Л.С. Пономаренко - Контрольные и тесты по теории вероятностей (2015) (1115298), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Функция распределения Fξ (x) случайной величины ξназывается абсолютно непрерывной, если существует неотрицательная функция pξ (x) называемая плотностью распределения, такая,что для всех x выполнено равенствоZxFξ (x) =pξ (t)dt.−∞Из определения следует, что в тех точках, где функция распределениядифференцируема, плотность равнаpξ (x) = Fξ0 (x).Отметим следующие свойства плотности распределения:Z+∞p(t)dt = 1,−∞иZbP{a ≤ ξ ≤ b} = Fξ (b) − Fξ (a) =pξ (t)tdt.aДля абсолютно непрерывной случайной величины (далее просто непрерывной) математическое ожидание можно найти по формуламZ+∞Eξ =xpξ (x)dx,−∞36Z+∞Eξ 2 =x2 pξ (x)dx,−∞Z+∞Eg(ξ) =g(x)pξ (x)dx,−∞если интегралы сходятся абсолютно.
В противном случае говорят, чтоматематическое ожидание не существует.Пример 2.5. Распределение случайной величины ξ задано плотностьюраспределения½ 3cx , 0 ≤ x ≤ 2,pξ (x) =0, x ∈/ [0, 2].Найти константу c, функцию распределения Fξ (x), P{1 ≤ ξ ≤ 1.5}. Вычислить Eξ, Dξ.Заметим, во-первых, что константа c > 0. Ее можно найти из условияZ∞pξ (x)dx = 1.0Проведя несложные вычисления, получаем c = 1/4. Поскольку в любойточке xZxFξ (x) =pξ (x)dx,−∞то 0,x4Fξ (x) =, 161,x ≤ 0,0 < x ≤ 2,x > 2.Но тогдаP{1 ≤ ξ ≤ 1.5} = Fξ (1.5) − Fξ (1) =65≈ 0.25.256Математическое ожидание равноZ+∞Z281 4Eξ =xpξ (x)dx =x dx = ,45−∞037второй моментZ+∞Z281 5x dx = ,Eξ 2 =x2 pξ (x)dx =43−∞0дисперсияDξ = Eξ 2 − (Eξ)2 =88136− ( )2 =≈ 1.81.3575¥Пример 2.6.
Вычислим математическое ожидание и дисперсию стандартного нормального распределения, которое задается плотностьюx21ϕ(x) = √ e− 2 .2πПредварительно заметим, что все моменты этого распределения конечны, и следовательно, моменты нечетного порядка равны нулю. В томчисле Eξ = 0, Dξ = Eξ 2 .Z+∞Z+∞Z+∞x2x2x211√ e− 2 dx = 1.Eξ 2 =x2 √ e− 2 dx = −xd(e− 2 ) =2π2π−∞−∞¥−∞Моменты распределения случайной величины ξ можно найти с помощью производящей функции моментов.Определение 2.7.
Производящей функцией моментов случайнойвеличины ξ называется функция ψ(h) действительной переменной h, которая определяется какψ(h) = Eehξ .Область определения данной функции зависит от распределения, онаможет состоять из единственной точки h = 0 (например, для распределения Коши), представлять собой интервал (двустороннее показательноерапределение), совпадать с действительной прямой (нормальное распределение) и т.д.Если производящая функция моментов случайной величины ξ определена в некоторой окрестности нуля, то моменты Eξ k можно найти,разложив эту функцию в ряд Телораψ(h) = 1 + Eξ · h + Eξ 2 ·hkh2+ · · · + Eξ k ·+ ··· .2!k!38(2.2)Пример 2.7. Вычислим с помощью производящей функции ψ(h) моменты случайной величины ξ, имеющей стандартное нормальное распределение.
Сначала найдем производящую функцию моментов:hξψ(ξ) = EeZ+∞Z+∞2(x−h)2h2h21hx 1− x2√ e− 2 dx = e 2 .=e √ e dx = e 22π2π−∞−∞Разложим теперь производящую функцию моментов в ряд постепенямh, получимh2h4h2k++ ··· + k+ ··· .24 · 2!2 · k!Сравнивая это разложение с (2.4), получаемψ(h) = 1 +Eξ 2n−1 = 0,Eξ 2n = (2n − 1)(2n − 3) · . . . · 1 = (2n − 1)!!, n = 1, 2, 3, . .
.В частности, получаем Eξ = 0, Eξ 2 = 1, Eξ 4 = 3, Dξ = 1.¥Часто приходится находить распределение случайной величиныη = g(ξ), если известно распределение случайной величины ξ, а g(x) —некоторая измеримая функция.Пример 2.8. Пусть распределение ξ задано плотностью pξ (x), а η =cξ + d, c 6= 0. Найдем плотность распределения случайной величины η.Сначала рассмотрим случай c > 0. Функция распределения η равна½¾¶µx−dx−dFη (x) = P{η < x} = P{cξ + d < x} = P ξ <= Fξ.ccВ тех точках, где функция распределения дифференцируема, находимплотность распределения¶µ1x−d0pη (x) = Fη (x) = pξ.ccЕсли c < 0, то½x−dFη (x) = P{cξ + d < x} = P ξ >c¾µ= 1 − Fξx−dcВ этом случае плотность распределения равн൶x−d1pη (x) = − pξ.ccОбъединяя полученные формулы в одну, окончательно имее쵶x−d1pη (x) = pξ.¥|c|c39¶.Применим полученную формулу для случайной величины ξ со стандартным нормальным распределением.
Тогда линейное преобразованиеη = cξ + d имеет плотность21 − (x−d)e 2c2 ,|c|что соответствует нормальному распределению с математическим ожиданием Eη = d и дисперсией Dη = c2 . Верно более общее утверждениеpη (x) =Теорема 2.2. Если ξ ∼ N (a; σ 2 ), то η = cξ + d ∼ N (ca + d; c2 σ 2 ).Пример 2.9. Пусть случайная величина ξ имеет равномерное распределение на отрезке [−1; 1]. Покажем, что η = |ξ| равномерно распределенана [0; 1].Сначала отметим, что P{0 ≤ η ≤ 1} = 1. Следовательно, pη (x) = 0при |x| > 1. Для 0 < x < 1 сначала найдем функцию распределенияслучайной величины η :Fη (x) = P{η < x} = P{−x < ξ < x} = Fξ (x) − Fξ (−x).Продифференцировав функцию распределения, найдем1 1+ = 1.2 2Видим, что данная плотность соответствует равномерному распределению на отрезке [0; 1].1¥pη (x) = Fη0 (x) = Fξ0 (x) − Fξ0 (−x) = p( x) + pξ (−x) =Сформулируем теорему, позволяющую в некоторых случаях находитьплотность распределения η = g(ξ), не находя фукцию распределения.Теорема 2.3.
Пусть случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью pξ (x) и с вероятностью 1 принимаетзначения на некотором интервале E, функция g(x) определена и дифференцируема на E, причем g 0 (x) > 0 на этом множестве. Тогда случайная величина η = g(ξ) имеет абсолютно непрерывное распределениес плотностью,pη (x) = (g −1 (x))0 pξ (g −1 (x))при x ∈ g(E) и равной 0 в остальных случаях.Утверждение теоремы можно переформулировать для случая, когда g 0 (x) < 0 на E :pη (x) = |(g −1 (x))0 |pξ (g −1 (x))при x ∈ g(E) и равной 0 в остальных случаях.1В точках x = ±1 плотность доопределяем, например, равной 1.40(2.3)2.4Системы случайных величинЕсли на одном вероятностном пространстве задано несколько случайныхвеличин ξ1 , .
. . , ξn , то рассмотривают совместное распределение этих случайных величин.Определение 2.8. Совместной функцией распределения случайных величин ξ1 , . . . , ξn называется функция действительных переменныхx1 , . . . , xn , определяемая в каждой точке какF (x1 , . . . , xn ) = P{ξ1 < x1 , ξ2 < x2 , . . . ξn < xn }.Зная совместную функцию распределения, можно найти функциюраспределения Fξi (x) случайной величины ξi , i = 1, n), устремив остальные переменные xi → +∞.
ТакFξ1 (x1 ) = F (x1 , +∞, +∞, . . . , +∞),Fξ2 (x2 ) = F (+∞, x2 , +∞, . . . , +∞, и т.д.Определение 2.9. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn называются независимымы, если для любых борелевских множеств B1 , . . . , Bn на прямойвыполняется равенствоP{ξ1 ∈ B1 , ξ2 ∈ B2 , . . . , ξn ∈ Bn } =nYP{ξi ∈ Bi }.i=1Можно сформулировать критерий независимости случайных величинчерез функции распределения.Теорема 2.4.
Случайные величины независимы тогда и только тогда,когда совместная функция распределения этих величинF (x1 , . . . , xn ) =nYFξi (xi )i=1во всех точках n–мерного пространства.Важными числовыми характеристиками совместного распределенияслучайных величин являются ковариация и коэффициент корреляции.Определение 2.10. Ковариацией двух случайных величин ξ и η называетсяcov(ξ, η) = E(ξ − Eξ)(η − Eη).41Эта числовая характеристика обладает следующими свойствами:1. cov(ξ, η) = E(ξη) − EξEη,2. cov(ξ, η) = cov(η, ξ),3.
cov(λξ, η) = λcov(ξ, η) для любой константы λ,√ √4. |cov(ξ, η)| ≤ Dξ Dη — неравенство Коши–Буняковского, выполняющееся для всех случайных величин, имеющих конечные моменты второго порядка,5. для независимых случайных величин ξ и η выполняется равенствоcov(ξ, η) = 0.Определение 2.11. Коэффициентом корреляции двух случайныхвеличин ξ и η называетсяcov(ξ, η)%(ξ, η) = √ √ .Dξ DηОтметим важные свойства коэффициента корреляции.1.
|%| ≤ 1. Это свойство следует из неравенства Коши – Буняковского.2. Коэффициент корреляции является безразмерной величиной, он независит от единиц масштаба, в которых измеряются случайные величины ξ и η.3. Абсолютная величина коэффициента корреляции не меняется прилинейных невырожденных преобразованиях случайных величин ξи η.4. Для независимых случайных величин ξ и η коэффициент корреляции равен 0. Однако равенство 0 коэффициента корреляции возможно и для зависимых случайных величин. В этом случае их называют некоррелированными.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
