Л.С. Пономаренко - Контрольные и тесты по теории вероятностей (2015) (1115298), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Если хотя бы одна из нихокажется бракованной, то весь прибор тоже оказывается бракованным. Найти вероятность того, что из 5 приборов бракованных будетне более одного.5. Три стрелка производят по одному выстелу. Вероятность попадания для первого равна 0.8, для второго — 0.7, для третьего — 0.9.Найти вероятность того, что хотя бы двое из них попадут в цель.6.
0.08 Найти вероятность того, что в серии из 100 бросаний монетычисла орлов и решек совпадают.Ответы1.1 3 21 2 122 2 11 23) C33) C33 + (C11(C11) C11 + 3C11) + 3(C11(C113C11= 0.1702.5C66262. 0.879.3. 1/12.4. ((1 − p)3 )5 + C51 (1 − (1 − p)3 )((1 − p)3 )4 .5. 0.9026. 0.08.Вариант 31. В каждой упаковке товаров имеется одна из 5 различных наклеек.Какова вероятность собрать их все, купив 7 упаковок?2. Бросают три игральные кости.
Какова вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет "6", если известно, что на костяхвыпали разные грани?3. Изделие имеет скрытые дефекты с вероятностью 0.2. В течениегода выходит из строя 75% изделий со скрытыми дефектами и 15%изделий без дефектов. Найти вероятность того, что изделие имелоскрытые дефекты, если оно вышло из строя.4.
Сколько надо сделать выстрелов, что бы наивероятнейшее числопопаданий в цель равнялось 15? Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.7.5. Для лаборатории приобретено 9 приборов, причем вероятность брака для каждого прибора равна 0.1. Какова вероятность, что придется заменить более двух приборов?6. По экспертной оценке доля населения некоторой социальной группы равна p = 0.25. Каков должен быть объем выборки, чтобы свероятностью, не менее 0.99, погрешность в оценке p составляла неболее 0.05?Ответы1.C51 C73 4! + C52 C72 C52 3!= 0.215.572. 0.5.3.
0.56.274. 21.5. 0.053.6. 496.28Глава 2Случайные величины2.1Общее определение случайной величиныВ этом разделе разберем определение случайной величины, понятие распределения случайной величины.Определение 2.1. Случайной величиной, заданной на вероятностномпространстве (Ω, F, P), называется функция, зависящая от элементарного исхода ω и принимающая действительные значения, для которой прообраз любого борелевского множества является событием из σ−алгебрыF.Множество случайных величин, заданных на фиксированном вероятностном простравнстве (Ω, F, P), определяется σ−алгеброй F.Если σ−алгебра F содержит только два обязательных элемента: достоверное событие Ω и невозможное событие ∅, — то случаными величинами на таком вероятностном пространстве будут только функцииξ(ω) ≡ c, принимающие для всех ω одно и то же значение c, то естьтолько константы. В этом случае прообразом борелевских множеств, содержащих c, явлеется достоверное событие, а прообразом всех остальныхборелевских множеств при отображении ξ является невозможное событие.Пусть теперь σ−алгебра F содержит четыре элемента: достоверноесобытие Ω, невозможное событие ∅, некоторое непустое событие A и егонепустое дополнение A.
Тогда класс случайных величин, определенныхна данном вероятностном пространстве расширится. Кроме констант внего войдут фукции от ω, принимающие два разлисных значения: ξ(ω) =c1 , если ω ∈ A и ξ(ω) = c2 , если ω ∈ A.Чем богаче σ−алгебра подмножеств F, тем большее число функцийот элементарного исхода будут являться случайными величинами.
При29этом сумма, произведение и другие измеримые функции ( в том численепрерывные функции ) от случайных величин будут являться случайными величинами.Каждая случайная величина порождает на числовой прямой распределение вероятностей, которое задается функцией распределения даннойслучайной величины.Определение 2.2. Функцией распределения случайной величиныξ называется функция Fξ (x) действительной переменной x, которая вкаждой точке x определяется следующим образом:Fξ (x) = P{ω : ξ(ω) < x}.Рассмотрим следующий пример.Пример 2.1. Вероятностное пространство (Ω, F, P) определяется следующим образом: множество элементарных исходов Ω = [0; 1], σ−алгебраслучайных событий F— все борелевские множества на отрезке [0; 1], вероятность P— мера Лебега, для которой P[a; b) = b − a.
В дальнейшемтакое вероятностное пространство будем называть пространством Лебегана отрезке [0; 1]. Зададим случайную величину ξ(ω) :½ω, если 0 ≤ ω ≤ 21 ,ξ(ω) =−1, если 12 < ω ≤ 1.Функция распределения этой случайной величины равна0,еслиx ≤ −1, 1,если −1 < x ≤ 0,2Fξ (x) =¥1+ x, если 0 < x ≤ 1 21,еслиx > 1.Для нее выполнены основные свойства функий распределения:1. 0 ≤ F (x)ξ ≤ 1, Fξ (−∞) = 0,Fξ (+∞) = 1.2. Функция рнаспределения не убывает на всей числовой прямой.3.
Непрерывна слева, то есть для любой точки x0 выполняется lim Fξ (x) =x→x0 +0Fξ (x0 ).4. Число точек разрыва любой функции распределения не более чемсчетно, при этомFξ (x0 + 0) − Fξ (x0 ) = P{ξ = x0 }.305. Для любых чисел a < b справедливо равенство Fξ (b) − Fξ (a) =P{a ≤ ξ < b}.6. До минимального значения случайной величины ξ ее функция распределения равна нулю, а после максимального — единице.Для понимания свойств функций распределения важное значениеимеет теорема Лебега о представлении произвольной функции распределения в виде смеси функций рвспределения трех основных типов.Теорема 2.1.
Функция распределения любой случайной величины может быть представлена в следующем виде:F (x) = α1 F1 (x) + α2 F2 (x) + α3 F3 (x),где константы α1 , α2 , α3 неотрицотельны и α1 + α2 + α3 = 1,F1 (x)— ступенчатая функция распределения,F2 (x)— абсолютно непрерывная функция распределения,F3 (x) — сингулярная функция распределения.Так функция распределения из примера 2.1 представляется в видесмеси11Fξ (x) = F1 (x) + F2 (x),22где½0, если x ≤ −1,F1 (x) =1, если x > −1,а 0, если x ≤ 0,x, если 0 < x ≤ 1,F2 (x) =1, если x > 1.Дискретный и абсолютно непрерывный типы распределений будутподробно разобраны в следующих двух разделах.2.2Дискретные случайные величиныДискретной случайной величиной будем называть случайную величину, принимающую конечное или счетное число различных значений.Все различные значения случайной величины ξ, если их конечноечисло, и соответствующие этим значениям вероятности удобно задаватьв виде таблицыξ x1 x2 · · · xnp1 p2 · · · pn31Рис.
2.1: Функция распределениякоторую называют таблицей распределения случайной величины ξ.Обычно в этой таблице значенияxi , i = 1, . . . , n. упорядочены поPnвозрастанию, а pi = P{ξ = xi },i=1 pi = 1.Функция распределения такой случайной величины равнаFξ (x) =nXI{x<xi } (x).i=1( слагаемые в этой сумме — индикаторы соответствующих событий), аее график, изображенный на рисунке 2.1, представляет собой неубывающую ступенчатую фукцию, точки разрыва которой xi — указанные втаблице значения случайной величины, величина скачка в точке xi равнаpi — вероятности соответствующего значения.Важными числовыми характеристиками распределений являются математическое ожидание и дисперсия случайной величины.Определение 2.3.
Математическим ожиданием Eξ случайной величины ξ, распределение которой задано таблицей на стр.31, называетсяEξ =nXxi p i .i=1Если ξ принимает счетное число значений x1 , x2 . . . соответственно с вероятностями p1 , p2 . . . , тоEξ =∞Xxi p i ,(2.1)i=1причем ряд в 2.1 должен сходиться абсолютно, чтобы данная числоваяхарактеристика не зависила от способа нумерации значений. В противном случае говорят, что математическое ожидание не существует.32Перечислим основные свойства математических ожиданий.1. Ec = c, где c— константа.2.
