Н.И. Чернова - Лекции по матстату (1115348), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Зачем симметричные квантили? Почему не брать границы для η вида P(τε/3 < η < τ1−2ε/3 ) = 1 − ε?Изобразить эти квантили на графике плотности. Как изменилось расстояние между квантилями? Какизменится длина ДИ?2. Из двух ДИ одного уровня доверия и разной длины какой следует предпочесть?3. Какова середина полученного в примере 21 ДИ? Какова его длина? Что происходит с границами ДИпри n → ∞?Пример 22. Пусть X1 , .

. . , Xn — выборка объема n из показательного распределения Eα , где α > 0.Требуется построить асимптотический ДИ для параметра α уровня доверия 1 − ε.Вспомним ЦПТ:1√ X−α√Xi − nEα X1√= n(αX − 1) ⇒ η ⊂= N0,1 .= n1nDα X1αПо определению слабой сходимости, при n → ∞√Pα −c < n(αX − 1) < c → P(−c < η < c) = 1 − ε при c = τ1−ε/2 .Pn1То есть√n(αX − 1) < τ1−ε/2 =τ1−ε/2τ1−ε/211= Pα− √<α<+ √→ 1 − ε при n → ∞.XnXXnXτ1−ε/2 1τ1−ε/21Итак, искомый асимптотический ДИ уровня доверия 1 − ε имеет вид− √,+ √.XnX XnXPα −τ1−ε/2 <33Можно сформулировать общий принцип построения точных ДИ:~ θ), имеющую известное (т.е.

не зависящее от параметра θ) распределение G:1. Найти функцию G(X,~~ θ) была обратима по θ при любом фиксированном X.~G(X, θ) ⊂= G. Необходимо, чтобы G(X,2. Пусть g1 и g2 — квантили распределения G, так что~ θ) < g2 ).1 − ε = P(g1 < G(X,~ θ) < g2 относительно θ (если это возможно), получим точный ДИ.3. Разрешив неравенство g1 < G(X,Замечание 17. Часто (но не всегда) в качестве g1 и g2 берут квантили уровня ε/2 и 1 − ε/2 распределения G.Совершенно аналогично выглядит общий принцип построения асимптотических ДИ:~ θ), слабо сходящуюся к известному (т.е. не зависящему от параметра θ) рас1. Найти функцию G(X,~ θ) ⇒ η ⊂~ θ) была обратима по θ при любомпределению G: G(X,= G.

Необходимо, чтобы G(X,~фиксированном X.2. Пусть g1 и g2 — квантили распределения G, так что~ θ) < g2 ) → P(g1 < η < g2 ) = 1 − εP(g1 < G(X,~ θ) < g2 относительно θ, получим асимптотический ДИ.3. Разрешив неравенство g1 < G(X,Пример 23. Попробуем, пользуясь приведенной выше схемой, построить точный доверительный интервал для параметра θ равномерного на [0, θ] распределения (см. [1], задача 8.8, с очепяткой).Xi⊂= U0,1 . Тогда величинаМы знаем, что если Xi ⊂= U0,θ , тоθX(n)X1Xnmax {X1 , . .

. , Xn }η = max,...,==θθθθраспределена так же, как максимум из n независимых равномерно распределенных на [0, 1] случайныхвеличин, то есть имеет функцию распределения( 0,y<0Fη (y) = P(η < y) =y n , y ∈ [0, 1]1,y>1Возьмем g2 = 1. Найдем g1 такое, что 1 − ε = P(g1 < η < 1).P(g1 < η < 1) = Fη (1) − Fη (g1 ) = 1 − Fη (g1 ) = 1 − g1n = 1 − εТогда√1 − ε = P( n ε < η < 1) = P√nε<|=⇒g1 =√nε.X(n)X(n)< 1 = P X(n) < θ < √.nθεУпражнение. Можно ли, пользуясь схемой примера 21, построить точный ДИ для σ при известномa, если разрешить неравенство −c < η < c в (10) относительно σ? (Можно предположить, например, чтоX − a > 0). Чем плох интервал бесконечной длины? Вопрос на засыпку: а получился ли у Вас интервалбесконечной длины?√ X −anне годится для построения точного ДИ для σ приσизвестном a, а тем более при неизвестном a.

