Ergodic Theory - Kozlov - Lectures - Lecture 9 (1114443)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1 Ëåêöèÿ 91.1 Òåîðåìà Âåéëÿ î ðàâíîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèèÂâåäåì íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü Tn - n -ìåðíûé òîð, ïàðàìåòðèçîâàííûé nóãëîâûìè ïåðåìåííûìè {x1 , . . . , xn mod2π}Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå T : xj 7→ xj + αj (mod2π) , îíî çàäàåòñÿ ÷èñëàìè α1 , . . . , αn .∀x 7→ x, T x, T 2 x, . . .

- îðáèòà (òðàåêòîðèÿ) òî÷êè x .Òåîðåìà(Âåéëÿ): Ïóñòü m1 α1 + . . . + mn αn + m0 2π = 0 ⇔ m1 = m2 =R. . . = mn = m0 = 0 ,1nïóñòü f : Tn → R - èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó. Òîãäà f (T m x) −→ (2π)nTn f (x)d x, m → ∞ðàâíîìåðíî ïî x .Ñëåäñòâèå 1: Òðàåêòîðèÿ (ïîñëåäîâàòåëüíîñòü) T k x, k = 0, 1, 2 . . . ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíàïî Tn ïðè âñåõ x .Ñëåäñòâèå 2: (Êðîíåêåð) Ïóñòü α1 , . . . , αn ; β1 , .

. . , βn - çàäàíû, ïðè÷åì α1 , . . . , αn , 1 ðàöèîíàëüíî íåñîèçìåðèìû. Òîãäà ∀ε íåðàâåíñòâî |pαj + βj + qj (mod1)| < ε, 1 ≤ j ≤ nèìååò áåñêîíå÷íî ìíîãîðåøåíèé â öåëûõ ÷èñëàõ p, q1 , . . . , qn .Ðàññìîòðèì íåïðåðûâíûé àíàëîã.Ïóñòü f : Tn → R - íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ω íàáîð ÷àñòîò{ω1 , . . . , ωn } , ãäå ωi = const . Åñëè äâèæåíèå çàäàåòñÿ óðâíåíèÿìè xj = ωj t + x0j , 1 ≤ j ≤ n, òî òàêîå äâèæåíèå íàçûâàåòñÿ óñëîâíî-ïåðèîäè÷åñêèì.Íàáîð ÷àñòîò ω íàçûâàåòñÿ ðåçîíàíñíûì, åñëè âûïîëíåíà ñëåäóþùàÿ èìïëèêàöèÿ:k1 ω1 + · · · + kn ωn = 0 ⇔ kj = 0∀j ∈ 1, n .Ôóíêöèÿ f (ω1 t + x01 , . .

. , ωn t + x0n ) íàçûâàåòñÿ óñëîâíî-ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ïî t .Âîçüìåì ôèêñèðîâàííûéíåðåçîíàíñíûé íàáîð ÷àñòîò è ââåäåì ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå:RτI(t, x0 ) = 0 f (ω1 t + x01 , . . . , ωn t + x0n ) dtÒåîðåìà: I(t, x0 )R= λτ + o(τ ) , ∀x0 ∈ Tn ,1nλ = const = (2π)nTn f (x) d x =< f > .Çàìå÷àíèå: Òåîðåìà Âåéëÿ èìååò åùå òàêóþ ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìóëèðîâêó:0)limτ →∞ I(τ,x= λ, ∀x0 ∈ Tn .τÒåîðåìà (Áîëÿ î çíàêîïîñòîÿíñòâå èíòåãðàëîâ îò óñëîâíî-ïåðèîäè÷åñêèõôóíêöèé): Åñëè ÷àñòîòû ðàöèîíàëüíî íåñîèçìåðèìû, < f >= 0 òî ñóùåñòâóåò òî÷êàx01 (x02 ) òàêàÿ, ÷òî I(t, x0 ) ≥ (≤)0, ∀t ∈ R, f (x0i ) = 0, (i = 1, 2) .R x Ïðèìåð: Ïóñòü n = 1 , òîãäà f (x + 2π) = f (x), ∀x ∈ R, < f >= 0 .

