chapter2 (1115288), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Геометрическая вероятность.Рассмотрим n-мерное вещественное пространство R n . Пусть в какую-тоограниченную область   R n наудачу бросили точку. Слово «наудачу» означает,что в таком эксперименте все точки области  «равновозможны». В этом случаевероятность попадания этой точки в какую-то подобласть A   определяетсяформулойV ( A)P( A) ,V ( )где V ( A) и V () – n-мерные объемы областей A и  соответственно. Здесьэлементарными исходами называются точки множества  (которое играет рольпространства элементарных исходов), а благоприятствующими исходами – точкимножества A .Задача 6.

Точку наудачу бросили на отрезок [0,2] . Какова вероятность попаданияэтой точки на интервал [0,5, 1,4] ?Решение. Здесь пространство элементарных исходов весь отрезок   [0,2] , амножество благоприятствующих исходов A  [0,5, 1,4] , при этом длины этих4интервалов равны l ()  2и l ( A)  0,9 . Поэтому вероятность попаданияl ( A) 0,9 0,45 .брошенной точки в указанный интервал равна P( A) l ( )2Задача 7. На отрезок [0,2] бросили наудачу и поочередно две точки. Каковавероятность, что первая точка лежит правее второй точки?Решение.

Обозначим получившиеся координаты точек через x и y. Элементарнымисходом в таком бросании двух точек будет пара ( x, y ) , а пространствомэлементарных исходов – квадрат   ( x, y ) : x, y  [0,2] . Событие A={перваяточка лежит правее второй точки} равносильно условию x>y, следовательно,A  ( x, y ) : x, y  [0,2], x  y, т.е. представляет собой треугольник (см. рисунок).Площади квадрата и треугольника равны соответственно S ()  4 и S ( A)  2 , аS ( A) 2  0,5 .потому вероятность P( A) S ( ) 4Рис.

1.Задачи для самостоятельного решения1. Построить пространство элементарных исходов для эксперимента, в котороммонета бросается 3 раза.2. Построить пространство элементарных исходов для эксперимента, в которомвытаскиваются две карты из колоды в 36 карт.3. Четыре человека вошли в лифт на первом этаже шестиэтажного дома. Найтивероятности следующих событий: а) все пассажиры выйдут на шестом этаже;б) все пассажиры выйдут на одном и том же этаже; в) все пассажиры выйдутна разных этажах.4. Семь человек вошли в лифт на первом этаже восьмиэтажного дома.

Каковавероятность, что на одном этаже вышли два человека?5. Бросают две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма очков,выпавших на обеих костях, не превзойдет 5?6. Какова вероятность того, что в 4 бросаниях кости хотя бы один раз выпадет«единица»?7. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек приходятся на разныемесяцы года.8. В урне 5 белых и 4 черных шара. Из урны наугад вынимают два шара.

Каковавероятность того, что это будет: а) два белых шара; б) два черных шара; в)один черный и один белый.9. Пять клиентов случайным образом обращаются в 4 фирмы. Каковавероятность, что хотя бы в одну фирму никто не обратится?10. На остановке 10 человек случайным образом выбирают один из 10 вагоновпоезда. Найти вероятность того, что ровно в один вагон никто не войдет.511. В каждой упаковке товара имеется одна из 5 различных наклеек. Каковавероятность собрать их все, купив 7 упаковок товара?12. Шесть шаров случайным образом раскладывают по 3 ящикам.

Найтивероятность того, что во всех ящиках будет разное число шаров.13. Найти вероятность того, что в 6-значном номере 3 цифры совпадают , аостальные различны (считаем, что пятизначные номера могут начинаться снуля).14. Семь человек становятся случайным образом в очередь один за другим.Какова вероятность того, что два определенных человека, скажем А и В,станут рядом?15.

В очередь в булочную случайным образом встали 8 женщин и 2 мужчин.Какова вероятность того, что между мужчинами будут стоять 2 женщины.16. В очередь в кассу стоят 9 человек (трое мужчин, четыре женщины и двоедетей). Какова вероятность, что между некоторыми двумя мужчинами будутстоять двое детей и одна женщина?17. В партии из 8 изделий 3 изделия – высшего качества. Найти вероятность того,что среди отобранных (без возвращения) 4 изделий – ровно одно изделиевысшего качества.18. Из 10 проданных за день холодильников 4 имеют скрытые дефекты.

