Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров - Анализ данных на компьютере (1115311), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Проиллюстриру"ем типичное поведение автокорреляционной функции и ее оценки дляпроцессов авторегрессии.Коррелограмма процессов авторегрессии. Пусть, как и пре"жде, ε1 , . . . , εn — гауссовский белый шум. Напомним, что простей"ший процесс авторегрессии первого порядка X(t) с нулевым среднимзадается соотношением:X(t) = φX(t − 1) + εt ,(12.16)где εt не зависит от X(t − 1). Как указывалось в п. 11.7, члены дажеэтого простейшего процесса не становятся независимыми с ростомпромежутка времени между ними. Однако при определенных условияхна коэффициенты эта зависимость быстро убывает.В общем случае свойства этих процессов подробно разбираются на"ми ниже в пп.
14.1—14.3. Здесь же мы приведем два типичных графикаповедения выборочных автокорреляционных функций этих процессов.Как будет показано ниже в п. 14.2 и 14.3 автокорреляционные функцииэтих процессов с ростом лага либо просто экспоненциально затухаютлибо представляют из себя экспоненциально затухающие синусоидаль"ные волны.На рис. 12.19 приведены графики ста значений реализации процессаавторегрессии второго порядка:X(t) = φ1 X(t − 1) + φ2 X(t − 2) + εt .(12.17)при φ1 = 0.7 и φ2 = 0.25.
Здесь автокорреляционная функция процессаи соответственно коррелограмма экспоненциально затухают с ростомлага.Рис. 12.20. Коррелограмма AR(2) процесса при φ1 = 0.7,φ2 = −0.25: а) исходный ряд; б) его коррелограммафункция этого процесса и соответственно коррелограмма ведут себя сростом лага как экспоненциально затухающая синусоида.Замечание. Вид выборочных автокорреляционных функций процесса(12.16) для различных значений φ приведен на рис. 14.1 главы 14.
На этом ри"сунке видно, что при φ = ±0.75 значения оценок автокорреляционной функцииrk довольно сильно отличаются от нуля даже при k = 15.12.4.3. … <… …… <… Выборочная частная автокорреляционная функция. Для того,чтобы по полученной реализации процесса подобрать модель авторе"грессии, необходимо предварительно указать возможный порядок этоймодели. Приведенные примеры авторегрессионных процессов показы"вают, что непосредственно из вида выборочной автокорреляционнойфункции этот вывод сделать довольно трудно.
Эту задачу значительнооблегчает специально преобразованная автокорреляционная функция.Она называется частной автокорреляционной функцией. Расскажем,как следует интерпретировать поведение этой функции.Замечание. Формальное определение частной автокорреляционной функ"ции мы отложим до главы 14, так как это определение довольно сложно и осно"вано на моделях авторегрессии.
Однако при практическом анализе временныхрядов это определение и не нужно — графики автокорреляционной функциии частной автокорреляционной функции строит статистическая программа, ачеловеку нужно лишь знать, как их интерпретировать.Рис. 12.19. Коррелограмма AR(2) процесса при φ1 = 0.7,φ2 = 0.25: а) исходный ряд; б) его коррелограммаНа рис. 12.20 приведены графики ста значений реализации AR(2)процесса (12.17) при φ1 = 0.7 и φ2 = −0.25. Автокорреляционная389Обозначения.
Для краткости мы будем использовать сокращения:АКФ — автокорреляционная функция, ЧАКФ — частная автокорреля"ционная функция.Обозначим через φkk значения ЧАКФ для каждого значения лагаk = 1, 2, . . . . Оценку этой функии по реализации временного ряда будем390обозначать через φ̂kk при k = 0, 1, 2, . . . . Значения функций φkk и φ̂kkдля каждого значения k по абсолютной величине меньше единицы.Процессы авторегрессии первого порядка. Как показано нижев п. 14.3, для процессов авторегрессии первого порядка отлично отнуля только значение φ11 , а все остальные значения этой функцииравны нулю.
Для выборочной частной автокорреляционной функцииφ̂kk это означает, что все ее значения, начиная со второго, должнызначимо не отличаться от нуля, то есть попадать в соответствующийдоверительный интервал.Рис. 12.22. График AR(1) процесса (значение φравно −0.25), его выборочная АКФ и выборочная ЧАКФРис. 12.21. График AR(1) процесса (значение φ равно0.75, его выборочная автокорреляционная функция (АКФ) ивыборочная частная автокорреляционная функция (ЧАКФ)Рис. 12.23. Выборочная ЧАКФ AR(2) процессов:а) φ1 = 0.7, φ2 = 0.25; б) φ1 = 0.7, φ2 = −0.25Это и видно на рис.
12.21. Здесь значения выборочной ЧАКФ (вотличие от выборочной АКФ), начиная со второго, малы и значимонеотличимы от нуля. Таким образом, по поведению выборочной ЧАКФлегче выяснить вид модели временного ряда.Замечание. Стоит заметить, что при малых значениях коэффициентаφ для того, чтобы отличить процесс от белого шума, требуется достаточномного наблюдений. Так, из рис.
