Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров - Анализ данных на компьютере (1115311), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Наконец в поле имени АРСС моделиуказываем имя файла traffic.mod, в котором была сохранена подобраннаямодель для ряда первых разностей.Рис. 13.43. Результаты процедуры прогнозирования АРСС моделиРис. 13.44. Сравнение прогноза с реальными данными за две неделиЗначение прогноза и его доверительные границы могут быть со"хранены в численном виде в отдельных переменных и просмотрены вэлектронной таблице пакета.Рис. 13.42. Диалоговое окно процедуры прогнозирования АРСС моделиРезультат работы процедуры в графическом виде показан нарис. 13.43.
Он показывает, что ожидается рост загрузки канала. Дове"рительные интервалы прогноза довольно быстро расширяются, так какдисперсия белого шума в подобранной модели (см. рис. 13.43) доволь"но велика. На рис. 13.44 приведено сравнение полученного прогноза(пунктирная линия с отмеченными точками прогноза) с реальными дан"ными (сплошная линия) за две последующие недели. В целом подобноекачество прогноза для телекоммуникационных каналов можно считатьудовлетворительным.423Автоматизация расчетов. Разобранные примеры показывают, чтоанализ и прогнозирование поведения временного ряда состоит из не"скольких этапов, включающих выполнение различных статистическихи сервисных процедур.
В пакете Эвриста нет необходимости повторятьэти шаги каждый раз после пополнения ряда исходных данных. Прове"денное исследование можно оформить в виде «Статистического проек"та», в котором сохраняется последовательность всех необходимых дляанализа процедур. Сформированный «Статистический проект» затем мо"жет быть выполнен полностью или частично для нового (пополненного)временного ряда. При этом будут построены все необходимые графи"ки, выполнены и оформлены результаты расчетов, сохранены подобран"ные модели рядов и осуществлен прогноз. Процедура «Статистическийпроект» особенно удобна для анализа экономических данных, которыерегулярно пополняются текущими наблюдениями.42414С помощью соотношения (14.1) можно задать значение процессаX(t) в любой момент времени t > t0 через значения процесса εt , еслиизвестна величина X(t0 ) в момент t0 .В дальнейшем мы будем рассматривать только стационарные процес"сы авторегрессии.
Это условие накладывает определенные ограниченияна параметр φ. Они скоро выяснятся.>…… …… В этой главе мы более подробно рассмотрим некоторые уже упомя"нутые ранее математические модели для случайных компонент времен"ных рядов. Это процессы авторегрессии, скользящего среднего и их ком"бинации. Эти модели называют линейными, так как определяющие ихсоотношения для элементов временного ряда и случайных ошибок выра"жаются с помощью линейных операций над ними: сложения"вычитанияи умножения"деления на действительные числа.В первой части этой главы мы подробно рассмотрим процессы ав"торегрессии. Затем, уже более коротко, мы расскажем о процессахскользящего среднего.
И, наконец, бегло поговорим об их комбинацияхи обобщениях.Числовые характеристики стационарного процесса авторегрессии.Пустьm = M X(t),bk = cov(X(t), X(t + k)),Взяв математическое ожидание от обеих частей (14.1), получим, чтоm = φ · m. Отсюда следует, что m = 0, если φ = 1. Взяв дисперсию отобеих частей (14.1), получим, что DX(t) = φ2 · DX(t − 1) + σ 2 .
Отсюдаследует (учитывая, что DX(t) = DX(t − 1)), что|φ| < 1,b0 =Рассмотрим процесс X(t), значения которого в момент времени tформируется как комбинация значений этого процесса в предшествую"щий момент t − 1 и некоторой случайной составляющей εt , независимойот значения X(t − 1).Процессы такого типа могут описывать как экономические, так итехнологические временные ряды.
Мы предположим, что εt — этопроцесс белого шума, т.е. что в разные моменты t случайные величиныεt независимы и одинаково распределены, причем M εt = 0, Dεt = σ 2 .Часто дополнительно предполагают, что εt распределены по нормаль"ному закону.Определение. Случайный процесс X(t) называют процессом авторегрессии первого порядка (коротко AR(1)), если для него выполняется соотношениеX(t) = φX(t − 1) + εt(14.1)bk = M X(t)X(t + k).Похожим приемом можно вычислить bk при k = 1, 2, . .
