Ergodic Theory - Kozlov - Lectures - Lecture 10 (1114444)
Текст из файла
1 Ëåêöèÿ 101.1 Äèñêðåòíûé àíàëîã òåîðåìû ÁîëÿÏóñòü f (x) - ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì 1. Ïóñòü α ∈/ Q , îáîçíà÷èì ÷åðåç Sn =Pnj=1 f (jα + x) .RÒåîðåìà: Ïóñòü f ∈ C 2 , òîãäà ∀N, ∀ε > 0∃n ≥ N : |Sn (x)| < ε . È 01 f (x)dx =< fS>= 0 .4 Ìíîæåñòâîèððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå îáúåäèíåíèÿ K1 K2 ,Tïðè÷åì K1 K2 - ïóñòî. K1 îïðåäåëèì ñëåäóþùèì îáðàçîì: ×èñëî α ∈ K1 òîãäà è òîëüêîòîãäà ⇔ , êîãäà íåðàâåíñòâî |nα − m| < n−3\2 èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé â öåëûõ÷èñëàõ. Îñòàëüíûå èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà îòíåñåì ê K2 . Çàìåòèì, ÷òî â îïðåäåëåíèè K1m è n ìîæíî ñ÷èòàòü âçàèìíî ïðîñòûìè.
Çàìåòèì, ÷òî K2 èìååò ïîëíóþ ìåðó íà R , K1âñþäó ïëîòíî è èìååò ìîùíîñòüPêîíòèíóóìà.∞1Ëåììà 1: Åñëè α ∈ K2 , òîn=1 n2 |nα−mn | < ∞ , ãäå mn - ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåëûõ÷èñåë.P1Äîêàæåì ëåììó. Ïóñòü S = ∞n=1 n2 |nα−mn | , íàñ èíòåðåñóåò ñëó÷àé |nα − mn | < 1 (èíà÷åíàñ íå óñòðàèâàåò).njk+1njk , k12j+1≤ |njk α − mnj | <k1,j2j= 0, 1, 2, .
. . . Ïðè ýòîì ìîæíî óïîðÿäî÷èòü:1>= 1, 2, . . . . Çàïèøåì íåðàâåíñòâî: |(njk+1 − njk )α − m| < 2j−1, è åùå îäíî:1|nα − m| < 2j−1 , Nj = minn ≥ 1 , (÷òî òàêîå n ?)3\21⇒ nj1 ≥ Nj ⇒ njk ≥ kNj , Nj ≥ 2j−1 ⇒(njk+1 − njk ) ≥ Nj |nj1 α − mnj | < 21j < 2j−11Nj ≥ [2j−1 ]2\3 Îáîçíà÷èì ÷åðåç Sj - ÷àñòü S , îòâå÷àþùóþ j - îìó íåðàâåíñòâó:√P∞ 1P∞ 2j+1P2π 2 √2j+1π 2 2j−1 41 j−1 31Sj = ∞3 >k=1 n2 < 6[2j−1 ]4/3 = 3 ( 3 2 )k=1 (kNj )2 = Nj2k=1 (nj )2 |nj α−m j | ≤kknkP2 P( 3 √1 2 )j−1 < ∞ îòñþäà ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.1⇒Sj < 2π3Ëåììà 2: Èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî |e2πinα − 1| ≥ 4|nα − m| äëÿ íåêîòîðîãî öåëîãî m .Äîêàæåì ëåììó: |eπinα − e−πinα | = 2| sin(πnα)| = 2|sinπ(nα − m)| ≥ 4|nα − m| .
PËåììà 3: Åñëè f ∈ C 2 , òî ∃g ∈ C òàêàÿ, ÷òî: g(x + 1) = g(x) , Sn (x) = nj=1 f (jα +P+∞2πinxx) = g((n + 1)α + x) − g(x) . Äîêàæåì ëåììó: f (x) =, xmod1 , òàê êàêne−∞ fPP+∞nc22πm(jα+x)f ∈ C , òî |fn | ≤ n2 , n ≥ 1 (ãðóáàÿ îöåíêà). Sn (x) ==j=1−∞ fm ePn 2πimjα 2πimx P+∞ fm e2πimx (e2πimα(n+1) −1)P+∞P+∞2πimxmee= m=−∞Áåðåì g(x) = m=−∞ ef2πimα.j=1 em=−∞ fme2πimα −1−1c2πimαÈç ëåììû 2 ñëåäóåò, ÷òî: |e− 1| ≥ 4|mα − l|, α ∈ K2 . Ïðèìåíÿåì ëåììó 1: |fm | ≤ m2 ,òàê êàê f ∈ C 2 . Ðÿä äëÿ ôóíêöèè g(x) ñõîäèòñÿ è ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé 1-ïåðèîäè÷åñêîéôóíêöèåé.P+∞cÌàæîðàíòà:m=−∞ em2 |mα−lm| < ∞ ⇒ Sn (x) = g((n + 1)α + x) − g(x) ¤Çàìå÷àíèå: Âìåñòå ñ ýòèìè ëåììàìè äîêàçàíà òåîðåìà äëÿ α ∈ K2 .
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{x + (n + 1)α} âñþäó ïëîòíî ðàñïðåäåëåíà íà [0; 1] , à òàê êàê g - íåïðåðûâíà, òî Sn (x)ñêîëü óãîäíî ìàëà ðàâíîìåðíîx . Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé, êîãäà α ∈ K1 .P∞ ïî1π2Âû÷èñëåíèå Ýéëåðà :n=1 n2 = 6 . Ïîÿñíèì ýòî âû÷èñëåíèå. Ðàññìîòðèì èçâåñòíîåèç àíàëèçà ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè sin x â âèäå áåñêîíå÷íîãî ïðîèçâåäíèÿ: sin x = x(1 −x2x2)(1 − 4π2 ) . . . .
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèå ôóíêöèè sin x â ðÿä Òåéëîðà èπ222x2111ïðèðàâíÿåì ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ: 1 − x6 + . . . = (1 − πx2 )(1 − 4π2 ) . . . ⇒ 6 = π 2 + 4π 2 + . . . .Ëåììà: Ïóñòü f (x) - 1 - ïåðèîäè÷íà è < f >= 0 , f ∈ C 2 , α ∈ K1 .P000√ 1 + M2 , ãäå M1 = max |f (x)| , M2 = max |f (x)| .Òîãäà | j=1 nf (jα + x| ≤ M24nn14 Ôèêñèðóåì m: |α − m| < n5/2nnPPP| nj=1 f (jα + x) − j = 1nf ( jm+ x)| ≤ nj=1 |f (jα + x) − f ( jm+ x)| =nnPn0Mm1√j=1 |f (ζj )|j|α − n | ≤ nPnmm1Òåïåðü ðàññìîòðèì îöåíêó:j=1 f (j n + x) , îáîçíà÷èì xj = j n + x xk+1 − xk = n ;00R1PÌåòîä ïðÿìîóãîëüíèêîâ: n1 nk=1 f (xk ) ≤ 0 f (x)dx + f24n(ζ)2 .Pn00M2Òàê êàê < f >= 0 , |f (ζ)| ≤ M2 , | k=1 f (xk )| ≤ 24n .
Îòñþäà ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.RhRhR0Îñòàëîñü îáîñíîâàòü ìåòîä ïðÿìîóãîëüíèêîâ. −h f (x)dx = 0 f (x)dx+ −h f (x)dx = F (h)−F (−h) .000000F (h) = F (0) + F (0)h + F (0)h2 /2 + F (ζ)h3 /6 , ζ ∈ [0; h]000F (−h) = F (0) − F (0)h + F (0)h2 /2 − F 000 (η)h3 /6 , η ∈ [−h; 0]000000Rh00F (ζ)+F 000 (η)F (ζ)+F 000 (η)3f(x)dx=F(0)2h+(2h)/24òàêêàêF(h)=f(h),=22−h00f (ζ)+f 00 (η)200= f (ξ)RhÒàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè îöåíêó: −h f (x)dx − f (0)2h =00R1Pf (x)dx − n1 nk=1 f (xk ) ≤ f24n(ξ)2 Îòñþäà ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.0¤00f (ξ)(2h)3242h = 1/n ⇒1.2 Òåîðåìà î âîçâðàùàåìîñòè èíòåãðàëîâ îò äâóõ÷àñòîòíûõóñëîâíî-ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ïðèìåð ÏóàíêàðåR1R1Ðàññìîòðèì f (x1 , x2 ), x1 , x2 mod1 . Ïóñòü 0 0 f (x1 , x2 )dx1 dx2 = 0 =< f > , ñ÷èòàåì, ÷òî/ Q . f (ω1 t + x01 , ω2 t + x02 ) - óñëîâíî - ïåðèîäè÷åñêàÿx1 = ω1 t + x01 ; x2 = ω2 t + x02 , ãäå ωω21 ∈RTôóíêöèÿ âðåìåíè.
