Л.С. Пономаренко - Контрольные и тесты по теории вероятностей (2015) (1115298)
Текст из файла
Замечание. Это alpha-версия.Есть опечатки в логике решения.Контрольные и тесты по теориивероятностейЛ. С. Пономаренко2015 г.Оглавление1 Основные вероятностные модели. Свойства вероятностей1.1 Классическая вероятность . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .1.1.1 Схема выбора без возвращения . . . . . . . . . . . .1.1.2 Схема выбора с возвращением . . . . . . . . . . . .1.1.3 Схема размещения шаров по ячейкам . . . . . . . .1.1.4 Перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.5 Вероятность объединения случайных событий . . . .1.2 Геометрические вероятности . . . . . . . . . . . . . . .
. . .1.3 Независимость случайных событий . . . . . . . . . . . . . .1.4 Условные вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 Схема испытаний Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6 Контрольные работы . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .33368101113141619232 Случайные величины2.1 Общее определение случайной величины . . . . . . . . . . .2.2 Дискретные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Непрерывные случайные величины . . . . . . . . . . . . . .2.4 Системы случайных величин .
. . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.1 Совместное распредеделение дискретных случайныхвеличин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.2 Совместное распредеделение непрерывных случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.2.5 Контрольные работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29293136411434752ВведениеДанное учебное пособие написано для студентов второго курса факультета ВМК. Кратко изложен необходимый для решения задач теоретический материал, который иллюстрируется примерами. Предлагаетсянесколько типовых вариантов контрольных работ по следующим темам:основные вероятностные модели и свойства вероятностей, распределенияи числовые характеристики распределений случайных величин, производящие и характеристические функции, сходимость последовательностейслучайных величин и предельные теоремы. Один вариант по каждойтеме приведен с подробными решениями, к остальным прилагаются ответы.
Пособие содержит также тесты для проверки усвоения студентамитеоретического материала. Кроме того, в пособии приводятся типовыеварианты письменного коллоквиума, который проводится в третьем семестре.2Глава 1Основные вероятностныемодели. Свойства вероятностейВ этом разделе разбирается решение задач на применение классическойвероятности, геометрической вероятности, условной вероятности, схемынезависимых испытаний с двумя и более исходами.1.1Классическая вероятностьВ классической вероятностной модели множество элементарных исходовΩ содержит конечное число исходов ω1 , ..., ωs , класс случайных событийA содержит все подмножества Ω, вероятность произвольного случайногособытия A ∈ A определяется равенствомP(A) =|A|,|Ω|где |A| обозначает число элеметарных исходов, благоприятных для события A, а общее число всех элементарных исходов |Ω| равно s.
В этоймодели все элементарные исходы ωi имеют одинаковую вероятность, равную 1s .Подсчет вероятностей в классической модели использует формулыкомбинаторики. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся схемы.1.1.1Схема выбора без возвращенияДопустим, что некоторая урна содержит одинаковые по величине, норазличные по цвету шары, из которых M шаров белые, а остальныеN − M — красные. Из урны случайным образом извлекают n шаров3(можно считать, что одновременно).
Вычислим вероятность наступлениясобытия Ak — среди вынутых шаров белых окажется ровно k, гдеk ≤ min(n, M ), n − k ≤ N − M.Для этого занумеруем все шары в урне числами от 1 до N. В качествеэлементарного исхода ω рассмотрим неупорядоченный набор чисел{i1 , i2 , . . . , in },состоящий из номеров вынутых шаров, причем среди этих номеров нетповторяющихся.Общее число возможных исходов данного эксперимента равно числуразличных способов выбора n различных чисел из N чисел без учетапорядка внутри выборки:|Ω| = CNn .Подсчет числа благоприятных исходов для события Ak должен учитывать как число различных способов выбрать k белых шаров из имеющихся M белых шаров, так и число различных способов выбора n − kкрасных шаров из общего количества N − M красных шаров:k|Ak | = CM· CNn−k−M .Таким образом получаемP(Ak ) =kCM· CNn−k−M.CNnРазумеется, эта схема выбора применима не только к шарам, а ковсем ситуациям, когда проводится случайный выбор из совокупностей,в которых элементы различаются по каким – либо признакам.Пример 1.1.
В студеческой группе 15 юношей и 5 девушек. Случайнымобразом для участия в социологическом опросе отбирается 6 человек.Найдем вероятность того, что в опросе юношей и девушек будет участвовать равное количество.Обозначим интересующее нас событие A. Общее число исходов равно6s = C2015 · 16 · 17 · 18 · 19 · 2020!== 38760.6!14!6·5·4·3·2Аналогичным образом вычисляется число благоприятных для событияA исходов3|A| = C15· C53 =5!15!·= 455 · 10 = 4550.3!12! 3!2!4Таким образом,P(A) =3C15· C534550=≈ 0.117.6C2038760¥Пример 1.2. Из корзины с фруктами, содержащей 5 яблок, 3 груши и4 апельсина, случайным образом достали 3 фрукта. Какова вероятность,что среди них оказались яблоко, груша и апельсин?Обозначим данное событие через B.