12.22, на котором представлен AR(1) процессс φ = −0.25, видно, что для этого оказалось недостаточно ста наблюдений.Все значения выборочных автокорреляционной и частной автокорреляционнойфункций здесь попали в доверительные трубки для предположения, что процессявляется белым шумом.Процессы авторегрессии второго порядка. Для процесса авто"регрессии второго порядка отличны от нуля только первые два значе"ния ЧАКФ.
На рис. 12.23а и 12.23б изображены выборочные ЧАКФпроцессов, представленных на рис. 12.19 и 12.20.Рис. 12.24. Выборочная ЧАКФ MAR(1) процессов: а) θ = 0.75; б) θ = −0.75приведенных на рис. 12.17 и 12.18. На рис. 12.24 приведены выборочныеЧАКФ MA(1) процессов при θ = 0.75 и θ = −0.75.Процессы скользящего среднего. Для процессов скользящегосреднего (MA"процессов), в отличие от процессов авторегрессии, ЧАКФпри больших значениях лага k не обращается в ноль, а экспоненциальноубывает.
Мы не будем останавливаться на этом подробнее. Простопроиллюстрируем поведение выборочной ЧАКФ для MA(1) процессов,3913921313.2. :…ƒ …… SPSS13.2.1. ƒ ƒ›…:…ƒ …… … '13.1. … …Методы анализа временных рядов широко представлены во многихуниверсальных статистических пакетах, включая разобранные в преды"дущих главах STADIA и SPSS. Но анализ временных рядов — это оченьспецифическая область статистики, отличающаяся по кругу задач и ме"тодов их решения, а также по кругу пользователей, применяющих этиметоды. Поэтому для анализа временных рядов имеются также и спе"циализированные статистические пакеты.
В этой главе мы рассмотримспособы решения рассмотренных выше задач в универсальном стати"стическом пакете SPSS и в специализированном статистическом пакетеЭВРИСТА. Выбор данных пакетов обусловлен следующими причинами.Универсальный пакет SPSS занимает одно из первых мест в миресреди программ статистической обработки данных (см. приложения 1и 2).
Отечественным специалистам ранние версии SPSS в основномбыли известны как мощный инструмент обработки социологических ипсихологических данных. В связи с этим мы решили показать этотпакет с менее известной его стороны. Для нас также было важнопознакомить пользователя с англоязычной терминологией в областианализа временных рядов.Пакет ЭВРИСТА является одним из лучших специализированныхотечественных пакетов для анализа временных рядов. Его функцио"нальные возможности значительно шире стандартных процедур анализавременных рядов универсальных статистических пакетов. Пакет по"стоянно совершенствуется и пополняется, он хорошо зарекомендовалсебя во многих организациях, в том числе активно работающих на фи"нансовом рынке.
Более подробная информация об этом пакете данав приложениях 1 и 2, а также в [11]. Наконец, нам хотелось датьпользователям представление о более широком круге отечественныхстатистических пакетов.393Возможности в области анализа временных рядов. Пользова"тели, знакомые с ранними и неполными версиями пакета SPSS, чащевсего имеют совершенно неадекватное представление о возможностяхэтого пакета в области анализа временных рядов. Во"первых, ранниеверсии SPSS использовались, в основном, специалистами в областипсихологии, биологии и социологии, где задачи анализа временных ря"дов менее характерны. Во"вторых, современные версии пакета имеютмодульную структуру (см. приложения 1 и 3), в которой анализ вре"менных рядов выделен в отдельный модуль SPSS Trends. При отсут"ствии этого модуля возможности в области анализа временных рядовбудут ограничены только процедурами регрессионного анализа базовогомодуля пакета SPSS Base.Кратко перечислим основные процедуры пакета SPSS в областианализа временных рядов:1.
Regression (Регрессионный анализ) — позволяет выделять и удалятьширокий набор моделей трендов;2. ARIMA (Модели авторегрессии–проинтегрированного скользящего среднего) —вычисляет оценки параметров для сезонных и несезонных моделей,а также строит доверительные интервалы для прогноза. Процедурадопускает пропущенные значения во временных рядах и выполняетанализ интервенций;3.
EXSMOOTH (Экспоненциальное сглаживание) — включает широкий кругметодов экспоненциального сглаживания для сезонных и несезонныхрядов с трендом;4. SEASON (Сезонные составляющие) — оценивает мультипликативные илиаддитивные сезонные составляющие для сезонных временных рядов;5. SPECTRA (Спектральный анализ) — производит разложение временногоряда на гармонические составляющие. Вычисляет и выводит на гра"фик одномерную и двумерную периодограмму и оценку спектральнойплотности.
Позволяет использовать различные спектральные окна;6. AREG (Авторегрессионный анализ) — оценивает регрессионную модель,когда ошибки близких по времени значений ряда коррелируют ме"жду собой;7. X11 ARIMA — оценивает сезонные факторы для процессов типаавторегрессии–проинтегрированного скользящего среднего.394Пакет также выполняет широкий круг других процедур, например,генерацию временных рядов, вычисление оценок автокорреляционнойи частной автокорреляционной функции, построение различных типовграфиков временных рядов и т.д.Командный макроязык и система меню.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
