Ergodic Theory - Kozlov - Lectures - MAIN (1114445), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. . ⊂ M.11N,÷òîÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òînµ(A ∪ . . . ∪ T A) =∞Xµ(T n A) ≤ µ(M ) < ∞n=0Ñëåäîâàòåëüíî,nµ(A) < ∞, ∀n. Óñòðåìëÿÿ n ê áåñêîíå÷íîñòè, ïîëó÷àåìïðîòèâîðå÷èå, à çíà÷èòµ (T ni (A) ∩ T nj (A)) > 0äëÿ íåêîòîðûõni < n j .Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òîµ T ni (A ∩ T nj −ni A) > 0.Îáîçíà÷èì ÷åðåçn = nj − ni ,òîãäà, î÷åâèäíî,µ(A ∩ T n A) > 0Òàêèì îáðàçîì, äàííîån èñêîìîå.Äàëåå, ïðåäïîëîæèì, ÷òîµ(A ∩ T m A) = 0, ∀m ≥ p.Òàê êàê∅,Tñîõðàíÿåò ìåðó, òî ïî ïðåäûäóùåìó ìû çíàåì, ÷òîA ∩ T kp A =îòêóäà èìååì ïðîòèâîðå÷èå.
Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà äîêàçàíà.Òåîðåìà 6 (Õèí÷èí). Ïóñòü µ(A) > 0, òîãäà µ(A ∩ g (A)) ≥ λ(µA)t2∀λ : 0 < λ < 1 è îòíîñèòåëüíî ïëîòíîãî ìíîæåñòâà çíà÷åíèé t (òîåñòü, â êàæäîì èíòåðâàëå èìååì ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ìîìåíò âðåìåíè, â êîòîðûé íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ).Äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî ïðî÷åñòü â êíèãå Íåìûöêîãî, Ñòàïàíîâà Êà÷åñòâåííàÿ òåîðèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Òåîðåìà 7 (Î âîçâðàùåíèè òî÷åê). Åñëè 0 < µ(A) < ∞, òîãäà äëÿïî÷òè âñåõ òî÷åê x ∈ A èìååì:T nx ∈ Aïðè áåñêîíå÷íîì ÷èñëå ðàçëè÷íûõ n ∈ Z.Äîêàçàòåëüñòâî.Óïðàæíåíèå 7.N ⊂Aµ(N ) = 0.Ïóñòü÷åê. Äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî ¾íåâîçâðàùàþùèõñÿ¿ òî-Ïðèâåñòè ïðèìåð íåèíòåãðèðóåìîé ïî Ðèìàíó ôóíê-öèè.
Ïðèâåñòè ïðèìåð íåèíòåãðèðóåìîé ïî Ëåáåãó ôóíêöèè.12Ïîêàæåì, ÷òîNèçìåðèìî:N =A∩∞\!T −n (M \ A) ,n=1N èçìåðèìî.kÏóñòü x ∈ N , òîãäà T (x) ∈/ A, ∀k = 1, 2, . . ., ñëåäîâàòåëüíî T k (x) ∈/N−kòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x 6∈ T(N ), k = 1, 2, . . .. Ðàññìîòðèì ïîïàðíî−1íå ïåðåñåêàþùèåñÿ ìíîæåñòâà N, TN, T −2 N, . . . (åñëè ïðåäïîëîæèòü−niîáðàòíîå: TN ∩ T −nj N 6= ∅ äëÿ íåêîòîðûõ ni < nj , òîãäà ïîëó÷èì,−ni÷òî T(N ∩ T −nj +ni N ) 6= ∅, îòêóäà ñëåäóåò N ∩ T n N 6= ∅ ïðè n =−nj + ni , ÷òî íåâîçìîæíî).
