Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров - Анализ данных на компьютере (1115311), страница 77
Текст из файла (страница 77)
$ … …… …… Нетрудно убедиться, что при фиксированном λ функция f (x, λ)монотонно возрастает с ростом x, и что f (x, λ) непрерывна не толькопо x, но и по λ, если λ 0.12.4.1. B …ƒЦели анализа. В предыдущих параграфах этой главы мы рас"сматривали методы выделения из временного ряда детерминированнойкомпоненты — тренда, сезонной и циклической компонент. После уда"ления детерминированной компоненты временной ряд должен свестиськ стационарному процессу.
Так что следующим шагом после выделениядетерминированной компоненты должен быть анализ остатков, то естьизучение ряда, полученного из исходного временного ряда после ис"ключения детерминированной компоненты. При этом могут ставитьсяследующие цели.Как видно из рис. 12.13, преобразование Бокса"Кокса при λ < 1 рас"тягивает расстояния между малыми значениями и сжимает его междубольшими по величине значениями данных.
При λ > 1 наблюдаетсяобратная картина.Следует заметить, что применение преобразования Бокса"Кокса квременным рядам может порождать определенные трудности в их даль"нейшем анализе. Дело в том, что показатель степени λ существенновлияет на корреляционную функцию процесса и способен значительноусложнить дальнейший подбор модели ряда.1.
Описание ряда с помощью той или иной модели, которая от"ражает зависимость между его соседними элементами. На ба"зе построенной модели можно осуществлять прогноз будущегоповедения ряда.2. Уточнение оценки дисперсии временного ряда. Эта оценка важ"на для прогнозирования, так как исходя из нее вычисляется ши"рина доверительной трубки прогноза. Привычные оценки диспе"рсии, которые мы использовали в регресионном анализе (глава8), — например, нормированная сумма квадратов отклоненийэлементов реализации от их среднего, — рассчитаны на незави"мые случайные величины. Для статистически зависимых данныхтакие оценки дисперсии временного ряда могут как сильно пре"вышать истинное значение σ 2 , так и быть значительно меньше.3. Проверка стационарности остатков (при нестационарности под"бор детерминированной компоненты нуждается в уточнении).Ряды, имеющие отрицательные значения.
Подобно логарифмическому,преобразование Бокса"Кокса можно применять только к положительным чи"слам. Если часть членов ряда xt отрицательна, прежде чем применить к рядуМетоды анализа. В качестве модели стационарных временныхрядов чаще всего используются процессы авторегрессии, скользящегосреднего и их комбинации. Этим моделям посвящена глава 14.Рис. 12.13. Характер преобразования Бокса"Коксапри различных значениях параметра λ383384А для проверки стационарности ряда остатков и оценки его диспе"рсии на практике чаще всего используются выборочная автокорреля"ционная (коррелограмма, см.
п. 11.10) и частная автокорреляционнаяфункция. В пп. 12.4.2 и 12.4.3 мы рассмотрим методы интерпретацииграфиков этих функций.Замечания. 1. Для выяснения статистических зависимостей междуэлементами временного ряда может также быть использована периодограм"ма (см. п. 11.10).2. Методы исследования структуры стационарного временного ряда поодной реализации наиболее успешно и полно разработаны для нормально рас"пределенных процессов. Это объясняется тем, что у этих процессов из ста"ционарности в широком смысле, которая поддается определенной проверке,следует стационарность в узком смысле, которая практически не поддаетсяпроверке (см.
п. 11.3.2).Рис. 12.14. Коррелограмма ряда урожайности зерновых:а) исходный временной ряд; б) его коррелограмма12.4.2. … < Анализ коррелограммы — это порой довольно непростая задача. Опричинах возникающих при этом трудностей уже говорилось в п. 11.10.Здесь мы кратко остановимся на типичном поведении коррелограммыдля некоторых классов временных рядов.Для начала рассмотрим поведение коррелограммы для некоторыхнестационарных рядов. В этом случае следует помнить, что коррело"грамма практически не несет никакой информации о статистическойзависимости или независимости членов временного ряда, однако онаможет отражать причины нарушения стационарности. Именно с этойточки зрения мы и рассматриваем два следующих примера.Наличие тренда.
Для временного ряда, содержащего тренд, корре"лограмма не стремится к нулю с ростом значения лага k. Ее характерноеповедение изображено на рис. 12.14, где кореллограмма построена дляряда урожайности зерновых (рис. 11.1а).Наличие сезонных колебаний. Для ряда с сезонными колеба"ниями коррелограмма также будет содержать периодические всплески,соответствующие периоду сезонных колебаний.
Это позволяет устана"вливать предполагаемый период сезонности. Однако, как было сказанов п. 11.10, отдельные редкие выхода графика коррелограммы за границыдоверительной трубки могут наблюдаться и у белого шума. Типичноеповедение коррелограммы для ряда с сезонными колебаниями приве"дено на рис.