Òîãäà ∃x0 :f (z) dz ≥ 0, f (x0 ) = 0.x0Ðàññìîòðèì:fR = cos x ⇒< cos x >= 0xcos z dz = sin x − sin x0 . Òðåáóåòñÿ, ÷òîáû: sin x − sin x0 ≥ 0 ⇒ sin x0 = −1 ⇒ cos x0 =x00.Ñäåëàåì çàìåíóR x âðåìåíè:R x−x00z = t + x , x0 f (z) dz = 0f (t + x0 ) dt .Ïîïîëó÷àåì:R x ôîðìóëå Íüþòîíà - Ëåéáíèöà0f(z)dz=F(x)−F(x),F(x)=f (x) , F (x + 2π) = F (x) ò < f >= 0 .0x0Ìîæíî âçÿòü x01 = xmin , x02 = xmax - òî÷êè ýêñòðåìóìà ôóíêöèè F .

Ïðèìåðäåéñòâèòåëüíî èëëþñòðèðóåò òåîðåìó Áîëÿ â ñëó÷àå n = 1Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Áîëÿ:1. Ïóñòü ñíà÷àëà f - òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì, îáîçíà÷èì k = (k1 , . . . , kn ) ∈ Zn .P0P0 PÒîãäà f (x) = |k|≤N fk ei(k,x) , ãäå ââåäåíî ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå äëÿ ñóììû= k6=0 .PnÑ÷èòàåì, ÷òî (k, x) = j=1 kj xj .P0P0 n ∂gfkÐàññìîòðèì g(x) = |k|≤N i(k,ω)ei(k,x) . j=1ω = f ⇒ [g(ωt + x0 )˙] = f (ωt + x0 )∂xj jI(τ, x0 ) = g(ωτ + x0 ) − g(x0 ) Ïóñòü x0 = xmin - òî÷êà ìèíèìóìà ôóíêöèè g(x) ⇒∀τ I(τ, x0 ) ≥ 0 ⇒ f (x0 ) = 02 . Ïðèìåíèì òåîðåìó Âåéåðøòðàññà, òî åñòü âîçüìåì ∀f - ïðîèçâîëüíóþ íåïðåðûâíóþ1ôóíêöèþ, ïóñòü åùå âûïîëíåíî, ÷òî: < f >= 0 . Òîãäà ∀ε > 0, ε = mñóùåñòâóåòòðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì ∃fm (x), < fm (x) >= 0 òàêîé ÷òî: maxx∈Tn |f (x) − fm (x)| <ε = m1RτÐàññìîòðèì Im (τ, x0 ) = 0 fm (ωt + x0 ) dt èç ïðåäûäóùåãî⇒ ∃x0m : Im (τ, x0m ) ≥ 00∀τ, fm (xm ) = 0 .

Ìîæåì âûáðàòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü x0mn → x0 , (n → ∞) .Âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:∀τ : I(τ, x0 ) ≥ 0 è f (x0 ) = 0 .Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ôèêñèðîâàííîì τ âûïîëíÿåòñÿ: Imk (τ, x0mk ) → I(τ, x0 ), k → ∞ .¤Óïðàæíåíèå: Ïóñòü ω1 , . . . , ωn ðàöèîíàëüíî ñîèçìåðèìû è < f >= 0 . Òîãäà ∃ õîòÿáû äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè òàêèå, ÷òî:I(τ, x0 ) ≥ 0(≤ 0)∀τ f (x0 ) = 0Ïðèìåð: ωj = 0 ⇒ I(τ, x0 ) = τ f (x0 ), f (x0 ) R= 0τÏóñòü òåïåðü n = 2 , ðàññìîòðèì: I(τ, x01 , x02 ) = 0 f (ω1 t+x01 , ω2 t+x02 ) dt . Áóäåì ñ÷èòàòü,÷òî ωω12 - èððàöèîíàëüíî è < f >= 0 .

Òîãäà ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà: Åñëè ôóíêöèÿ f ∈ C 2 (R2 ) , òî ∀ε > 0 è T > 0 ñóùåñòâóåò ∃τ > T òàêîå, ÷òî:I(τ, x0 ) < ε, ∀x0 ∈ T2Âîïðîñ: À ÷òî áóäåò äëÿ n = 3 ?.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций