Ergodic Theory - Kozlov - Lectures - MAIN (1114445), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Îáîçíà÷èì ν(n)ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ïî íîìåðó ìåíüøèõ n, ëåæà-[a, b] ∈ [0, 1]n ýëåìåíòîâè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü[a, b].21Îïðåäåëåíèå 2.Åñëèν(n)= b − a = mes In→+∞ nlimòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòüíîé â îòðåçêå[0, 1].äëÿ ëþáîãî èçìåðèìîãî{xk }, k ≥ 1I ∈ [0, 1],íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí-Êðàòêî ýòî çàïèñûâàåòñÿ êàê{xk }ð.ð.(mod 1).Óòâåðæäåíèå 2. Åñëè {x } ð.ð. (mod 1), òî îíà âñþäó ïëîòíî çàïîëníÿåò [0, 1].Äîêàçàòåëüñòâî. Îò ïðîòèâíîãî: ïðåäïîëîæèì, ÷òî ∃x0 è δx0 òàêèå, ÷òî∀k xk ∈/ δx0 . Ðàññìîòðèì I 6= 0, I ⊂ x0 .
Òîãäà ν(n) ≡ 0 ∀n èìååìïðîòèâîðå÷èå.Ïðèìåð. x= {λn }, òóò ôèãóðíûå ñêîáêè îçíà÷àþò äðîáíóþ ÷àñòü ÷èñ-nëà.Óïðàæíåíèå 11.ëåíà íàÅñëèα ∈ Q, òî xn = {λn } íå ðàâíîìåðíî ðàñïðåäå-[0, 1].Òåîðåìà 13. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {x }ð.ð. (mod 1), òîãäà è òîëüêînòîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîé èíòåãðèðóåìîé ïî Ðèìàíó ôóíêöèè f (x), 0 ≤x ≤ 1 ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñâîéñòâî:f (x1 ) + .
. . + f (xn )lim=n→+∞nZ1f (x)dx.(2)0Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íîñòü:Åñëè f (x) õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿôóíêöèÿ, òî ýòî îïðåäåëåíèå,fèí-òåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó.Íåîáõîäèìîñòü.1) Ïóñòü{xn }ð.ð.(mod 1).Òîãäà (2) ñïðàâåäëèâî äëÿ õàðàêòåðè-ñòè÷åñêîé ôóíêöèè îòðåçêà.2) Ïî ëèíåéíîñòè (2) ñïðàâåäëèâî äëÿ ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé.3) Ïóñòüf ëþáûå èíòåãðèðóåìûå ïî Ðèìàíó ôóíêöèè.Òîãäà∀ε > 0 ∃f1 , f2 ñòóïåí÷àòûå ôóíêöèè, òàêèå ÷òîf1 (x) ≤ f (x) ≤ f2 (x) ∀x ∈ [0, 1]22èZ1(f2 − f1 )dx < ε.0Óïðàæíåíèå 12.∃Nm (ε) : ∀n > Nm , (m = 1, 2) nZ1Xfm (xk )− fm (x)dx < ε. k=1 nÄëÿ 3) äîêàçàòü, ÷òî0ÒîãäàN (ε) = max(N1 , N2 ), ïîýòîìóZ1f(x)+...+f(x)1n lim < 3ε.−f(x)dxn→+∞n0∀n > N (ε)f (x1 ) + . .
. + f (xn )=limn→+∞nÒåîðåìà 14 (Êðèòåðèé ð.ð.).Z1f (x)dx0(mod 1) Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }, n ≥1 ð.ð. (mod 1), òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ∀m ∈ Z, m 6= 0e2πimx1 + . . . + e2πimxn=0limn→+∞nÏðèìåð.xk = {αk }, α ∈/ Q.Òîãäàke2πimxk = e2πimα = e2πimαk,ïîýòîìónkX(e2πimα )k=1n=1 e2πim(n+1)α − e2πimα→ 0,ne2πimα − 1Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü.e2πimx ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ îò xf (x) ∼+∞Xñ ïåðèîäîì(am sin 2πmx + bm cos 2πmx) =m=−∞n → ∞.1.+∞Xm=−∞23cm e2πimx .Ïðèf ∈ R, cm = c−m .Äîñòàòî÷íîñòü.1)f =0 äîêàçàíî.2) äîêàçûâàåìàÿ ôîðìóëà âåðíà äëÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ïîëèíîìîâf (x) =Xcm e2πimx .|m|≤N3) ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà, åñëèf íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òîíàéäåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîìp(x),∀ε > 0òàêîé ÷òî|f (x) − p(x)| < ε ∀x ∈ [0, 1].Îáîçíà÷èìf1 = p(x) − ε,f2 = p(x) + ε.Èìååì, ÷òîf1 < f (x) < f2 ,èf1 , f2 òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ïîëèíîìû.