Îáúåäèíåíèå ýòèõ ìíîæåñòâïîýòîìóN ∪ T −1 N ∪ T −2 N · · · ⊂ MÒîãäà ìåðà îáúåäèíåíèÿnòàêèõ ìíîæåñòâ, âñëåäñòâèå èíâàðèàíòíîñòèìåðû,µ(N ) + µ(T −1 N ) + . . . µ(T −n+1 N ) = nµ(N ) < ∞Ïðèn → ∞ nµ(N ) → C < ∞,ñëåäîâàòåëüíî,µ(N ) = 0.Òåîðåìà 8 (Îá óñòîé÷èâîñòè ïî Ïóàññîíó). Ïóñòü M ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, µ(M ) < ∞ áîðåëåâñêàÿ ìåðà. Åñëè ñóùåñòâóåòñ÷åòíàÿ ñèñòåìà îêðåñòíîñòåé, ïîêðûâàþùàÿ M , êîòîðàÿ â ïðåäåëåñîâïàäàåò ñ òî÷êîé, òîãäà ïî÷òè âñå òî÷êè óñòîé÷èâû ïî Ïóàññîíó,òî åñòü ∃n1 < n2 < .
. . òàêèå, ÷òîρ(x, T nK (x)) → 0ïðè K → ∞.Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì ñ÷åòíóþ ñèñòåìó îêðåñòíîñòåé. Ïî÷òè âñå òî÷êè èç A áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç âîçâðàùàþòñÿ â A. Áåðåì îêðåñòíîñòü,ïðèìåíÿåì ïðåäûäóùóþ òåîðìó, îòáðàñûâàåì ìíîæåñòâî íóëåâîé ìåðûè òàê äàëåå äëÿ êàæäîé îêðåñòíîñòè. Âñåãî âûáðîñèì ìíîæåñòâî ìåðûíóëü. Îñòàëèñü, òàêèì îáðàçîì, âñå ¾âîçâðàùàþùèåñÿ¿ òî÷êè â îêðåñòíîñòè. Áåðåì îêðåñòíîñòü, ñîäåðæàùóþñÿ â ïåðâîíà÷àëüíîé îáëàñòè, îíàâåðíåòñÿ â ìåíüøóþ îáëàñòü, ïðîäîëæàþ ýòîò ïðîöåññ, ïîëó÷èì, ÷òî äëÿêàæäîé îêðåñòíîñòè ìû â íåå ïîïàäåì.Ïðèìåð.Ðàññìîòðèì ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó:ṗi = − ∂H∂qi,q̇i = ∂H∂pi13i = 1, .
. . , nÔóíêöèÿ ÃàìèëüòîíàæåñòâîH(p, q) ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîì. Çàäàäèì ìíî-M:M = {p, q : C1 ≤ H(p, q) ≤ C2 }Ïî òåîðåìå Ïóàíêàðå î âîçâðàùåíèè òðàåêòîðèÿ áóäåò ïðîõîäèòü êàêóãîäíî áëèçêî îò ñâîåãî íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ. ÊîãäàC1 = C2 ,äâè-æåíèå áóäåò ïðîèñõîäèòü ïî íåêîòîðîé ïîâåðõíîñòè. Åñëè ïîâåðõíîñòüH(p, q) = constðåãóëÿðíàÿ, òî òî÷êà áóäåò âîçâðàùàòüñÿ. Ïðè ýòîì ïî-ëîæåíèÿì ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû îòâå÷àþò êðèòè÷åñêèå òî÷êè ãàìèëüòîíèàíà.6.1Ïàðàäîêñ ÖåðìåëîÐàññìîòðèì ãàç Áîëüöìàíà-Ãèááñà â ñîñóäå, ðàçäåëåííîì ïåðåãîðîäêîé.Ãàç íàõîäèòñÿ òîëüêî â îäíîé ïîëîâèíå.
Îòêðîåì ïåðåãîðîäêó è ãàç ðàñïðåäåëèòñ ïî âñåìó ñîñóäó. Ïî òåîðìå î âîçâðàùåíèè, îí äîëæåí âåñüñîáðàòüñÿ êàêîé-òî ìîìåíò ñíîâà â îäíîé ïîëîâèíå ñîñóäà.Ïðèìåð (Áèëëèàðä Áèðõãîôà).Ðàññìîòðèì îãðàíè÷åííóþ ðåãóëÿð-íîé êðèâîé îáëàñòü, çàïîëíåííóþ èäåàëüíûì ãàçîì. Ìîëåêóëû ãàçà óäàðÿþòñÿ î ñòåíêè, ïðè÷åì ïðè óäàðå óãîë îòðàæåíèÿ ðàâåí óãëó ïàäåíèÿ.Ïîëîæåíèå ëþáîé ìîëåêóëû â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ìû ñìîæåì âû÷èñëèòü çíàÿ åå ïîëîæåíèå â ìîìåíò óäàðà è íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè.
Ïóñòüäëèíà ãðàíèöû îáëàñòè ðàâíà l , Óãîë ïàäåíèÿ (ðàâíûé óãëó îòðàæåíèÿ)îáîçíà÷èìθ, θ ∈ [0, π].K = {s, θ}, s (mod l), θ ∈ [0, π]. Îòîæäås = l. Òàêèì îáðàçîì ìû çàäàëè îòîáðàæåíèå TÐàññìîòðèì ìíîæåñòâîñòâèì òî÷êès = 0èè íàøà îáëàñòü ïðåîáðàçîâàëàñü â öèëèíäð.Ïàðà(s, θ) 7−→ (s1 , θ1 ). Ïðè îòîáðàæåíèè TZZsin θ dθds = constDèZZZZsin θ dθds =DÌåðîé îáëàñòèDsin θ dθds.T (D)íàçîâåì èíòåãðàëZZsin θ dθds.D14Ïðèìåð.Ðàññìîòðèì ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó (nH=Íàðèñóåì êðèâûå= 1).p2+ V (q) = h = const .2H = constïðè ðàçíûõh.Ðàññòàâèì íà êðèâûõ ñòðåë-êè, èñõîäÿ èç òîãî, ÷òîp = q̇ =∂H.∂pÍà ïîëó÷åííîì ôàçîâîì ïîðòðåòå ìîæíî âûäåëèòü ïîëîæåíèÿ ðàâíîâå∂V (q)ñèÿ ñèñòåìû (â íèõ= 0) è ñåïàðàòðèñû, íàõîäÿñü íà êîòîðûõ, ìû∂qáóäåì áåñêîíå÷íî äîëãî äâèãàòüñÿ ê ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ è íèêîãäà íåïîïàä¼ì â íåãî.
Åñëè æå ìû íå íà ñåïàðàòðèñå, òî ìû áóäåì âîçâðàùàòüñÿ â îäíî è òî æå ñîñòîÿíèå çà îäèíàêîâûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè.Òåîðåìà 9 (Ìîùåâèòèí). Ïóñòü M êîìïàêòíîå ôàçîâîå ïðîñòðàí-ñòâî dim M = n. Ïóñòü ρ(x, y) ðàññòîÿíèå â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâåìåæäó òî÷êàìè x è y. Ðàññìîòðèì ψ(t) âîçðàñòàþùóþ ê +∞ ïðèt → +∞ ôóíêöèþ, äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíî, ÷òîψ(t)√& 0,ntÒîãäà äëÿ ïî÷òè âñåõ x7t → +∞.∃{tn (x)} → ∞ òàêàÿ, ÷òî ρ(x, g tn x) <ψ(tn )√.ntnÓñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëüíûõ èíâàðèàíòîânÏóñòü òî÷êà x ∈ M , èìååì ïëîòíîñòünρ(x)d x. Çàäàíà ñèñòåìàρ > 0,ρ ∈ C∞è ìåðódµ =ẋ = vx.Óñëîâèå Ëèóâèëëÿ:nX∂div(ρ, v) =(ρvj ) = 0.∂xjj=0Ðàññìîòðèì ýòó ñèñòåìó ëîêàëüíî â òî÷êåx0òàêîé, ÷òîìîæåì âûáðàòü êîîðäèíàòû òàê, ÷òîẋ1 = ẋ2 = . .
. = ẋn−1 = 0,15ẋn = 1.vx0 6= 0.Ìû7.1ÅñëèÒåîðåìà î âûïðÿìëåíèè òðàåêòîðèéx0 íåîñîáàÿ òî÷êà,x0 ∈ M,íîñòè íåîñîáîé òî÷êè ñèñòåìà èìååòÏóñòüf1 (x), f2 (x), . . . , fn−1 (x)dim M = n, òî ëîêàëüíîn − 1 ïåðâûé èíòåãðàë.â îêðåñò- ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûå â òî÷êåx0ïåðâûå èíòåãðàëû.∂f1∂x1rank . . .∂fn−1∂x110 .Äîáàâèìfn (x)rank . . .∂fn∂x1x1 , . . . , x n.
. . = n − 1.∂fn−1∂xnïåðåéä¼ì ê∂f1 ∂xn.........∂x1Îò(íå ÿâëÿþùóþñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîì). Ïîëó÷èì ∂f120 .∂f1∂xn.......... . . = n.∂fn∂xny1 , . . . , y n y1 = f1 (x)... ,yn = fn (x)ïî ôîðìóëàìx = {x1 , . . . , xn }Òîãäàẏn = g(y1 , . . . , yn ) 6= 0.y˙1 = . . . = ẏn−1 = 0,30 .Îòyïåðåéäåì êzòàêèì îáðàçîì:j = 1, . .
. , n − 1,zj = yj ,Zdyng(y1 , . . . , yn )ẏnżn == 1.g(y1 , . . . , yn )zn =Ðàññìîòðèì ñíîâàẋ1 = . . . = ẋn = 0,ẋn = 1,div v = 0.div v = 0. Òîãäà ôàçîâûé ïîòîê ñîõðàíÿåò ñòàíäàðòíóþ ìåðó dµ = dx1 dx2 . . . dxn .Ðàññìîòðèì îêðåñòíîñòü îñîáîé òî÷êè: ïóñòü x = 0 ïîëîæåíèåðàâíîâåñèÿ. Òîãäà v(0) = 0. Ëèíåàðèçóåì ñèñòåìó â îêðåñòíîñòè x = 0:Ïóñòü èçâåñòíî, ÷òîẋ = x = Ax + . . . = Ax + o(x)16Òåîðåìà 10. Åñëè ñèñòåìà èìååò èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò ñ ãëàäêîéïîëîæèòåëüíîé ïëîòíîñòüþ, òî tr A = 0.Óïðàæíåíèå 8 (Ïðèìåð).Ðàññìîòðèì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèéẋ = AxÄëÿ íååv(x) = Axdiv v(x) = tr A,ïîýòîìó ëèíåéíàÿ ñèñòåìà äîïóñêàåò èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò ñ ïîëîæèòåëüíîé ãëàäêîé ïëîòíîñòüþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åå ôàçîâûéïîòîê ñîõðàíÿåò ñòàíäàðòíóþ ìåðó.Òåîðåìà 11. Ïóñòü íàì èçâåñòíî ðåøåíèå x :Rt → M n , x(t) ∈ Mñèñòåìûẋ = Axòàêîå, ÷òî çàìûêàíèå òðàåêòîðèè x(t) êîìïàêòíî, è ïóñòü èìååòñÿèíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò.ÒîãäàZs1div v(x)= 0.lims→0 s0x=x(t)Òåîðåìà 11 ñëåäóåò èç òåîðåìû 10.x(t) ≡ 0.
Òîãäà div v(x)|x=0 = tr A.tr A = 0, òàê êàê div v(x) = const è åå óñðåäíåíèåÐàññìîòðèìdiv(ρv) =Ïîäåëèâ íàρ,äàñònnX∂vj X ∂ρρ+vj = 0.∂x∂xjj11ïîëó÷èìnnX∂vj X 1 ∂ρ+vj =∂xjρ ∂xj11nX∂= div v +(ln ρ)vj = 0.∂xj1Òåì ñàìûìnX∂wdiv v = −vj = −ẇ.∂xj1170.Zs0div v Zsdt = −0x(t)ẇ=x(t)= w0 (x(0)) − w(x(s)).Ôîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà ìîæíî ïðèìåíèòü áëàãîäàðÿ ãëàäêîñòè. Òàêêàêwîãðàíè÷åíà, òî ïðè äåëåíèè íàsïîëó÷èì â ïðåäåëå ïðès→∞íóëü.×àñòü IVËåêöèÿ 5Óïðàæíåíèå 9.Ðàññìîòðèì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéẋ = v(x).Ïóñòü ïîëåv(x)îäíîðîäíîå ñòåïåíèn,òî åñòüv(λx) = λn v(x).Èíòå-ãðàëüíûé èíâàðèàíò ñ ãëàäêîé ïîëîæèòåëüíîé ïëîòíîñòüþ ñóùåñòâóåòòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàÏðèìåð.div v = 0.×òî ïðîèçîéä¼ò â ñëó÷àå, êîãäà ìû îòêàæåìñÿ îò ïîëîæèòåëü-íîñòè ïëîòíîñòè? Ïóñòüρ ≥ 0.Ðàññìîòðèì ñèñòåìó:ẋ = 2xẏ = −yÂûïèøåì óñëîâèå Ëèóâèëëÿ:div(ρv) =2X∂(ρvj )j=1∂xjρ + 2xÁóäåì èñêàòüρ = cxα y β ,= 2ρ − ρ + 2x∂ρ∂ρ−y= 0,∂x∂y∂ρ∂ρ−y= 0.∂x∂yòàêîå ÷òîáû óñëîâèå Ëèóâèëëÿ âûïîëíèëîñü.xα y β + 2αxα y β − βxα y β = 0.Òîãäà1 + 2α − β = 0,18β = 2α + 1.Ðàññìîòðèì ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ31) α = 1, β = 3, ρ1 = cxy .2 52) α = 2, β = 5, ρ2 = cx y .αèβ....α = n, β = 2n + 1, ρn = cxy 2 ρn−1 .2Ôóíêöèÿ f = xy , êàê íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîìn)íàøåé ñècòåìû.Âîçüì¼ìρ = cx2 |y 5 |,c > 0 ýòà ôóíêöèÿ(cx2 y 5 ,y > 0,ρ∗ =2 5−cx y , y < 0.ïëîòíîñòè.ïîäîéä¼ò â êà÷åñòâåÝòà ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëèóâèëëÿ è ÿâëÿåòñÿ õîðîøåéµ{D : ρ = 0} = 0.
Ãëàäêîñòüα 2α+1óâåëè÷èâàÿ ñòåïåíü α, ρ = cx y.ïëîòíîñòüþ, òàê êàêóâåëè÷èòü,ôóíêöèè ìû ìîæåìCóùåñòâîâàíèå èíâàðèàíòíûõ ìåð ó äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì îáùåãî âèäà óñòàíàâëèâàåòÒåîðåìà 12 (Êðûëîâà Áîãîëþáîâà). Ïóñòü M êîìïàêòíîåìíîãîîáðàçèå, íà êîòîðîì ìû èìååì ãëàäêîå âåêòîðíîå ïîëånẋ = v(x). ýòîì ñëó÷àå âñåãäà ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíà èíâàðèàíòíàÿ ìåðà.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ìîæíî ïîñìîòðåòü â êíèãå Íåìûöêîãî, Ñòåïàíîâà Êà÷åñòâåííàÿ òåîðèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Ïðèìåð.ẋ = −x, div x = −1 6= 0. Íàéä¼ì èíòåöåëüþ ðàññìîòðèì ρ ∈ C[a, b], ρ ≥ 0. ÁóäåìÐàññìîòðèì óðàâíåíèåãðàëüíûé èíâàðèàíò. Ñ ýòîéñ÷èòàòü, ÷òîZbρ(x)dx > 0.aÏðèt → +∞ a → 0, b → 0èZb0Zbρ(x)dx =a0òî åñòü00a , b → 0,ρ(x)dx,aíîZb0ρ(x)dx 6= 0 = const .a019Òàêàÿ ñèòóàöèÿ íåâîçìîæíà ïðèêàêZb0ρèíòåãðèðóåìîé äàæå ïî Ëåáåãó, òàê(a0 , b0 → 0)ρ(x)dx → 0,ïðèρ(x) ∈ L1 [a, b].a0ÏóñòüA ⊂ R, µ(A) = 0 åñëè 0 ∈/ A, µ(A) = 1 åñëè 0 ∈ Aρµ(A) = δ(x) ôóíêöèÿ Äèðàêà.è ìåðàµ(A)èíâàðèàíòíà.
