Л.С. Пономаренко - Контрольные и тесты по теории вероятностей (2015) (1115298), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Окончательно получаем½1,x ∈ [0; 1],pζ (z) =0,x∈/ [0; 1],что соответствует равномерному распределению на отрезке [0; 1].¥Способ решения предыдущего примера применим и в общем случае,когда по совместной плотности распределения ξ и η необходимо найтираспределение случайной величины ζ = g(ξ, η). Приведем план решения.1. Определение множества значений случайной величины ζ. Пусть этонекоторое множество G на числовой прямой.
В точках z ∈/ G полагаем плотность pζ (z) = 0.2. Для z ∈ G находим функцию распределения случайной величины,переходя к двойному интегралу от совместной плотностиZZFζ (z) = P{g(ξ, η) < z} =pξ,η (x, y)dxdy.g(x,y)<z3. В тех точках множества G, где найденная функция распределениядифференцируема, находимpζ (z) = Fζ0 (z).В остальных точках (их общая мера Лебега равна 0) доопределяемплотность удобным способом.50Часто требуется найти распределение ζ = ξ + η. Для этого можновоспользоваться формулой свертки. Приведем вариант этой формулыдля независимых случайных величин ξ и η :Z+∞pζ (z) =pξ (z − x)pη (x)dx−∞Рассмотрим пример на применение формулы свертки, хотя можно былодействовать и ранее описанным способом.Пример 2.17. Рассмотрим независимые случайные величины ξ и η,плотности распределения которых равны½ 1,x ∈ [0; 2],2pξ (x) =,0,x∈/ [0; 2],½1,y ∈ [0; 1],pη (y) =0,y∈/ [0; 1].Пусть ζ = ξ + η.
Применим формулу сверткиZ+∞pζ (z) =pξ (z − x)pη (x)dx.−∞Чтобы правильно разобраться в пределах интегрирования, выпишем требования на аргументы плотностей, делающие их отличными от 0. Получим следующую систему неравенствz − x ≥ 0,½z − x ≤ 2,x≤min {z; 1},⇐⇒x≥max{0; z − 2}.x≥0,x≤ 1,Видим, что пределы интегрирования зависят от z. Так при 0 ≤ z ≤ 1получимZz11dx = z,pζ (z) =220при 1 < z ≤ 2Z1pζ (z) =11dx = ,22051при 2 < z ≤ 3Z1pζ (z) =13−z1dx = (1 − z + 2) =,222z−2при остальных z плотность равна 0.2.5¥Контрольные работыВариант 11. В урне находится 2 красных и 4 белых одинакового размера шаров.Наудачу без возвращения выбирают 3 шара. Пусть ξ — число красных шаров среди отобранных.
Составить таблицу распределения ξ,построить график ее функции распределения, вычислить Eξ, Dξ.2. Игральная кость брошена 10 раз. Пусть ξ— число выпавших единиц, η — число выпавших пятерок. Найти совместное распределение ξ и η. Вычислить ковариацию ξ и η.3. Распределение случайной величины ξ задано плотностью распределения½c(1 − |x|), x ∈ [−1, 1],pξ (x) =0, x ∈/ [−1, 1].Найти константу c, функцию распределения Fξ (x). Вычислить Eξ, Dξ,P{−0.25 ≤ ξ ≤ 0.5}.4. Функция распределения случайной величины ξ равна Fξ (x) = 12 +1arctg x. Найти плотность распределения случайной величины η =π1. Вычислить Eη, Dη.ξ5. Две случайные величины ξ и η независимы и имеют стандартноенормальное распределение.
Найти плотность распределения случайной величины Z = |ξ − η|. Вычислить EZ, DZ.Решение варианта 1.1. Из условия задачи следует, что случайная величина ξ может принимать значения 0,1,2. Найдем вероятности этих значений. ТакP{ξ = 0} =5241C43== ,3C6205P{ξ = 1} =C21 C42123== ,3C6205P{ξ = 2} =C22 C4141== .3C6205Таким образом,0, еслиx ≤ 0,1/5, если 0 < x ≤ 1,Fξ (x) =4/5, если 1 < x ≤ 2,1,x > 2.Найдем математическое ожидание Eξ = 0· 15 +1· 35 +2· 51 = 1, второймомент Eξ 2 = 1· 35 +4· 15 = 75 , дисперсию Dξ = Eξ 2 −(Eξ)2 = 25 = 0.4.Ответ:ξ0121/5 3/5 1/5Eξ = 1, Dξ = 0.4.2. Поскольку число бросаний игральной кости равно 10, то значениесуммы ξ + η не првосходит 10, поэтому для i, j ≥ 0, i + j ≤ 10 имеемµ ¶i µ ¶j µ ¶10−i−j10! 114P{ξ = i, η = j} =.i! j! 666Такое распределение называется полиномиальным с параметрамиn = 10, p1 = 1/6, p2 = 1/6.
При этом случайные величины ξ иη имеют одинаковое виномиальное распределение B(n; p), где n =10, p = 1/6. Для них Eξ = Eη = np = 10/6 = 5/3. Представим ξ иη в следующем видеξ = X1 + X2 + . . . + X10 ,η = Y1 + Y2 + . . . + Y10 ,где случайные величины Xi , Yj (i, j = 1; 10 определим равенствами½1, если в i-ом испытании выпала 1,Xi =0, в остальных случаях,½1, если в j-ом испытании выпала 5,Yj =0, в остальных случаях.Вычислим Eξη следующим образомà 10!Ã!1010X XXXEξη = EXiYj = EX i Yj +Xi Yi =i=0j=0i6=j53i=1=Xi6=jµ ¶2 µ ¶2155EXi EYj = (10 − 10)=− .63182Окончательно для cov(ξ, η) получимµ ¶2µ ¶25555cov(ξ, η) = Eξη − EξEη =−−=− .318318Ответ: P{ξ = i, η = j} =10!i! j!¡ 1 ¢i ¡ 1 ¢j ¡ 4 ¢10−i−j666, cov(ξ, η) = −5/18.3. Константу c найдем из условияZ+∞pξ (x)dx = 1.−∞Это означает, что площадь под плотностью должна равняться 1.Из этого условия получим c = 1.Далее вычисляем функцию распределения, используя формулуZxFξ (x) =pξ (t)dt,−∞что означает, что в каждой точке x функция распределения равнаплощади под плотностью, находящейся слева от точки x.
Получим0,x ≤ −1, (x+1)2,−1 < x ≤ 0,2Fξ (x) =(1−x)2 1 − 2 , 0 < x ≤ 1,1,x > 1.Теперь мы можем найти вероятность попадания случаной величины в нужный интервал, а именноP{−0.25 ≤ ξ ≤ 0.5} = Fξ (0.5) − fξ (−0.25) = 0.40625.Проведем вычислени математического ожидания и дисперсии:Z∞Eξ =Z1xpξ (x)dx =−∞x(1 − |x|)dx = 0,−154Z∞Eξ 2 =Z1x2 pξ (x)dx = 2−∞1x2 (1 − x)dx = ,601Dξ = Eξ 2 − (Eξ)2 = .6Ответ: c = 1, P{−0.25 ≤ ξ ≤ 0.5} = Fξ (0.5) − fξ (−0.25) = 0.40625,Eξ = 0, Dξ = 1/6.4. Найдем сначала плотность распределения случайной величины ξpξ (x) = F 0 (x) =1.π(1 + x2 )Эта плотность отлична от 0 для всех , случайная величина η можетпринимать любые значения кроме 0.
Кроме того замечаем, что преобразование случайных величин взаимно обратно, поэтому можноприменить формулу (2.3), получимpη (x) =111=,x2 π(1 + 1/x2 )π(1 + x2 )что снова соответствует распределению Коши. Для этого распределения математическое ожидание и дисперсия не существуют.1Ответ: pη (x) = x12 π(1+1/x2) =дисперсия не существуют.1,π(1+x2 )математическое ожидание и5. Заметим сначала, что случайная величина Z с вероятностью 1 неотрицательна, тем самым ее плотность pZ (z) = 0 при z < 0. Приz > 0 получим FZ (z) = P{Z < x} = P{−z < ξ − η < z}.