В следующей главе мы займемся поиском подходящих функций. Следующий пример (как и пример refex22) показывает, что ЦПТ дает универсальный вид функции Gдля построения асимптотических ДИ.Из упражнения видно, что функция G вида34Пример 24. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объема n из распределения Пуассона Πλ , где λ > 0. Требуется построить асимптотический ДИ для параметра λ уровня доверия 1 − ε.Вспомним ЦПТ:Pn√ X −λ1 Xi − nEλ X1√⇒ η ⊂= N0,1 .= n √nDλ X1λПо определению слабой сходимости, при n → ∞√ X −λ< c → P(−c < η < c) = 1 − εPλ −c < n √λпри c = τ1−ε/2 .Но разрешить неравенство под знаком вероятности относительноλ не просто — получается квадрат√√ное неравенство из-за корня в знаменателе. Заменим λ на X. Не испортится ли сходимость?pПо свойствам слабой сходимости, если ξn −→ 1 и ηn ⇒ η, то rξn ηn ⇒ η.

Воспользуемся этим.λ ppОценка λ∗ = X состоятельна|=⇒ λ −→1|=⇒−→ 1. ТогдаXXrλ √ X −λ √ X −λ⇒ η ⊂= N0,1 .· n √= n √XλX√ X −λ< τ1−ε/2 → P(−τ1−ε/2 < η < τ1−ε/2 ) = 1 − ε.Pλ −τ1−ε/2 < n √XРазрешая неравенство под знаком вероятности относительно λ, получим√ !√τ1−ε/2 Xτ1−ε/2 X√√→ 1 − ε при n → ∞.<λ<X+Pλ X −nnИтак, искомый асимптотический ДИ уровня доверия 1 − ε имеет вид√ !√τ1−ε/2 Xτ1−ε/2 X√√.,X +X−nnВместо ЦПТ для построения асимптотических ДИ можно использовать асимптотически нормальныеоценки (что по сути — та же ЦПТ):Если θ∗ — АНО параметра θ с коэффициентом σ 2 (θ), то~ θ) =G(X,√ θ∗ − θnσ(θ)⇒ η ⊂= N0,1 .Замечание 18.

Если σ(θ) в знаменателе мешает, то (как в примере 24) ее можно заменить состоятельной оценкой σ(θ∗ ). Достаточно, чтобы функция σ(θ) была непрерывной. Требуется лишь ответить:почему θ∗ — состоятельная оценка для θ?5.2 Вопросы и упражнения1. Задачник [1], т 8.2, 8.7 (a) — по ЦПТ.2.

Задачник [1], т 8.7 (б) (доказать, чтопримеру 10).n(X(n) − θ)θ⇒ η, где −η ⊂= E1 , см.также упражнение к3. Задачник [1], т 8.9. См. задачу 8.8 и пример 23. В п. (а) искать ДИ вида X(1) − δ < θ < X(1) , в п. (б)искать ДИ вида X(1) · δ < θ < X(1) .4. Объяснить, как додуматься до вида ДИ в предыдущей задаче. Исходить из вида распределений.356РАСПРЕДЕЛЕНИЯ , СВЯЗАННЫЕ С НОРМАЛЬНЫМВ предыдущей лекции мы построили (в числе других) точный доверительный интервал для параметра aнормального распределения при известном σ 2 .

Остались нерешенными следующие проблемы:2) построить точный ДИ для σ при известном a,3) построить точный ДИ для a при неизвестном σ,4) построить точный ДИ для σ при неизвестном a.Как мы уже видели, для решения этих задач требуется отыскать функции от выборки и параметров,распределение которых было бы известно. При этом в задаче (3) искомая функция не должна зависеть отσ, а в (4) — от a.Такой особый интерес к нормальному распределению связан, разумеется, с центральной предельнойтеоремой — по большому счету все в этом мире нормально (или близко к тому).Займемся поэтому распределениями, связанными с нормальным распределением, их свойствами исвойствами выборок из нормального распределения.6.1Гамма-распределение и его свойстваОпределение 16.

Случайная величина ξ имеет распределение Γα,λ , где α > 0, λ > 0, если ξ имеетплотность распределения αλ λ−1 −αye, y>0fα,λ (y) = Γ(λ) y0,y60Здесь (см. справочник, «гамма-функция»)Γ(λ) =Z∞tλ−1 e−t dt = (λ − 1)Γ(λ − 1), Γ(k) = (k − 1)!, Γ(1/2) =√π, Γ(1) = 1.0Найдем характеристическую функцию ξ ⊂= Γα,λ .itξϕξ (t) = Ee=Z∞ityeαλ λ−1 −αyαλyedy =Γ(λ)Γ(λ)0αλ1=·Γ(λ) (α − it)λZ∞y λ−1 e−(α−it)y dy =0Z∞((α − it)y)λ−1 e−(α−it)y d(α − it)y =0|{zαλ=(α − it)λ1−itα−λ.}Γ(λ)Лемма 6. Пусть ξ1 , ξ2 , . .