Ñëåäîâàòåëüíî òåîðåìà ñïðà-âåäëèâà äëÿ âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé.4) Òàê êàê∀ ε ∃ f1 , f2 ∈ C[0, 1] :f1 (x) ≤ f (x) ≤ f2 (x)èZ1(f2 − f1 )dx < ε,0òî òåîðåìà ñïðàâåäëèâà äëÿ èíòåãðèðóåìûõ ïî Ðèìàíó ôóíêöèé.Ïðèìåð (Ïðèìåðû ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ ïî ìîäóëþ 1ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé). α ∈/ Q{αn} {αn }.Ïðè{P (n)}ïîñëåäîâàòåëüíîñòèè2 ìíîãî÷ëåí, ó êîòîðîãî åñòü õîòÿ áû îäèí èððàöèîíàëüíûé êî-ýôôèöèåíò êðîìå ñâîáîäíîãî.α{n }, 0 < α < 1,{(ln n)α }, α > 1.Óïðàæíåíèå 13.Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòüðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé ïî ìîäóëþ1,{ln n} íå ÿâëÿåòñÿ[0, 1]íî âñþäó ïëîòíà íàÎòêðûòîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíàÿ ðàñïðåäåëåííîñòü ïî ìîäónëþ 1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {α }.24×àñòü VIËåêöèÿ 7Óïðàæíåíèå 14 (Çàäà÷à î ïåðâûõ öèôðàõ ñòåïåíåé 2).Ìû õîòèìóçíàòü ÷àñòîòó ïîÿâëåíèÿ êàæäîé öèôðû ñðåäè ïåðâûõ öèôð ñòåïåíåéäâîéêè.gg = {1, 2, .
. . , 9}.Ñðåäíÿÿ ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ g â nν(g)èñïûòàíèÿ âû÷èñëÿåòñÿ êàê. Îáîçíà÷èì νn (g) êîëè÷åñòâî ÷ëåíîâ ïînñëåäîâàòåëüíîñòåé, ïåðâàÿ öèôðà êîòîðûõ ðàâíà g , ñ íîìåðîì ìåíüøèìÏóñòü öèôðà,n.Òîãäàlimνn (g)ng â êà÷åñòâå(3)n→∞ ýòî ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ öèôðûïåðâîé öèôðû ñòåïåíèäâîéêè.Óòâåðæäåíèå 3.
Âåðíû ñëåäóþùèå äâà ïðåäëîæåíèÿ.1. Ïðåäåëñóùåñòâóåò. 1+g12. Ïðåäåë ðàâåí lg g = lg 1 + g(3)Ïîýòîìó ñðåäè ïåðâûõ öèôð ñòåïåíè äâîéêè âñòðå÷àåòñÿè òàê äàëåå, äî9.Äîêàçàòåëüñòâî.öèôðû g .Âûïèøåì óñëîâèå, îçíà÷àþùåå, ÷òîg10k 6 2n < (g + 1)10kïðè íåêîòîðîì öåëîìk > 0.Ïðîëîãîðèôìèðîâàâ, ïîëó÷èìlg g + k 6 n lg 2 < lg(g + 1) + k.Âîçüìåì äðîáíóþ ÷àñòü îò ýòîãî âûðàæåíèÿ:{lgg} 6 {n lg 2} < {lg(g + 1)}.Òàê êàê1, çàòåì 2, 3lg g < 1,òîlg g 6 {n lg 2} < lg(g + 1).252níà÷èíàåòñÿ ñÐàññìîòðèìxn = {nlg2} ∈ (0, 1).Åñëè îíà ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà íà îòðåçêåíèÿ öèôðûg(0, 1),òî ÷àñòîòà ïîÿâëå-â êà÷åñòâå ïåðâîé öèôðû ñòåïåíè äâîéêè (ïî êðèòåðèþÂåéëÿ) ðàâíà1lg (g + 1) − lg g = lg 1 +gÎòñòóïëåíèå.Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{nα}, α ∈ R \ Qðàâíîìåðíî ðàñïðå-äåëåíà.Òàêèì îáðàçîì, íàì ïðîñòî îñòàëîñü ïðîâåðèòü, ÷òîÄîêàçàòåëüñòâî.lg 2 ∈ R \ Q.Îò ïðîòèâíîãî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òîlg 2 ðàöèîíàëü-íîå ÷èñëî. Òîãäàplg 2 = , p ∈ Z, q ∈ N.qqqpp pq−pÒî åñòü, lg 2 = p, 2 = 10 = 2 5 .
