Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров - Анализ данных на компьютере (1115311), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Ясно, что конечный результат можно записать какz = (1 − B)2 u.Таким же образом переход к разностям произвольного порядка rможно записать как (1 − B)r u.В главе 12 мы упоминали о том, что для временных рядов переход отнаблюдений к разностям первого или более высокого порядков иногдапрактикуют, чтобы удалить тренд.Перечисленные выше операторы иногда применяют одновременнодля выражения более сложных моделей. Таковы, например, моделиARIMA(p, r, q) (сокращение от английского названия autoregressionintegrated moving average) порядков p, r, q.
Определяющее эти процессысоотношение таково:vt = a0 ut + a1 ut−1 + a2 ut−2 + · · · + ap ut−p .P (B)(1 − B)r X = Q(B)ε.С помощью оператора B и многочленов от B процессы AR, MAи ARMA можно определить короткими и выразительными формула"ми. Пусть ε = (. . . , ε−2 , ε−1 , ε0 , ε1 , . . . ) — процесс белого шума,X = (. . . , X(−2), X(−1), X(0), X(1), . . . ) — один из упомянутых про"цессов. Тогда определяющее AR(p) соотношение (14.17) можно пред"ставить в видеМногочлены P (B) степени p и Q(B) степени q были введены выше.Если случайный процесс X, удовлетворяющий (14.31), стационарен,то корни характеристического многочленаP (B)X = ε,где P (B) = 1 − φ1 B − φ2 B − · · · − φp B .2pλp − a1 λp−1 − · · · − ap−1 λ − ap = 0по абсолютному значению не превосходят 1.
И обратно: при этомусловии существует стационарное решение для (14.31).Соотношение (14.25), определяющее процесс скользящего среднегоMA(q), теперь выглядит такX = Q(B)ε,где Q(B) = 1 + θ1 B + · · · + θq B q .Наконец, для процесса ARMA(p, q) определяющее соотношение(14.30) естьP (B)X = Q(B)ε.Оператор B позволяет коротко выражать и некоторые другие пре"образования, совершаемые над временными рядами. Например, с помо"щью B можно записать переход от последовательности к ее первым раз"ностям или разностям более высоких порядков.
Первыми разностями по"следовательности u называют последовательность v, если vt = ut −ut−1 .С помощью оператора B этот переход от u к v выглядит так:v = (1 − B)u,считая, что в этой формуле 1 обозначает оператор, оставляющий после"довательность неизменной (тождественный оператор): 1u = u.441(14.31)4421515.2. ". … ."… …15.1. "…Выборочные обследования и опросы широко применяются для из"учения различных сторон жизни общества. В России с недавних порони стали частью политической жизни. Накануне очередных выборовмы слышим об их результатах едва ли не ежедневно. Широкое распро"странение выборочных опросов, и не только политических, в ведущихстранах мира относится к середине ХХ века. Выборочные обследова"ния дополняют, уточняют и во многом заменяют сплошные переписиили опросы.
В СССР упор делался на сплошном сборе статистическихданных, а выборочным обследованиям в экономике отводилась второ"степенная роль. Социологические и рыночные исследования (изучениепотребления) не поощрялись и были редки.В последнее десятилетие, уже в новой России, быстро формируетсяспрос на выборочные исследования, и не только с политическими целя"ми. Заказчиками выборочных исследований выступают компании, про"двигающие на рынок свои товары и услуги. Шире стали практиковатьсявыборочные исследования и органами государственной власти.Укажем преимущества выборочных исследований по сравнению сосплошными обследованиями целевых групп и совокупностей. В первуюочередь это оперативность получения результатов.
Затем — относи"тельно малая стоимость исследования в целом. Лучшая подготовкаперсонала, проводящего исследование, позволяет получить более до"стоверные исходные данные, а поэтому и более правильные выводы.При правильной организации выборки выборочные обследования даютвысокую точность результатов. Представление о точности полученныхрезультатов (оценку точности) можно получить в ходе обследования,основываясь на результатах выбора. Во многих случаях выборочныйметод является просто единственным способом получения информацииоб обследуемой совокупности.443При обследовании нас обычно интресуют свойства какой"либо чет"ко очерченной совокупности однородных объектов. Эту совокупностьмы будем называть генеральной совокупностью. При изучении гене"ральной совокупности выборочным методом из нее выделяют некото"рую часть для дальнейшего сплошного обследования.
