Ergodic Theory - Kozlov - Lectures - Lecture 1 (1114442)
Текст из файла
1 Ëåêöèÿ îò 17 àïðåëÿ 2006 ãîäà1.1 Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðåìàÏóñòü M - ïðîñòðàíñòâî ñ ñ÷åòíî-àääèòèâíîé ìåðîé µ , ïðè÷åì µ(M ) < ∞ , ïóñòü T : M →M - ïðåîáðàçîâàíèå ïðîñòðàíñòâà íà ñåáÿ, ñîõðàíÿþùåå ìåðó, òî åñòü µ(A) = µ(T A)äëÿ ëþáîãî èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà A . Òåîðåìà Ïóàíêàðå î âîçâðàùåíèè óòâåðæäàåò, ÷òîåñëè ìû â M âûáåðåì èçìåðèìîå ìíîæåñòâî A ïîëîæèòåëüíîé ìåðû, òî äëÿ ïî÷òè âñåõòî÷åê èç A âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî: åñëè ìû ðàññìîòðèì îðáèòó T x, . .
. , T n x , òî îíà áóäåòáåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç ïåðåñåêàòü ìíîæåñòâî A . Õîòåëîñü áû óòî÷íèòü ýòî óòâåðæäåíèå,îõàðàêòåðèçîâàâ ÷àñòîòó ïîïàäàíèÿ îðáèòû â ýòó îáëàñòü.  1932 ãîäó áûëà îïóáëèêîâàíàýðãîäè÷åñêàÿ òåîðåìà Äæîíà ôîí Íåéìàíà, íî ìû ñôîðìóëèðóåì ñíà÷àëà áîëåå ñèëüíûéðåçóëüòàò, îïóáëèêîâàííûé â 1931 ãîäó Áèðõãîôîì. Èñòîðè÷åñêè ñëîæèëîñü òàê, ÷òî áîëååñèëüíûé ðåçóëüòàò áûë îïóáëèêîâàí ðàíüøå.Èòàê, ðàññìîòðèì ÷èñëîâûå ôóíêöèè f : M → R .
Íàäî, ÷òîáû ôóíêöèè áûëèñîãëàñîâàíû ñ ìåðîé. Ðàññìîòðèì êëàññ ôóíêöèé,R èíòåãðèðóåìûõ â ñìûñëå ìåðû Ëåáåãà, òîåñòü òàêèõ, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò èíòåãðàë M f (x) dµ â ñìûñëå Ëåáåãà. Êàê ìû çíàåì,êëàññ èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëåáåãó ôóíêöèé îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç L1 . Ðàññìîòðèì òåîðåìóÁèðõãîôà.
Âñå èçâåñòíûå äîêàçàòåëüñòâà äîâîëüíî ñëîæíûå, äîêàçûâàòü íå áóäåì. Áèðõãîôðàññìàòðèâàåò ñëåäóþùåå âûðàæåíèåf (x)+f (T x)+...+f (T n−1 x).nÈ óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî äëÿ ïî÷òè âñåõ x ñóùåñòâóåò ïðåäåë ïðè n → ∞ . Ïðè ýòîì,ïðåäåë çàâèñèò îò x , òî åñòü ïîëó÷àåì ôóíêöèþ f (x) . ×òî ìîæíî ñêàçàòü î ïðåäåëüíîéôóíêöèè:1) f (x) îïðåäåëåíà ïî÷òè âñþäó, èíòåãðèðóåìà.2) f (x) èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ Tòî åñòü îíà ïîñòîÿííà íà îðáèòå : f (T x)R = f (x) äëÿ Rïî÷òè âñåõ x .3) Âûïîëíåíî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî: M f (x) dµ = M f (x) dµ .Çàìå÷àíèå: Ìîæíî ðàññìîòðåòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî x :f (T n x) . Åñëè f 6= const , òî â òèïè÷íîì ñëó÷àå ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàñõîäèòñÿ.