Ñëåäîâàòåëüíî, 2= 5p ,p = 0 èëè p = q ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå.Óïðàæíåíèå 15.òî åñòüÐàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.Ñ êàêîé öèôðû ÷àùå âñåãî íà÷èíàþòñÿ ÷èñëà â íàòóðàëüíîì ðÿäó?lim νn (g) , åñëè îí ñóùåñòâóåò.n→∞ nËåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ïðåäåëà â îáû÷íîì ñìûñëå íå ñóùåñòâóåò.Áóäåì èñêàòüg10k < n < (g + 1)10k , n ∈ Z, n > 0,lg g + k < ln n < lg g + 1lg g < {lg n} < lg (g + 1){ln n} íå ðàñïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî íàε > 0 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {lg1+ε n} ýòî ðàâíîìåðíîÊ ñîæàëåíèþ, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü[0, 1].Îäíàêî ïðèðàñïðåäåëåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.Èìåííî, ïóñòü äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{sn }.Ðàññìîòðèì ïðåäåës1 + .
. . + sn.n→∞nlims, òî ãîâîðÿò, ÷òî→ s(C), n → ∞).Åñëè òàêîé ïðåäåë ñóùåñòâóåò è ðàâåííîñòü{sn }ñõîäèòñÿ êÓïðàæíåíèå 16.sïî ×åçàðî (snÄîêàæèòå, ÷òî åñëèsn → s, n → ∞,ïîñëåäîâàòåëü-òîsn → s(C),òîåñòü â ñëó÷àå, êîãäà ñóùåñòâóåò îáû÷íûé ïðåäåë, ýòîò ïðåäåë è ïðåäåëïî ×åçàðî ñîâïàäàþò.26Ïðèìåð.Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü1, 0, 1, 0, 1, . . ..Ýòî ðàñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, îäíàêî ó íåå ñóùåñòâóåò ïðåäåë1ïî ×åçàðî, ðàâíûé .2Ïðèìåð.Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòüsn =1,åñëè ÷èñëî íà÷èíàåòñÿ ñ íóæíîé öèôðû0,Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè{2n }â ïðîòèâíîì ñëó÷àåïîñëåäîâàòåëüíîñòüsn×åçàðî, íî äëÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë9.1sn{sn }ñõîäèòñÿ ïîïî ×åçàðî íå ñõîäèòñÿ.Ìåòîä Ðèññà (R, pn )p1 s1 +...+pn sn.p1 +...+pn∞Ppk ðàñõîäèòñÿ.Ïóñòü âñå pi > 0 è ðÿäk=1Òîãäà åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåëÐàññìîòðèì ñóììóp 1 s1 + . . .