. . Чтобывычислить b1 , умножим (14.1) на X(t − 1) и возьмем математическоеожидание. Получаем, что M X(t)X(t−1) = φ·M X(t−1)2 +M εt X(t−1).Так как X(t − 1) и εt независимы, то M εt X(t − 1) = M εt · M X(t − 1) = 0.Поэтому b1 = φDX(t − 1), т.е.b1 = φσ2.1 − φ2Для вычисления b2 заметим, что, согласно (14.1) X(t − 1) = φX(t −2)+εt−1 , а потому X(t) = φ·(φX(t−2)+εt−1)+εt . Последнее равенствоумножим на X(t − 2) и возьмем математическое ожидание. Вычисляя,как выше, найдем, чтоb2 = φ2 · DX(t − 2) = φ2σ2.1 − φ2Аналогичным образом вычисляем b3 (здесь соотношение (14.1) надоσ2применить дважды).
Получаем, что b3 = φ3 1−φДействуя таким2.образом и далее, найдем для любого k, чтоbk = φkгде φ — некоторая константа.425σ2= DX(t)1 − φ2Таким образом, для стационарного процесса AR(1) получаем, что|φ| < 1 и для любых t и kM X(t) ≡ 0,14.1. : AR(1)rk = corr(X(t), X(t + k)).426σ2.1 − φ2Из этих соотношений следует, чтоrk = φk(14.2)Таким образом, автокорреляционная функция AR(1) процессов экспо"ненциально убывает с ростом лага k.На рис. 14.1 приведены графики AR(1) процессов с дисперси"ей белого шума σ 2 = 1 и различными значениями коэффициентаφ = 0.75; 0.25; −0.25; −0.75 (каждый график построен по ста значе"ниям ряда), а также вид выборочных автокорреляционных и частныхавтокорреляционных функций. (Определение частной автокорреляци"онной функции будет дано чуть ниже.)Обратим внимание, что чем ближе значение φ к единице, темболее гладко ведет себя траектория процесса AR(1) по сравнению страекторией белого шума.
И наоборот, чем ближе значение φ к минусединице, тем более изломанно (пилообразно) ведет себя траектория.Стационарный процесс авторегрессии первого порядка с ненулевымсредним µ определяется соотношением:X(t) − µ = φ · (X(t − 1) − µ) + εt .(14.3)Здесь M X(t) = µ.Оценивание параметров процесса авторегрессии (14.3) по наблю"дениям траектории x1 , x2 , . . .
, xn .Учитывая стационарность процесса X(t), в качествеоценки µ можноnвзять среднее по траектории: µ̂ = x, где x = n1 t=1 xt . Еще ранее дляφ мы получили, чтоφ = r1Заменяя r1 его оценкой по траектории (11.17), получаем для φ оценку:n−1(xt − x)(xt+1 − x)φ̂ = r 1 = t=1n.2t=1 (xt − x)2σНаконец, уже известное соотношение DX(t) = 1−φпозволяет22оценить и σ . Для этого можно воспользоваться стандартной оценкойдисперсии DX(t) стационарного процесса:1(xi − x)2 .(n − 1) i=1nОтсюдаРис.
14.1. Графики AR(1) процессов и их выборочных автокорреляционныхи частных автокорреляционных функций для различных значенийкоэффициента φ. а) график исходного ряда; б) график выборочнойавтокорреляционной функции; в) график частной автокорреляционной функции1(xi − x)2 .(n − 1) i=1nσ̂ 2 = (1 − r 21 )42742814.2. : AR(2)Для автокорреляционной функции rk =bkb0эти равенства даютr1 = φ1 + φ2 r1Текущее значение процесса AR(2) в момент t формируется каклинейная комбинация его значений в предыдущие моменты (t − 1) и(t − 2), и независимой от них случайной величины εt . Как и ранее,процесс εt будем считать белым шумом.