Посколькуслучайная величина ζ = ξ − η имеет нормальное распределение сматематическим ожидонием a = 0, и дисперсией σ 2 = 2, тоZzFZ (z) =x21√ e− 4 dx = 22 π−zZzx21√ e− 4 dx.2 π0Следовательно,z21pZ (z) = FZ0 (z) = √ e− 4 .πМатематическое ожидание равноZ+∞Z+∞z21 − z222EZ =z √ e 4 dz = − √d(e− 4 ) = √ .πππ0055Для вычисления дисперсии найдем сначала второй момент случайной величины Z:EZ 2 = E(ζ 2 ) = Dζ = 2.DZ = Z 2 − (EZ)2 = 2 −Ответ: pZ (z) =√2 , DZ = 2 − 4 .ππ2z√1 e− 4π4.πпри z ≥ 0 и равна 0 при z < 0, EZ =Вариант 21.
В урне находится 2 красных и 3 белых одинакового размера шаров.Поочередно с возвращением выбирают 3 шара. Пусть ξ — числокрасных шаров среди отобранных. Составить таблицу распределения ξ, построить график ее функции распределения, вычислитьEξ, Dξ.2. Пять неразличимых шаров случайным образом размещаются почетырем ячейкам. Найти совместное распределение случайных величин ξ и η, где ξ — число пустых ячеек, а η — число ячеек, вкоторых находится 2 шара.3.
Распределение случайной величины задано плотностью распределения½ 3cx , 0 ≤ x ≤ 2,pξ (x) =0, x ∈/ [0, 2].Найти константу c, функцию распределения Fξ (x), P{1 ≤ ξ ≤ 1.5}.4. Найти плотность распределения случайной величины η = (ξ − 1)2 ,вычислить Eη, Dη. (Случайная величина ξ определена в предыдущей задаче.)5. Случайная величина ξ имеет равномерное распределение на [0; 1],а η распределена по показательному закону с параметром, равным1. Найти плотность рапределения Z = ξ + η, если ξ и η независимы.Вычислить EZ, DZ.Ответы:1.ξ0123,27/125 54/125 36/125 8/12556Eξ = 6/5, Dξ = 18/25.2.
Таблица совместного распределения:(ξ, η)ξ0123003/143/141/14η11/1403/140203/1400cov(ξ, η) = −3/14.x ≤ 0, 0,4x /16, 0 < x ≤ 2, P{1 ≤ ξ ≤ 1.5} = 65/256.3. c = 1/4, Fξ (x) =1,x > 2,1 + 3x√ , если x ∈ (0; 1] и равна 0 при остальных x;4 xEη = 7/15; Dη = 304/3150.z < 0, 0,1 − e−z ,0 ≤ z ≤ 1,EZ = 3/2, DZ = 13/12.5. pZ (z) = −ze (e − 1), z > 1;4. pη (x) =Вариант 31. Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет число, кратное 3, но не более пяти раз. Составить таблицу распределения ξ,построить график ее функции распределения, вычислить Eξ, Dξ.2. Петя и Ваня бросают монету по 10 раз. Пусть ξ— число выпавших гербов у Пети, а η — число гербов, выпавших у Вани. Найтивероятность того, что ξ > η.3.
Плотность распределения случайной величины ξ определена с точностью до постоянного множителя и равнаpξ (x) = ce−(x+1)28.Найти константу c, функцию распределения Fξ (x),P{−3 ≤ ξ ≤ 2}, Eξ, Dξ.4. Для случайной величины ξ предыдущей задачи найти плотностьраспределения случайной величины η = eξ . вычислить Eη, Dη.575. Случайные величины ξ и η независимы, имеют одинаковое стандартное нормальное распределение.Найти плотность распределеp2ния случайной величины ζ = ξ + η 2 , вычислить Eζ, Dζ.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