I(T, x0 ) = 0 f (ωt + x)dt . S 1 = {x1 mod1}, x2 = x02 - ñå÷åíèå (Ïóàíêàðå),R ω1îáîçíà÷èì x01 = x , ∆t = ω12 - âðåìÿ âîçâðàòà íà îêðóæíîñòü. F (x) = 0 2 f (ω1 t+x, ω2 t+x02 )dtR nR1⇒ 0ω2 f (ω1 t + x, ω2 t + x02 )dt = F (x) + . .
. + F (x + α(n − 1)) , F ∈ C 2 , 0 F (x)dx = 0 .(Óïðàæíåíèå: ïðîâåðèòü).Ïðèìåð Ïóàíêàðå.PA níè îäíîé ïðîèçâîäíîé íè â îäíîéf (x1 , x2 ) = ∞n=1 ( Λ ) cos 2π(un x1 + vn x2 ) - íå èìååò√√nòî÷êå,<f>=0u,vöåëûå÷èñëàòàêèå,÷òî:(2−1)=u+v2 , x1 , x2 mod1 .nnnn√ΛΛ = 2 + 1 , 1 < 2 < A < Λ , f - íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ(åñòü ìàæîðàíòà). Áóäåì ñ÷èòàòü,√√√÷òî: x2 = 2t, x1 = t, ω2 = 2, ω1 = 1 ωω12 ∈/ Q , x01 = x02 = 0 , un x1 + vn x2 = (un + 2vn )t =√R τ P∞ A nPA n2πt2πt( 2 − 1)n t = (Λ)t n , ðÿä ∞n=1 ( Λ ) cos( Λn ) ñõîäèòñÿ, ïîýòîìó I(τ ) = 0n=1 ( Λ ) cos( Λn )dtÏðåäîëæåíèå: I(τ ) −→ +∞(−∞), τ → +∞(−∞)4 Âîçüìåì èíòåðâàë: π2 Λn−1 ≤ t ≤ π2 Λn , n = 1, 2, . .
. , ðàçäåëèì åãî íà Λn+k :PPn−1 jtttj0 < π2 Λ−k−1 ≤ Λn+k≤ 2Λπ k < π2 , k = 0, 1, 2, . . . I(t) = ∞j=1 A sin( Λj ) =j=1 (A sin( Λj ) +PP∞n−1 jAn −Att1n−k. (I) ≤(II) : sin( Λn+k) ≥ πΛ2tn+k > Λk+1j=1 A = A−1k=0 A Psin( Λn+k ) = (I) + (II)Pn∞∞A kAnn+k/Λk+1 = AΛ= Λ−A íàøåì èíòåðâàëå ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî(II) ≥k=0 ( Λ )k=0 AAnAn −AAn 2A−Λ−1I(t) ≥ Λ−A − A−1 = A (Λ−A)(A−1) + A−1 → ∞, n → ∞, t → ∞ .¤P∞ A nf (x1 , x2 ) =2π(un x1 + vn x2 ) , ïîëîæèì x2 = 0, x1 = x ⇒ g(x) =n=1 ( Λ ) cos√√√√P∞ A n12+1 = √2−1⇒ un +vn 2 = Λ1n ⇒ (− 2−1)n = un −vn 2 =n=1 ( Λ ) cos(2πun x) ⇒ Λ =(−1)n Λn . Èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé Pìû ìîæåì íàéòè un , vn : un = (−1)n /2[Λn + (−1)n /Λn ] .∞A nnÂâåäåì ôóíêöèþ G(x) =n=1 ( Λ ) cos(2πΛ x) - ôóíêöèÿ Âåéåðøòðàññà, íå èìååòïðîèçâîäíîé íè â îäíîé òî÷êå(Õàðäè).Óïðàæíåíèå: Äîêàçàòü, ÷òî g(x) − G(x) ∈ C 1 .Ðàññìîòðèì f (x1 , x2 ) ∈ CR2 ; x1 , x2 mod1; < f >= 0 , áåðåì x01 , x02 : f (x01 , x02 ) 6= 0 .τÇàïèøåì èíòåãðàë: I(τ, x0 ) = 0 f (ω1 t + x01 , ω2 t + x02 )dt , ãäå ωω12 - èððàöèîíàëüíî.
Èíòåãðàëâîçâðàùàåòñÿ ê íóëþ (áûëî äîêàçàíî ðàíåå).Òåîðåìà:  ýòèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ I(τ, x0 ) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî íóëåé ïðè τ → ∞.(íóëè âñòðå÷àþòñÿ ñêîëü óãîäíî äàëåêî)1.3 Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ íà òîðå ñ èíâàðèàíòíûìèìåðàìèÝéëåð:ẋ = f (x, y)ẏ = g(x, y)ρ(x, y) - ïëîòíîñòü èíâàðèàíòíîé ìåðû, èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü. Óðàâíåíèå)Ëèóâèëëÿ: ∂(ρf+ ∂(ρg)= 0 . Ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíóþ ôîðìó: −ρgdx + ρf dy =∂x∂ydH(x, y) (îíà òî÷íà â ñèëó óñëîâèÿ Ëèóâèëëÿ).
∂H= −ρg , ∂H= ρf . Êàê âèäèì, H ∂x∂yïåðâûé èíòåãðàë ñèñòåìû.Òåîðåìà ßêîáè: Ïóñòü åñòü ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: ẋ = f (x) . Ïóñòü:1) èìååòñÿ (n − 2) íåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëà G1 (x), . . .P, Gn−2 (x) ,n∂ρfi2)èìååòñÿ èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò ñ ïëîòíîñòüþ ρ(x) > 0 ,i=1 ∂xi = 0 .Òîãäà óðàâíåíèÿ èíòåãðèðóþòñÿ â êâàäðàòóðàõ.Çàìå÷àíèå: Ïî÷åìó ðàññìàòðèâàåìûé êëàññ ñèñòåì ïîëåçíî èçó÷àòü? Ðàññìîòðèìñîâìåñòíûé óðîâåíü ïåðâûõ èíòåãðàëîâ: Mc = {G1 = c1 , . . . , Gn−2 = cn−2 } - âîîáùå ãîâîðÿ,ýòî äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà Mc - çàìêíóòî(ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàêïåðåñå÷åíèå çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ) è îãðàíè÷åíî.
Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî f (x) 6= 0∀x ∈Mc , è ðàññìîòðèì ñâÿçíóþ êîìïîíåíòó Mc , òîãäà Mc äèôôåîìîðôíî T2 . ßñíî, ÷òî Mc îðèåíòèðóåìàÿ ïîâåðõíîñòü. Ïî÷åìó íà òîðå áóäåò èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò? Ââåäåì íàòîðå óãëîâûå ïåðåìåííûå u, v , T2 ∼= Mc , òî åñòü â îêðåñòíîñòè òîðà ìîæíî ââåñòè nïåðåìåííûõ: z1 = G1 , . . . , zn−2 = Gn−2 , zn−1 = u, zn = v , u, v, mod2π . Íàïèøåì â ýòèõïåðåìåííûõ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå: z˙1 = 0, . .
. , żn−2 = 0żn−1 = fz˙n = gÓòâåðæäåíèå: Ýòà ñèñòåìà èìååò èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò ñ ïëîòíîñòüþ ρ(z) =1 ,...,xn )ρ(x(z)) ∂(x.∂(z1 ,...,zn )Ìîæåì çàïèñàòü óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ äëÿ íîâîé ñèñòåìû:∂(ρf )+ ∂(ρg)= 0.∂x∂yÔèêñèðóåì z1 = c1 , . . . , zn−2 = cn−2 , îòñþäà âñå ïîëó÷àåì..
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