12.15, где она построена для данных месячных продажшампанского в логарифмической шкале (рис. 12.12) после удаления изних линейного тренда.385Рис. 12.15. Коррелограмма ряда месячных продаж шампанскогов логарифмической шкале (после удаления линейного тренда):а) преобразованный ряд продаж шампанского; б) его коррелограммаПерейдем к рассмотрению коррелограмм стационарных случайныхпроцессов. В этом случае коррелограмма показывает коррелированностьзначений временного ряда при различных расстояниях между ними.Коррелограмма белого шума.
Как указывалось выше, автокор"реляционная функция rk белого шума равна нулю для всех k = 0. Нарис. 12.16 изображена типичная коррелограмма белого шума. Как ука"зывалось в п. 11.10, для гауссовского белого шума можно указать 95%доверительныйинтервал для каждого конкретного значения r k в виде√−1/n ± 2/ n. Он изображен на графике коррелограммы пунктирнымилиниями. Если выборочные оценки корреляционной функции попадаютв указанные доверительные интервалы, то можно предположить, чтозначения процесса являются белым шумом. Однако, как уже говори"лось, довольно часто одно или несколько значений выборочной авто"корреляционной функции белого шума могут выходить из указанныхпределов. Особенно часто этот эффект можно наблюдать при наличииотносительно небольшого числа наблюдений.386Рис. 12.16.
Коррелограмма белого шума: а) исходный ряд; б) его коррелограммаКоррелограмма процессов скользящего среднего. Траекто"рии многих стационарных случайных процессов выглядят гораздо болеегладко, чем траектории белого шума. Это связано с наличием положи"тельной корреляции между двумя или несколькими соседними членамиподобных рядов.
Если же корреляция между соседними членами рядаотрицательна, то траектории подобных процессов будут более изломан"ными, чем траектории белого шума. Простейшим примером процессов,у которых зависимы одно или несколько соседних значений, являютсяпроцессы скользящего среднего. Определение процесса скользящегосреднего первого порядка было дано в п.
11.7. Более подробно свойстваэтих процессов рассматриваются в п. 14.4. Здесь мы приведем видтипичных графиков этих процессов и их автокорреляционных функций.Пусть ε1 , . . . , εn — гауссовский белый шум. Обозначим через X(t)процесс скользящего среднего первого порядка (кратко MA(1)) с коэф"фициентом θ и средним равным нулю. Согласно (11.10):X(t) = εt + θεt−1 .Нетрудно убедиться, что у этого процесса зависят между собой толькососедние значения X(t) и X(t − 1). При этом их корреляция r1 равна:θr1 =1 + θ2На рис. 12.17 приведены графики ста значений реализации процессаскользящего среднего с коэффициентом θ = 0.75 и его коррелограммы.На рис.
12.18 приведены аналогичные графики при θ = −0.75.На графиках видно, что хотя полученные оценки значений rk приk = 2, 3 . . . не равны нулю, они значимо не отличаются от нулевыхзначений, так как попадают в 95% доверительный интервал, которыйпостроен в предположении равенства нулю соответствующих значенийавтокорреляционной функции.Для процессов скользящего среднего второго порядка, как будетпоказано ниже в п. 14.4, отличаются от нуля только значения r1 и r2 ,387Рис.
12.17. Коррелограмма MA(1) процесса приθ = 0.75: а) исходный ряд; б) его коррелограммаРис. 12.18. Коррелограмма MA(1) процесса приθ = −0.75: а) исходный ряд; б) его коррелограммаа все последующие значения rk при k = 3, 4, . . . равны нулю. Наконец,для процессов скользящего среднего порядка q отличны от нуля толь"ко первые q значений автокорреляционной функции.
Строя графикикоррелограмм для подобных процессов, мы можем на основании ука"занного свойства сделать предварительный вывод о возможном порядкепроцесса скользящего среднего, который может быть использован дляописания наблюденного ряда.Указанное правило хорошо, если подобранный порядок моделискользящего среднего невелик, скажем от одного до четырех"пяти. Од"нако на практике часто встречаются стационарные процессы с автокор"реляционной функцией заметно отличной от нуля даже при большихзадержках. Следуя сформулированному правилу, их можно пытатьсяописать процессами скользящего среднего высоких порядков.
Это при"водит к большому числу коэффициентов процесса скользящего среднего,которые подлежат дальнейшей оценке. При этом точность этих оценокзаметно снижается. Практическая ценность таких многопараметриче"ских моделей скользящего среднего невелика. В этой ситуации лучшепопытаться описать временной ряд с помощью модели авторегрессии.388Если и эта попытка не увенчается успехом — перейти к комбиниро"ванным моделям авторегрессии"скользящего среднего.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