Найтивероятность того, что среди выбранных наудачу 5 холодильников будет ровно2 без скрытых дефектов.19. 6 шаров случайным образом раскладываются по 3 ящикам. Найти вероятностьтого, что в первом ящике лежит 4 шара.20. На шахматную доску случайным образом поставлены две ладьи. Каковавероятность того, что они не будут бить друг друга?21.

Группа из 18 студентов пишет контрольную работу из 3 вариантов (по 6человек в каждом). Найти вероятность того, что среди случайно выбранных 5студентов есть писавшие каждый вариант.22. На группу из 10 человек предоставлено для производственной практики 6мест в лаборатории № 1 и 4 места – в лаборатории № 2.

Какова вероятностьтого, что при случайном распределении мест двое неразлучных друзей из этойгруппы попадут на практику в одну лабораторию?23. В трех студенческих группах 72 человека (24 человека в группе по 12 юношейи 12 девушек). Наудачу выбраны 5 человек. Какова вероятность, что срединих будут девушки из всех трех групп?24. Из колоды в 36 карт выбираются наугад 4 карты.

Найти вероятность, чтосреди них окажется хотя бы один туз.25. В лотерее из 50 билетов 5 выигрышных. Какова вероятность того, что средипервых пяти наугад выбранных билетов два будут выигрышными?26. Работа каждого из четырех студентов заочного отделения может проверятьсяодним из четырех преподавателей. Какова вероятность, что все четыре работыпроверены разными преподавателями?27. Найти вероятность того, что в пятизначном числе имеются 2 четные цифры и3 нечетные, при условии, что все они различны (считаем, что пятизначноечисло не может начинаться с нуля).28.

В ящике находятся 5 белых, 3 красных и 2 черных шара. Наудачу выбирает 6шаров. Найти вероятность того, что выборка будет содержать 3 белых, 2красных и 1 черный шар, если: а) выборка производится без возвращения (все6 шаров отбираются сразу); б) выборка производится с возвращением(фиксируется цвет выбранного шара, после чего он возвращается в ящик).629. Какова вероятность, что дуэль состоится, если каждый из дуэлянтов приходитна место дуэли в случайный момент времени между 5 и 6 часами и ждетпротивника в течение 5 минут?30. Две подруги договорились встретиться в условленном месте в промежутке от17 до 19 часов.

Пришедшая первой ждет другую не более 15 минут. Каковавероятность, что подруги не встретятся?31. На отрезок [2,5] наудачу бросаются две точки. Какова вероятность, чторасстояние между ними меньше 2?32. На отрезок [-1,2] наудачу брошены две точки. Какова вероятность, чторасстояние между ними больше 1?33. Точку бросают случайным образом на квадрат площади 100см2. Каковавероятность, что координаты x,y этой точки отличаются друг от друга неболее, чем на 1 см?34. Два теплохода должны подойти к одному и тому же причалу.

Время приходаобоих теплоходов независимо и равновозможно в течение данных суток.Найти вероятность того, что ни одному из теплоходов не придется ожидатьосвобождения причала, если время стоянки первого теплохода — 1 час, авторого — 2 часа.35. Студент может добраться до факультета либо на автобусе, интервал движениякоторого составляет 7 минут, либо на троллейбусе, интервал движениякоторого составляет 10 минут.

Найти вероятность того, что студенту,пришедшему на остановку в случайный момент времени, придется ждать неболее трех минут.36. Наудачу взяты два положительных числа Х и Y, каждое из которых непревышает единицы. Найти вероятность того, что сумма Х + Y непревышает 1, а произведение ХY не меньше 0,09.37. Найти вероятность того, что из трех наудачу взятых отрезков длиной неболее L можно построить треугольник.38. В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длиной 10 км равновозможное, произошел разрыв.

Определить вероятность того, что точка Судалена от точки А, где находится ремонтная станция, на расстояние, неменьшее 1 км.39. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной а брошена монетаaрадиуса r ( r  ) . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной2из сторон квадрата.40. Найти вероятность максимального выигрыша в спортлото (угадать 6 из 49).41. В пачке 1000 лотерейных билетов, из которых 10 выигрышные.

Каковавероятность выиграть хоть что-нибудь, имея: а) 3 билета; б) 100 билетов?42. Задача Бюффона. Плоскость разграфлена параллельными прямыми,отстоящими друг от друга на расстояние 2а. На плоскость бросают наудачуиглу длиной 2l (l  а). Найти вероятность того, что игла пересечет какуюнибудь прямую.78.

Характеристики

Список файлов книги