называют, сила поля) не есть сила, которая приводит в движение заряженные тела (пондеромоторная сила). Сила, которая приводит тело в движение, равна произведению напряжённости на величину заряда тела: .

Можно экспериментально измерить силу взаимодействия электрических зарядов в полевом представлении: для этого надо в каждую область пространства вокруг заданной системы зарядов поместить так называемый пробный заряд (обычно положительный) , измерить силу, действующую на заряд в этой точке и разделив получить значение в этой точке.

Ещё раз отметим, что в данном случае напряжённость электрического поля - односимвольная запись отношения , а не доказательство существования физического электрического поля. Однако, определяя экспериментально, мы пользуемся измерениями свойств реальных тел, и здесь надо учитывать следующее: измеряя свойства системы зарядов с помощью пробного заряда, мы увеличиваем число зарядов на единицу, так как пробный заряд по сути вносится в систему зарядов. Ввод дополнительного заряда в систему реальных заряженных тел может привести к перераспределению зарядов на заряженных телах, сдвигу этих зарядов и т.п.

Чтобы эти эффекты были минимальны, заряд пробного тела должен быть по возможности как можно меньше, т.е. такой, чтобы его внесение не изменяло электрических свойств системы в пределах точности измерений. При использовании математической теории поля рассматривают полевые инварианты: поток, циркуляция, градиент (см. ранее).

Начнём рассмотрение с потока напряжённости электрического поля. По определению, элементарный поток вектора напряжённости электрического поля , где - модуль вектора напряженности электрического поля, - модуль элемента поверхности, - угол между направлением вектора и нормалью к элементу поверхности. , - - нормальная составляющая вектора . Поток вектора через произвольную поверхность . Поместим точечный заряд в центр сферической поверхности радиуса и вычислим поток вектора через эту поверхность .

Итак, в этом случае поток через сферическую поверхность пропорционален величине заряда , находящегося в центре этой поверхности. Мы рассмотрели частный случай теоремы Гаусса-Остроградского, которая утверждает, что в произвольном электростатическом поле (в вакууме) поток вектора через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов, находящихся внутри этой поверхности, делённой на : . В качестве зарядов могут быть тела любой формы с любым распределением заряда. Применение теоремы Гаусса-Остроградского существенно упрощает ряд задач электростатики (см. далее).

Объём замкнутой поверхности в теореме Гаусса произвольный. Между тем, при неравномерном распределении заряда, или поля, чтобы получить точную информацию о поле вектора необходимо рассматривать как можно меньшие объёмы замкнутых поверхностей.

Возьмём тело объёмом , в котором имеется какое-либо распределение объёмной плотности заряда . Полный заряд тела . Разобьём тело на такие малые объёмы , в пределах которых плотность заряда постоянна. Каждый такой объём будет содержать количество заряда , причём . Применив к объёму теорему Гаусса-Остроградского, получим

или возьмем предел, тогда

, так как , то справа имеем , а чтобы узнать, что имеет место слева, надо заглянуть в справочник по математике. Заглянув, узнаем, что этот предел носит название "дивергенция вектора " и обозначается как . Выражение для дивергенции вектора при использовании декартовой системы координат, имеет вид:

, где - проекции вектора вдоль осей , а - частные производные проекций по соответствующим осям.

Таким образом - дифференциальное уравнение, которое является одним из основных уравнений электростатики. Места, в которых , называют истоками поля, а сама величина называется силой истоков поля. Такое название (истоки поля) дивергенция получила из-за того, что в гидродинамике дивергенция скорости жидкости имеет прямое физическое значение равна рассчитанному на единицу объёма количества жидкости, вытекающей из элемента , окружающего рассматриваемую точку. Название "дивергенция" (по-латыни означает "расходимость") избрано для этой величины потому, что жидкость растекается или расходится только из тех точек или участков занимаемого пространства, в которых . Очевидно, что в этих точках должны быть расположены источники жидкости. По аналогии, можно говорить, что в точках, где расположены источники поля.

Для использования данного уравнения необходимо, чтобы в тех точках, где оно применяется, вектор был дифференцируемый, т.е. не имел разрывов. Поэтому для тех точек поля, где изменяется скачком, уравнение неприменимо. На поверхностях разрыва справедлива формула , ( - поверхностная плотность заряда). Эту формулу иногда записывают символически в виде - .

Заметим, что переход от интегрального представления теоремы Гаусса к её дифференциальному представлению можно реализовать прямым использованием аппарата математической теории поля. Там есть формула для произвольного вектора

слева - поток вектора через замкнутую поверхность, а справа - интеграл по объёму от дивергенции вектора . Применим эту формулу для теоремы Гаусса:

.

Поскольку объём произвольный, то равенство интегралов возможно при равенстве подынтегральных выражений, т.е. .

2.3.1.1. Работа электрических сил

П усть заряд перемещается из точки 1 в точку 2 в поле заряда . Поскольку перемещение заряда происходит под действием силы, то совершается работа. Величина этой работы , где - элементарная работа на -участке и (рис 1.). Как видно из рисунка и поэтому . Переводя в математическую модель, получим

.

Из выражения для работы следует, что

1. Работа кулоновских сил не зависит от формы пути, а определяется только положением начальной и конечной точек, т.е. кулоновские силы – силы потенциальные.

2 . Если ввести в рассмотрение вектор напряжённости электрического поля , то выражение для работы можно записать как , где - тангенциальная составляющая вектора и можно утверждать, что электростатическое поле является полем потенциальным - работа, произведённая электростатическим полем, не зависит от формы пути.

Для единичного положительного заряда работа по замкнутому контуру равна нулю: , а сама величина совпадает с выражением циркуляции вектора (рис. 2). Из этого условия следует непрерывность тангенциальных слагающих напряжённости поля .

Характеристики

Список файлов лекций