Процессы AR(2) обладаютбольшей «памятью», чем процессы AR(1).Определение. Случайный процесс X(t) называют процессом авторегрессии второго порядка (коротко AR(2)), если для X(t) выполняется соотношение(14.6)r2 = φ1 r1 + φ2Соотношения (14.6) называют уравнениями ЮлаУолкера. Онисвязывают параметры процесса AR(2) со значениями его автокорреля"ционной функции:φ1 =r1 − r1 r2,1 − r12φ2 =r2 − r12.1 − r12(14.7)(14.4)Аналогичным путем для произвольного целого k получаем соот"ношение:rk = φ1 rk−1 + φ2 rk−2 .(14.8)С помощью соотношения (14.4) значения X(t) можно определить влюбой момент t > t0 через посредство последовательности εt и значенийX(t) в моменты t0 и t0 − 1.Рассмотрим это соотношение как уравнение, и найдем все последо"вательности, скажем uk , которые ему удовлетворяют.
Решения урав"нения (14.8) связаны с корнями квадратного уравнения (его называютхарактеристическим)(14.9)λ2 = φ1 · λ + φ2 .Условие стационарности. Так же, как это было для AR(1), изусловия стационарности X(t) вытекает, что M X(t) = 0.Условие стационарности накладывает также определенные ограни"чения на параметры φ1 , φ2 . Ниже будет показано, что для стационар"ного процесса AR(2):Пусть λ1 , λ2 — корни (14.9), которые сейчас предположим раз"личными.
Случай λ1 = λ2 рассмотрим позже. Легко проверить, чтопоследовательности uk = λk1 , uk = λk2 удовлетворяют (14.8). Более того,нетрудно доказать, что любое решение (14.8) является их линейнойкомбинацией, т.е. любое решение (14.8) имеет вид:X(t) = φ1 X(t − 1) + φ2 X(t − 2) + εtгде φ1 и φ2 — некоторые константы.φ1 + φ2 < 1,φ1 − φ2 > −1,φ2 > −1.uk = a1 λk1 + a2 λk2 ,(14.5)Ограничения (14.5) задают на плоскости (φ1 , φ2 ) треугольную область.Верно и обратное: если точка с координатами (φ1 , φ2 ) попадает внутрьэтого треугольника, то с помощью (14.4) можно задать стационарныйпроцесс AR(2) с параметрами (φ1 , φ2 ).Числовые характеристики и их оценки. Уравнения Юла?Уолкера.
Пусть bk = cov(X(t), X(t − k)). Для стационарного про"цесса AR(2) с нулевым средним bk = M X(t)X(t − k) для любого t. Сиспользованием (14.4) для b1 выводим соотношенияb1 = M X(t)X(t − 1) = M X(t − 1) · (φ1 X(t − 1) + φ2 X(t − 2) + εt ) == φ1 b0 + φ2 b1Вычисляя cov(X(t), X(t − 2)), таким же образом получим, чтогде a1 , a2 — произвольные числа.Теперь рассмотрим случай, когда уравнение (14.9) имеет кратныйкорень λ = λ1 = λ2 . Легко проверить, что в этом случае линейно"независимыми решениями (14.8) служат последовательности uk = λk иuk = kλk−1 . Поэтому общее решение (14.8) в случае кратного корня(14.9) имеет видuk = a1 λk + a2 kλk−1 .(14.11)Заметим, что последовательности (14.10) и (14.11) неограниченновозрастают с ростом k, если хотя бы одно из чисел |λ1 |, |λ2 | превосходит1.
Поскольку rk — коэффициент корреляции, и не может превосходитьпо модулю 1, необходимо, чтобы |λ1 | 1, |λ2 | 1. Более аккуратныйанализ показывает, что если X(t) — стационарная последовательность,не являющаяся постоянной, то|λ1 | < 1,b2 = φ1 b1 + φ2 b0 .429(14.10)430|λ2 | < 1.(14.12)Последнее условие — не только необходимое следствие стационарно"сти X(t), но и достаточное: если выполнено (14.12), то существуетстационарная последовательность X(t), удовлетворяющая (14.8).Формулы (14.10), (14.11) указывают общее решение уравнения(14.8). Чтобы полностью задать автокорреляционную функцию rk ста"ционарного процесса AR(2), надо еще правильно подобрать значениянеопределенных коэффициентов a1 , a2 .Начнем со случая, когда корни λ1 , λ2 — действительные числа.В этом случае надо взять такие действительные числа a1 , a2 , чтобывыполнялись соотношения (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