Òîãäà8Íåãîëîíîìíûå ñèñòåìûÐàññìîòðèìq1 , . . . , q n îáîáùåííûå êîîðäèíàòû.Ôóíêöèÿ ËàãðàíæàL = T (q, q̇) − V (q),ãäåT (q, q̇) êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ,V (q) ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ.Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà:d ∂L∂L−= 0, j = 1, . . . , n.dt ∂ q̇j∂qjÅñëè ñèñòåìà íåãîëîíîìíàÿ, òînXaj (q)q˙j = 0j=1 íåãîëîíîìíûå ñâÿçè.Òîãäà óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ïðèíèìàþò âèä:ÃàìèëüòîíèàíH = T +Vd ∂Ldt ∂ q̇jnP−∂L∂qj= λajaj (q)q˙j = 0.j=1ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîì ñèñòåìû è â ýòîìñëó÷àå.Ïðèìåð (Çàäà÷à Ñóñëîâà).Âîë÷îê Ýéëåðà (òâåðäîå òåëî ñ îäíîéíåïîäâèæíîé òî÷êîé, âðàùàþùååñÿ ïî èíåðöèè). Ïóñòüω óãëîâàÿ ñêî-ðîñòü, ñ êîòîðîé âðàùàåòñÿ òåëî.I ω̇ + ω × Iω = 0 óðàâíåíèå Ýéëåðà. ÒóòI = kIij k ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííàÿ ìàò-ðèöà.20Óïðàæíåíèå 10.ñòàíäàðòíóþ ìåðóÄîêàçàòü, ÷òî ôàçîâûé ïîòîê óðàâíåíèÿ ñîõðàíÿåòdω1 . .
. dωn ,òî åñòüÏðèìåð (Çàäà÷à Ñóñëîâà (ω3ρ = 1.) â èíòåðïðåòàöèè Âàãíåðà).= 0Òåëî ïîãðóçèëè â íåïîäâèæíóþ ñôåðó. Ñèñòåìà ìîæåò âðàùàòüñÿ âîêðóãîñè, íî òîãäà âðàùàÿ ñôåðó, âðàùàÿ ñôåðó ìû èìååìω3 = 0,ω2 6= 0,à òàê êàêòî åå íåëüçÿ ñäâèíóòü âáîê. Ñâÿçü âûãëÿäèò êàê:a1 ω1 + a2 ω2 + a3 ω3 = 0,(a1 , a2 , a3 ) = (0, 0, 1).Òîãäà óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ïðèìóò âèä:d ∂Ldt ∂ q̇1d ∂Ldt ∂ q̇2d ∂Ldt ∂ q̇3∂L− ∂q= λa1 = 01∂L− ∂q2 = λa2 = 0∂L− ∂q= λa3 = λ3Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà:I11 ω˙1 + I12 ω˙2 + ω2 (I13 ω1 + I23 ω2 ) = 0I12 ω˙1 + I22 ω˙2 − ω1 (I13 ω1 + I23 ω2 ) = 0I13 ω˙1 + I23 ω˙2 + I13 ω12 − I12 ω22 + (I23 − I11 )ω1 ω2 = 0.Ñ÷èòàåì, ÷òî22I12+ I236= 0.Ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, êîòîðûå ñóùåñòâóþòâñåãäà ýòîI12 ω1 + I23 ω2 = 0. ýòîé çàäà÷å íåò íåïðåðûâíîé èíâàðèàíòíîé ìåðû, òàê êàê òî÷êè áóäóòïðèáëèæàòüñÿ ê ïðÿìîéI12 ω1 + I23 ω2 = 0è â ðåçóëüòàòå ïåðåéäóò âîòðåçîê íà ýòîé ïðÿìîé. Òàêèì îáðàçîì ìû íå ìîæåì íàéòè àáñîëþòíîíåïðåðûâíîé ìåðû.×àñòü VËåêöèÿ 69Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûå ïî ìîäóëþ 1Ðàññìîòðèì îòðåçîêÐàññìîòðèì ïåðâûåêîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâùèõ â îòðåçêå{xk }∞k=1 ⊂ [0, 1].ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