+ p n sn= s,n→∞p1 + . . . + pnlimòî ãîâîðÿò, ÷òîsn → s(R, pn ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòüÐèññó ñ âåñîâûìè êîýôôèöèåíòàìèsnñõîäèòñÿ êsïîpn .Òåîðåìà 15 (×åçàðî). Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {p } òàêóþ,n÷òî pi > 0∀i ∈ N.1. Åñëè pn âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî ñõîäèìîñòü ïî×åçàðî âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñõîäèìîñòü ïî Ðèññó ñ âåñîâûìè êîýôôèöèåíòàìè pn .2. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü pn óáûâàåò, òî ñõîäèìîñòü ïî Ðèññóâêëþ÷àåò â ñåáÿ ñõîäèìîñòü ïî ×åçàðî. ñëó÷àå, êîãäà ñóùåñòâóåò ïðåäåëlimpnn→∞ p1 +...+pnïî Ðèññó ýêâèâàëåíòíà îáû÷íîé ñõîäèìîñòè.Ïðèìåð.= c, c > 0ñõîäèìîñòüÐàññìîòðèì â êà÷åñòâå âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ ïîñëåäîâà1ãäå pn = .nÒîãäà ñõîäèìîñòü ïî Ðèññó âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñõîäèìîñòü ïî ×åçàðî. Òàêîéòåëüíîñòü{pn },ìåòîä Ðèññà íàçûâàþò ëîãàðèôìè÷åñêèì.27Òåîðåìà 16. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü1, åñëè ÷èñëî íà÷èíàåòñÿ ñ äàííîé öèôðû0, â ïðîòèâíîì ñëó÷àåñõîäèòñÿ ê lg 1 + g1 â ñìûñëå (R, n1 ).sn =×àñòü VIIËåêöèÿ 89.2Ëîãàðèôìè÷åñêèé ìåòîä ñóììèðîâàíèÿÐàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòüsn . ñëó÷àå, êîãäà ñóùåñòâóåò ïðåäåës1 + s22 + .
. . + snnlim= s,n→∞ 1 + 1 + . . . + 12nãîâîðÿò ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ïî Ðèññó ñ âåñîâûìè êîýôôè11öèåíòàìèè ïèøóò sn → s(R, ).nnÒåîðåìà 17 (Äóíêàí). Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü n, n∈ N.Òîãäà ÷àñòîòàïîÿâëåíèÿ öèôðû a â êà÷åñòâå ïåðâîé öèôðû n ðàâíàlg 1 + a1 .Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü A = {aν }.Îáîçíà÷èì ÷èñëà, íà÷èíàþùèåñÿ ñ öèôðûÎáîçíà÷èì1 X 1n→∞ ln naa 6n νδ(A) = limνÂû÷èñëèì íèæíèé è âåðõíèé ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.kÏðè n = a10 − 11k→∞ ln (a10k − 1)δ(A) = limk−1Xaν 6a10k −11=aν1 X= lim(H((a + 1)10ν − 1) − H(a10ν − 1)) =k→∞ k ln 10ν=11 X= limk − 1 (H((a + 1)10ν ) − H(a10ν )) =k→∞ k ln 10ν=128aêàêaν .k−11 X= lim(H((a + 1)10ν ) − H(a10ν )) =k→∞ k ln 10ν=1!k−1X a+11k−1a+1a+1= limln+ c = limln= lg.k→∞ k ln 10k→∞ k ln aaaaν=19.3Ìåòîä ñóììèðîâàíèÿ Ðèññà (R, pn )Èìååì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè{sn }, {pn } pn > 0 ∀n ∈ Nè ðÿä∞Ppiðàñ-i=1õîäèòñÿ.Óïðàæíåíèå 17.Äîêàæèòå, ÷òî(R, pn ) ðåãóëÿðíûé ìåòîä ñóììèðî-âàíèÿ, òî åñòü åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ â îáû÷íîì ñìûñëå, òîîíà ñõîäèòñÿ è ïî Ðèññó ({sn }→ s, n → ∞,òîãäàsn → s(R, pn )). ñëó÷àå, êîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâêîâà, ÷òî{pn } òà-pn=0n→∞ p1 + .
. . + pnlimìåòîä Ðèññà ñèëüíåå îáû÷íîé ñõîäèìîñòè.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, îí ýêâèâàëåíòåí îáû÷íîé ñõîäèìîñòè.9.4Ñîâìåñòèìûå ìåòîäûÏóñòü ó íàñ åñòü äâà ìåòîäàÎïðåäåëåíèå 3.00s (S )ïðèn→Ìåòîäû∞, è s = s0 .SSèèS 0.S0sn → s(S),ñîâìåñòèìû åñëèsn →Ìåòîäû Ðèññà íå óäîâëåòâîðÿþò ñâîéñòâó ñîâìåñòèìîñòè.9.5Ìåòîä Âîðîíîãî (W, pn )Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{pn },ãäåp1 > 0,à îñòàëüíûå ÷ëåíûíåîòðèöàòåëüíûå.Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåëlimn→∞òî ãîâîðÿò, ÷òîp1 sn + p2 sn−1 + . . . + pn s1= s,p1 + . . . + pnsn → s(W, pn ).29Óòâåðæäåíèå 4. Ëþáûå äâà ðåãóëÿðíûõ ìåòîäà Âîðîíîãî ñîâìåñòèìû.Óñëîâèå ðåãóëÿðíîñòè:pnn→∞ p1 + . .
. + pnlimÐàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòüsn =1,{sn }:åñëè ÷èñëî íà÷èíàåòñÿ ñ íóæíîé öèôðû0,â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.Òåîðåìà 18. Åñëè W ðåãóëÿðíûé ìåòîä Âîðîíîãî, òî sõîäèòñÿ â ñìûñëå ñõîäèìîñòè Âîðîíîãî.nâñåãäà ðàñ-Ëèòåðàòóðà:Âåñîâûå ðàñïðåäåëåíèÿ, ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå è ñòðîãàÿ ýðãîäè÷íîñòü. ÓÌÍ, 2005, 26.Óïðàæíåíèå 18.Äîêàçàòü, ÷òî ÷àñòîòû ïîÿâëåíèÿ öèôðâòîðîì ìåñòå â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëÿ äëÿ9.6n∈Nlg11 2191...10 2090lg20 30100...19 29990,0, 1, 2, . . .
, 9 íàðàâíû ñîîòâåòñòâåííî9.Óïðàæíåíèå 19.n-îì{n},Äîêàæèòå, ÷òî ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ëþáîé öèôðû1ïðè n → ∞.10gíàìåñòå ñòðåìèòñÿ êÌåòîä Ìîíòå-Êàðëî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâÄëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà ìîæíî âçÿòü ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííóþ ïî-[0, a], ê ïðèìåðó, {nα},S = {x mod 2π}.ñëåäîâàòåëüíîñòü íàîêðóæíîñòüÎïðåäåëåíèå 4.ãäåÐàññìîòðèì äóãó îêðóæíîñòèα ∈ R \ Q.SÐàññìîòðèìè ïîñ÷èòàåì êîëè÷ås0 .ñòâî òî÷åê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ïîïàäàþùèõ â íåå. Ïóñòü îíî ðàâíîÏîñëåäîâàòåëüíîñòü{xn } ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà íà îêðóæíîñòè, åñëèνn (s0 )mes s0l0==,n→∞nmes s2πlimãäål0 äëèíà ðàññìàòðèâàåìîé äóãè, à0äàþùèõ â äóãó s .30νn (s0 ) êîëè÷åñòâî òî÷åê, ïîïà-Òåîðåìà 19 (Êðèòåðèé ðàâíîìåðíîé ðàñïðåäåëåííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íà îêðóæíîñòè).
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {x } ðàâíîìåðíînðàñïðåäåëåíà íà îêðóæíîñòè S òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà eimxn →0 (C), n → ∞ ∀m 6= 0, m ∈ Z.T : S → S.ÐàññìîòðèìÑäâèíåì òî÷êóxíà òîðå íàα.Òîãäàx →α + x.Òåîðåìà 20. Åñëèíå ÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíûì ÷èñëîì, òî ∀x ïîñëåäîâàòåëüíîñòü T x ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà íà S .nα2πÒåîðåìà 21 (ßêîáè). Åñëèîêðóæíîñòè S .Óïðàæíåíèå 20.êàçàòü, ÷òîf (Tðàâíîìåðíàÿ ïînÏóñòü1x) → 2πx,òî åñòüα2π∈ R \ Q, òî {T n x} âñþäó ïëîòíà íàαRf ∈ R(S), f (x + 2π) = f (x), 2π ∈ R \ Q. Äî2πf (z)dz (C), n → ∞, è ýòà ñõîäèìîñòü0f (x) + f (T x) + . . . + f (T n x)1→n+12πZ2πf (z)dz0ðàâíîìåðíî ïîx.Òåîðåìà 22 (Âåéëü, 1916). Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {x } ðàâíînìåðíî ðàñïðåäåëåíà ïî ìîäóëþ 1, ôóíêöèÿ f ∈ R[0, 1], à pn âåñîâûåêîýôôèöèåíòû.ÒîãäàZ1p1 f (x1 ) + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