Эту выделенную(выбранную) часть называют выборкой. Выборка должна быть как быуменьшенной копией генеральной совокупности, представлять ее пра"вильно, без искажений. Такую выборку называют репрезентативной(представительной). Главная опасность для выборочного метода —сформировать нерепрезентативную выборку, искаженно, неправильнопредставляющую генеральную совокупность. Такие выборки часто на"зывают смещенными — смысл этого названия станет ясен чуть позже.Есть много способов формирования выборки. Но только один из нихнесомненно обеспечивает ее репрезентативность: это случайный выбор.Именно о разных видах и формах случайного выбора и их свойствахмы будем говорить далее. К достоинтсвам случайного выбора добавим,что он позволяет контролировать и точность полученных с его помощьювыводов. Правда, и репрезантативность, и точность при случайномвыборе имеют статистический характер.Реализация упомянутых возможностей и достоинств выборочныхметодов во многом определеяется тщательным планированием всех эта"пов обследования и точным исполнением намеченного плана.
"Резуль"таты исследования никогда не могут быть лучше, чем план этого ис"следования" – отмечает известный американский специалист в областивыборочных исследований Р.Джессен [38].Основой выборочного метода является идея простого случайноговыбора. Случайный выбор одного элемента из конечной генеральнойсовокупности называется простым, если все элементы генеральной сово"купности имеют равные вероятности быть выбранными. Случайный вы"бор предписанного числа n элементов называют простым, если каждоемножество, состоящее из n элементов генеральной совокупности, имеетравную с другими вероятность быть выбранными.
Простой случайныйвыбор заданного количества n элементов можно произвести последова"тельно с помощью простого случайного выбора формируя выборку из nэлементов. (Выборку объема n, как часто говорят.)Репрезентативность при случайном выборе. Поясним, в какомсмысле простой случайный выбор является репрезентативным, избрав444для обсуждения одну из простейших задач, которую приходится ре"шать в ходе выборочных обследований. Предположим, что образующиегенеральную совокупность объекты могут обладать или не обладать не"которым определенным свойством.
Обозначим его через A. В качествеподобного свойства в маркетинговых обследованиях часто выступаетобладание той или иной продукцией (автомобилем, сотовым телефономи т.д.), использование определенных косметических или гигиеническихсредств и т.п. В электоральных исследованиях рассматриваемое свой"ство может означать поддержку определенной партии или кандидата,определенной идеи или политической/экономической программы и т.д.В ходе обследования мы хотим оценить, какую долю генеральной со"вокупности составляют объекты со свойством A. Обозначим эту неиз"вестную нам долю через θ, 0 < θ < 1.Ради математической простоты предположим, что численности ин"тересующих нас генеральных совокупностей велики.
(Нельзя указатьопределенную границу, но пусть это будут тысячи, а лучше десятки ты"сяч элементов или более.) Напротив, пусть объемы выборок будут малыпо сравнению с численностью генеральных совокупностей. В этих усло"виях можно считать, что при последовательном формировании выборкиобъема n с помощью простого случайного выбора вероятность выбораобъекта со свойством A – одна и та же на каждом шаге отбора. Этавероятность равна доле θ всех объектов со свойством A в генеральнойсовокупности. В этих условиях свойства простого случайного выбораописывает вероятностная схема испытаний Бернулли.Рассмотрим полученную выборку объема n.
Обозначим через Xчисло элементов этой выборки, которые обладают свойством A. Прислучайном выборе величина X тоже случайна. В качестве оценкинеизвестной доли θ объектов в генеральной совокупности, обладающихсвойством A, естественно взять их долю в выборке, то есть величинуX/n. Она, в силу случайности выборки, может быть как большеистинного значения θ, так и меньше его. Однако в среднем значениеоценки X/n равно θ. Точный смысл этого утверждения заключается вследующем: при любых n и θM (X/n) = θ.(15.1)Это равенство — одно из свойств биномиального распределения, кото"рому подчинена случайная величина X.Напомним (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