ТогдаP(B) =C51 · C31 · C415·3·46== .3C1211011¥Пример 1.3. Участник лотереи зачеркивает в купленном билете 6 чисел из 36 и после этого отправляет билет организаторам лотереи. После проведенного розыгрыша определяются 6 выигрышных чисел. Еслив присланном билете среди зачеркнутых чисел оказывается три и более выигрышных чисел, то участник лотереи может получить выигрыш,размер которого определяется числом выигрышных чисел. Вычислимвероятность получения какого – либо выигрыша.Для этого введем следующие события: B — участник получит какой– либо выигрыш, Ai — в билете среди зачеркнутых оказалось ровно iвыигрышных чисел, где i = 3; 4; 5; 6.
Поскольку события Ai не могут6SAi , тонаступать одновременно и B =i=3P(B) =6XP(Ai ).i=3Вычислим вероятности отдельных событий Ai :P(A3 ) =3C63 · C3081200=≈ 0.083376,6C36973896P(A4 ) =21305C64 · C30=≈ 0.001340,6C36973896P(A5 ) =1C65 · C30180=≈ 0.000185,6C36973896P(A6 ) =0C66 · C301=≈ 0.000001.6C36973896Следовательно,P(B) = 0.084902.5¥Пример 1.4. Игроку на руки сдается 6 карт из колоды, содержащей 36карт. Вычислим вероятность события A — у игрока есть хотя бы одинкозырь.Поскольку порядок сдачи карт в этом случае не важен, то элементарный исход ω = {i1 , · · · , i6 } можно ввести как неупорядоченный набор из6 выбранных карт (предполагаем, что каждой карте соответствует свой6.
Найдемномер от 1 до 36). Всего равновероятных исходов будет |Ω| = C36сначала вероятность события A — у игрока нет ни одного козыря:P(A) =6C30593775=≈ 0.6097.6C36973896Но тогдаP(A) = 1 − P(A) = 0.3903.¥Пример 1.5. В колоде 36 карт, игроку на руки сдается 6 карт. Найдем вероятность события A – у игрока присутствуют карты всех мастей.Разберем теперь, как могут карты распределяться по мастям. Возможенвариант, когда имеется 3 карты некоторой масти, а остальные три масти имеют по одному представителю. Обозначим это событие — A1 .
Новозможен и другой вариант, когда у каких-то двух мастей по два представителя, а у остальных двух — по одному. Пусть это будет событие A2 .ТогдаA = A1 ∪ A2 ,причем события A1 и A2 не пересекаются. Следовательно,P(A) = P(A1 ) + P(A2 ).Вычислим число благоприятных исходов для каждого из введенных событий. Так |A1 | = C41 · C93 · C91 · C91 · C91 , где C41 – число способов выбора масти с тремя представителями, C93 – число способов выбрать этихпредставителей, C91 – число способов выбрать одного представителя укаждой из оставшихся мастей. Аналогичным образом находим |A2 | =C42 · C92 · C92 · C91 · C91 .
Следовательно,P(A) =1.1.2C41 · C93 · C91 · C91 · C91 C42 · C92 · C92 · C91 · C91+≈ 0.449.66C36C36¥Схема выбора с возвращениемРассмотрим еще одну модель выбора. Пусть по-прежнемему в урне находится M белых шаров и N − M красных, но теперь выбор шаров6проводится по - другому: после фиксирования цвета выбранного шаравынутый шар снова возвращается в урну и этот процесс повторяется nраз. Снова рассмотрим событие Ak – белый шар появился k раз (теперь0 ≤ k ≤ n. Для вычисления вероятности занумеруем все шары в урнечислами от 1 до N. Элементарный исход ω введем на этот раз как упорядоченный набор из n чиселω = (i1 , i2 , . .
. , in ),но на этот раз среди чисел i1 , . . . , in могут быть равные. Поскольку каждый раз может быть вынут любой шар из имеющихся, то|Ω| = N n ,причем при таком подсчете учитывается порядок внутри выборки. Этотфакт мы также должны учесть при подсчете числа благоприятных длясобытия Ak исходов. Благоприятные исходы отличаются один от другого не только номерами вынутых белых и вынутых красных шаров, нои номерами испытаний, в которых появился белый шар (соответствено и номерами испытаний, в которых появился красный шар). Числоспособов выбрать такие испытания равно Cnk . Каждый раз, когда выбирается белый шар, возможных вариантов для этого M, следовательно, всего способов выбирать белые шары – M k . Аналогичными рассуждениями получим, что число способов выбирать красные шары равно(N − M )n−k .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