E(cξ) = cEξ.3. E(ξ + η) = Eξ + Eη,— если случайные величины ξ и η имеют конечные математические ожидания, то их сумма также имеет конечноематематическое ожидание, равное сумме математических ожиданий ξ и η.4. Если ξ ≥ 0, то Eξ ≥ 0, причем из равенства Eξ = 0 в этом случаеследует, что P{ξ = 0} = 1.5.
Если a ≤ ξ ≤ b, то a ≤ Eξ ≤ b.6. Для независимых случайных величин с конечными математическими ожиданиямиE(ξη) = Eξ · Eη.7. Для произвольной борелевской функции g(x)Eg(ξ) =∞Xg(xi )pi ,i=1если ряд абсолютно сходится.Определение 2.4. Диперсией случайной величины ξ называетсяDξ = E(ξ − Eξ)2 .С помощью приведенных выше свойств математического ожиданиялегко получить для вычисления дисперсии формулуDξ = Eξ 2 − (Eξ)2 ,более удобную при решении задач.Определение 2.5. Числовню характкристику σξ =дартным отклонением случайной величины ξ.√Dξ называют стан-Приведем также основные свойства дисперсии.1.
Dξ ≥ 0, причем Dξ = 0 ⇔ P{ξ = c} = 1, то есть ξ являетсяконстантой.33Рис. 2.2: Пример 2.22. D(cξ) = c2 · ξ.3. Для независимых случайных величин с конечными дисперсиямиξ, η D(ξ + η) = Dξ + Dη.Рассмотрим теперь несколько примеров решения типовых задач.Пример 2.2. Три различимых шара случайным образом размещаютсяпо трем ячейкам, ξ – число пустых ячеек.
Составить таблицу распределения ξ, построить график ее функции распределения, вычислить Eξ, Dξ.Легко понять, что случайная величина ξ принимает значения 0, 1, 2,при этом3!2P{ξ = 0} = 3 = ,3963 · 2 · C32= ,P{ξ = 1} =33931P{ξ = 2} = 3 = ,39следовательно, таблица распределения имеет видξ 0 1 22 6 19 9 9График функции распределения изображен на рисунке 2.2. Математическоеожидание данной случайной величины равноEξ = 0 ·6182+1· +2· = .999934Для вычисления дисперсии найдем сначала Eξ 2 , называемое вторым моментом ξ:26110Eξ 2 = 02 · + 12 · + 22 · = .999910 644Dξ = Eξ 2 − (Eξ)2 =−= .¥9819Пример 2.3. В коробке находятся 3 стандартные и 2 нестандартные детали. Мастер случайным образом отбирает детали до тех пор, пока не наберет 2 стандартные.
Пусть ξ — число опробованных деталей. Составимтаблицу распределения ξ и вычислим Eξ, Dξ. Она выглядит следующимобразомξ 2340.3 0.4 0.3Следовательно,Eξ = 2 · 0.3 + 3 · 0.4 + 4 · 0.3 = 3,Eξ 2 = 4 · 0.3 + 9 · 0.4 + 16 · 0.3 = 9.6,Dξ = 9.6 − 9 = 0.6.¥Если число значений случайных величин велико, или даже их бесконечное число (но счетное!), то распределение можно задавать с помощьюформул.Пример 2.4. Рассмотрим случайную величину ξ, принимающую целыенеотрицательные значения с вероятностямиP{ξ = k} =λk e−λ,k!k = 0, 1, 2, .
. .Такое распределение вероятностей называют распределением Пуассонас параметром λ, λ > 0. В дальнейшем данный факт будем обозначатьξ ∼ Π(λ). Вычислим математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.Eξ =∞Xk · P{ξ = k} =k=0= λe−λ∞∞XXλk e−λλk−1k= e−λ · λ=k!(k−1)!k=0k=1∞Xλii=0i!= λe−λ · eλ = λ.Вычислим теперь второй момент случайной величины:2Eξ =∞Xk=0k2λk −λek!∞X∞λk e−λ X λk e−λ=k(k − 1)+k=k!k!k=0k=0352 −λ=λ e∞Xλk−2+ λ = λ2 + λ.(k − 2)!k=2Следовательно,Dξ = Eξ 2 − (Eξ)2 = λ2 + λ − λ2 = λ.2.3¥Непрерывные случайные величиныВ этом разделе будут рассмотрены случайные величины, функции распределения которых абсолютно непрервыны.Определение 2.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