Âêà÷åñòâå f âîçüìåì õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ îáëàñòè A . Âîçüìåì òî÷êó x ∈ A . Êàêïðàâèëî, åñëè T 6= id , òî ìû âûõîäèì èç ýòîé îáëàñòè, ïî òåîðåìå Ïóàíêàðå î âîçâðàùåíèèòî÷êà áóäåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç âîçâðàùàòüñÿ â ýòó îáëàñòü.  òèïè÷íîé ñèòóàöèèïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîèò èç 0 è 1, ïðè÷åì 0 áåñêîíå÷íî ìíîãî è 1 áåñêîíå÷íî ìíîãî,òî åñòü ïðåäåëà â îáû÷íîì ñìûñëå íåò. Âìåñòî îáû÷íîé ñõîäèìîñòè íàäî áðàòü ñõîäèìîñòüïî ×åçàðî, òî åñòü ðàññìàòðèâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñðåäíèõ àðèôìåòè÷åñèõ.
Áèðõãîôäîêàçàë, ÷òî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñóììèðóåìà ìåòîäîì ×åçàðî. Ïðè÷åì îíà ñõîäèòñÿ êèíòåãðèðóåìîé ôóíêöèè. Áèðõãîô äîêàçàë ñâîþ òåîðåìó äëÿ ñëó÷àÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõôóíêöèé èçìåðèìûõ îáëàñòåé. À óêàçàííûé âûøå âèä ýòîé òåîðåìå ïðèäàë Õèí÷èí.Çàäà÷à: (îíà ïîêàçûâàåò, íàñêîëüêî Áèðõãîô óñèëèë òåîðåìó Ïóàíêàðå î âîçâðàùåíèè.)Åñëè f - õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ îáëàñòè A , µ(A) > 0 , òîãäà äëÿ ïî÷òè âñåõx ∈ A : f (Tn x) → f (x) . Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî f (x) > 0 ïî÷òèâñþäó. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ãîâîðèòü î ÷àñòîòå ïîïàäàíèÿ òî÷êè x ∈ A . Òî÷êà äâèæåòñÿn−1(Tx)ïîä äåéñòâèåì èòåðàöèé, f (x)+f (T x)+...+f- ñðåäíÿÿ ÷àñòîòà ïîïàäàíèÿ òî÷êè, êîãäà ìûnîòñ÷èòûâàåì èòåðàöèè îò 0 äî n , òî åñòü ïîëó÷àåì äîëþ âðåìåíè, êîãäà ìû íàõîäèìñÿ âýòîé îáëàñòè.
Ïðè ýòîì, ñðåäíÿÿ ÷àñòîòà ñòðåìèòñÿ ê ïðåäåëüíîé ÷àñòîòå, ïðåäëàãàåòñÿäîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïî÷òè âñåõ x ýòà ïðåäåëüíàÿ ÷àñòîòà ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà.Ãäå ìîæíî ïðî÷èòàòü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Áèðõãîôà - Õèí÷èíà?1. Õàëìîø, Ëåêöèè ïî ýðãîäè÷åñêîé òåîðèè, òàì ðàçîáðàí äèñêðåòíûé ñëó÷àé.2. Íåìûöêèé, Ñòåïàíîâ, Êà÷åñòâåííàÿ òåîðèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, íåïðåðûâíûéñëó÷àé.1.2 Òåîðåìà Ôîí ÍåéìàíàÐàññìîòðèì òåïåðü ôóíêöèè èç L2 , ââåäåì íåêîòîðûé îïåðàòîð, êîòîðûé ôóíêöèè f (x)ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå äðóãóþ ôóíêöèþ g(x) ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó: f (x) 7→ g(x) = f (T x) ,áóäåì îáîçíà÷àòü: g = U f . ßñíî, ÷òî ýòî ëèíåéíûé îïåðàòîð, ïåðåâîäèò èíòåãðèðóåìûåôóíêöèè â èíòåãðèðóåìûå.
U : L1 → L1 . Ôóíêöèÿ f (T x) - èíòåãðèðóåìàÿ, ò.ê. T ñîõðàíÿåòìåðó, èíòåãðàë ïî ìåðåR ïîëó÷àåòñÿ îäèí è òîò æå. Êðîìå òîãî, U ñîõðàíÿåò íîðìó â ýòîìïðîñòðàíñòâå. kf k1 = M |f | dµ , kf (x)k1 = kf (T x)k1 ⇒ kf k1 = kU f k1 . Òàêèì îáðàçîì, U- óíèòàðíûé îïåðàòîð, åãî íàçûâàþò îïåðàòîðîì Êóïìàíà. Åãî îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò âL2 . Ïî òåìR æå ñîîáðàæåíèÿì U ñîõðàíÿåò íîðìó â L2 .