. , ξn независимы и ξi ⊂= Γα,λi , i = 1, . . . , n. ТогдаSn =nXi=1ξi ⊂= Γα,Pn λi .1Доказательство свойства устойчивости по суммированию (леммы 6).−λi − Pn λinn YY1ititϕSn (t) =ϕξi (t) =1−= 1−,ααi=1i=1что и требовалось доказать.Следствие 2. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . , ξPn независимы, одинаково распределены и имеют показательnное распределение Eα . Тогда Sn = i=1 ξi ⊂= Γα,n .36Доказательство.

Достаточно заметить, что Eα = Γα,1 .Лемма 7. Если ξ ⊂= N0,1 , то ξ 2 ⊂= Γ1/2,1/2 .Доказательство. По определению, плотность величины ξ 2 связана с ее функцией распределенияравенством:Zy2P(ξ < y) =fξ2 (z) dz,−∞причем fξ2 (z) = 0 для z < 0 (почему?).

При y > 0:√√√P(ξ 2 < y) = P(− y < ξ < y) = 2Zy2− t21√ e2π0=Zy1√ z −1/2 e−z/2 dz =2π0Zy01замена t2 = z, dt = √ dz,2 zdt = границы:√t = y 7→ z = y, t = 0 7→ z = 0(1/2)1/2 1/2−1 −z/2zedz.Γ(1/2)|{z}fξ2 (z)Плотность под интегралом есть плотность распределения Γ1/2,1/2 .Следствие 3. Если ξ1 , . . . , ξk независимы и имеют стандартное нормальное распределение,тоχ2k = ξ12 + . . . + ξk2 ⊂= Γ1/2,k/2Доказательство. Лемма 6 + лемма 76.2|=⇒следствие 3.Распределение «хи-квадрат» и его свойстваОпределение 17. Распределение Γ1/2,k/2 суммы k квадратов независимых стандартных нормальныхслучайных величин называют распределением «хи-квадрат» с k степенями свободы и обозначают Hk(или χ2k ).Для удобства мы часто будем обозначать через χ2k случайную величину с распределением Hk .Рис.

6: Плотности распределения Hk при разных k.Свойства Hk :1.Если φ ⊂= Hk и ψ ⊂= Hm — независимы, то φ + ψ ⊂= Hk+m .Доказательство. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . независимы и имеют стандартное нормальное распределение.22Тогда φ распределено как ξ12 + . . . + ξk2 , ψ распределено как ξk+1+ . . . + ξk+m, а их сумма — как22ξ1 + . . .

+ ξk+m ⊂= Hk+m .372.Если χ2k ⊂= Hk , то Eχ2k = k, Dχ2k = 2k.Доказательство. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . независимы и имеют стандартное нормальное распределение.Тогда Eξ12 = 1, Dξ12 = Eξ14 − (Eξ12 )2 = 3 − 1 = 2 (см. пример 19).Eχ2k = E(ξ12 + . . . + ξk2 ) = k,Dχ2k = D(ξ12 + . . . + ξk2 ) = 2k.Следствие 4. Если ξ1 , . . .

, ξk независимы и имеют распределение Na,σ2 , тоχ2k=2k Xξi − aσi=1⊂= HkУпражнение. Доказать следствие 4.6.3Распределение Стью́дента и его свойстваОпределение 18. Пусть ξ0 , ξ1 , . . . , ξk независимы и имеют стандартное нормальное распределение.Распределение случайной величиныtk = rξ0ξ0=r1 2χ2k(ξ1 + . . . + ξk2 )kkназывают распределением Стью́дента с k степенями свободы и обозначают Tk .Рис. 7: Плотности распределения Tk и N0,1 .Свойства Tk :1.Если tk ⊂= Tk , то и −tk ⊂= Tk .Упражнение. Доказать.2.Если tk ⊂= Tk , то tk⇒ N0,1 при k → ∞.Доказательство. Пусть ξ0 , ξ1 , .

. . , ξk независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Тогда Eξ12 = 1, и по ЗБЧχ2kξ 2 + . . . + ξk2 p= 1−→ 1 при k → ∞.kkОстается вспомнить свойства сходимости по распределению (какие?).Отметим еще, что и распределение Hk , и распределение Стьюдента табулированы, так что если вкаких-то доверительных интервалах появятся квантили этих распределений (вспомнить, к чему это!), томы найдем их по таблице.Упражнение.

Характеристики

Список файлов лекций