 L2 åñòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå:(f, g)2 = M f g dµ , ãäå f, g ∈ L2 . Èíòåãðàë îò ïðîèçâåäåíèÿ ôóíêöèé èç L2 ñóùåñòâóåò,f g òîæå ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèåé, ò.ê. f g = 14 (f + g)2 − 41 (f − g)2 . (U f, U f ) =(f, f )∀f ∈ L2 .Theorem (Ôîí Íåéìàí): Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ f ∈ L2 , ïóñòü Un−1 f- îïåðàòîð Êóïìàíà, ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ âåëè÷èíó: An f = f (x)+U f +...+U. Ýòànâåëè÷èíà ñõîäèòñÿ â ñðåäíåêâàäðàòè÷íîì ñìûñëå ê ôóíêöèè f (x) , ïðè ýòîì U f = f äëÿïî÷òè âñåõ x (òî åñòü ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà).
Òîåñòü kAn f − f k2 → 0, n → ∞ .Äîêàçàòåëüñòâî.Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ â íåñêîëüêî øàãîâ.1ûé øàã.Ïóñòü f ñàìà èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî U , òî åñòü f = U f , òîãäà âñå òðèâèàëüíî.2îé øàã.Ïóñòü f ïðåäñòàâèìà â âèäå g − U g , ãäå g ∈ L2 . Òîãäà òåîðåìà òîæå âåðíà.2n−1 g−U n g, âñå ïðîìåæóòî÷íûå ñëàãàåìûåÄåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ñóììó: g−U g+U g−U g+...+Unng−U n gñîêðàòÿòñÿ, êðîìå ïåðâîãî è ïîñëåäíåãî. Ðàññìîòðèì k n k2 = kg−Un gk ≤ 2kgk→ 0 ïðènn → ∞.3èé øàã.Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ Λ = {f ∈ L2 |f = g − U g} - ýòî ëèíåéíîåïîäïðîñòðàíñòâî.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà f ∈ Λ , ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåòïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fk } ∈ Λ òàêàÿ, ÷òî : fk → f ïî íîðìå L2 . Íàì íàäî äîêàçàòü,÷òî kAn f k → 0 . Ïðåäñòàâèì: kAn f k = kAn (f − fk ) + An fk k . k âîçüìåì äîñòàòî÷íîáîëüøèì, ÷òîáû f è fk ìàëî îòëè÷àëèñü äðóã îò äðóãà, òî åñòü kf − fk k < ε . Òàê êàêfk ∈ Λ ⇒ An fk → 0, n → ∞ , òàê êàê f , fk îòëè÷àþòñÿ ìàëî, òî è An (f − fk ) ìàëî,ñëåäîâàòåëüíî, kAn f k → 0, n → ∞ .4ûé øàã.Åñëè f ∈ L2 , òî f = f1 + f2 , ãäå f1 ∈ Λ, U f2 = f2 - íå ìåíÿþòñÿ ïðè äåéñòâèèîïåðàòîðà U .
Äîêàæåì, ÷òî ñïðàâåäëèâî òàêîå ïðåäñòàâëåíèå, òîãäà âñå áóäåò äîêàçàíîâ ñèëó ïðåäûäóùèõ ïóíêòîâ. L2 - ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, åãî ìîæíî ðàçëîæèòü â⊥⊥ïðÿìóþ ñóììó äâóõ ïðîñòðàíñòâ Λ è Λ , íàäî ïîêàçàòü, ÷òî Λ - ýòî íåïîäâèæíûåýëåìåíòû ïðè äåéñòâèè îïåðàòîðà Êóïìàíà.
Ðàññìîòðèì ∀g : (g − U g, h) = 0 - îïèøåììíîæåñòâî âåêòîðîâ, îðòîãîíàëüíûõ ïðîèçâîëüíîìó ýëåìåíòó èç Λ . Õîòèì äîêàçàòü, ÷òîU h = h . (g, h) − (U g, h) = 0 ⇒ (g, h) − (g, U ∗ h) = 0 ⇒ (g, h − U ∗ h) = 0∀g . ⇒ h − U ∗ h = 0Òàê êàê îïåðàòîð U óíèòàðíûé, òî U U ∗ = E , äîìíîæèì íà U ñëåâà, ïîëó÷èì: U h − h = 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Äîêàçàòåëüñòâî çàêîí÷åíî. ¤.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
