Конспект лекций - 3ий поток, лектор - Ионкин (1113828), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если подынтегральная функциястепени не выше, чем 3, то квадратурная формула Симпсона (КФС) точна. Следовательно, для ПЭ H3 (x) она будет точна.Теперь получим погрешность для КФС: Построим H3 (x) по узлам xi−1 , xi− 1 , xi ,2гдеH3 (xi−1 ) = f (xi−1 );H3 (xi− 1 ) = fi− 1 ;22H3 (xi ) = fi ;0H30 (xi− 1 ) = fi−122f IV (ξ)(x − xi−1 )(x − xi− 1 )2 (x − xi )24!Теперь подынтегральную функцию заменим наΨH3 (x) =f (x) = H3 (x) + ΨH3 (x)ПолучимZxiZxif (x)dx = {в силу линейности} =xi−1ZxiH3 (x)dx +xi−1=h(H3 (xi−1 ) + 4H3 (xi− 1 ) + H3 (xi )) +26ΨH3 (x)dx =xi−1ZxiΨH3 (x)dx =xi−1=h(fi−1 + 4fi− 1 + fi ) + Ψi (f )26Тогда ясно, что погрешность КФС на частичном сегменте:ZxiΨi (f ) =xi−1hf (x)dx − (fi−1 + 4fi− 1 + fi ) =26ZxiΨH3 (x)dx,xi−159ОбозначимM4 =|f IV (x)|.supxi−1 6x6xiТогда можно сказать, чтоM4|Ψi (f )| 64!Zxi(x − xi−1 )(x − xi− 1 )2 (xi − x)dx2xi−1Задача.ZxiПоказать, что(x − xi−1 )(x − xi− 1 )2 (xi − x)dx =2xi−1h5120Решение: Проведем замену в подынтегральном выражении: x = xi−1 + th, t ∈ [0, 1].2212.Тогда dx = hdt и x − xi−1 = th, xi − x = h(1 − t), x − xi− 1 = h t −22Таким образом подставляя эти выражения в интеграл, получаем:Zxi2(x − xi−1 )(xi − x) x − xi− 1 dx =2xi−15Z1h2Z1 1h515 2453dt = h(t)(1 − t) t −2t − t − t + t =24412000M4 h5Таким образом |ψi (f )| 6.
Следовательно, погрешность КФС на частич4! 120ном отрезке имеет 5й порядок по h. Запишем погрешность на всем отрезке:Zbf (x)dx −Ψh (f ) =NXaΨi (f ),i=1 4M(b−a)h4Ψ(f)6 h,2180 hN = b − a,Таким образом квадратурная формула Симпсона на всем отрезке интегрированияимеет 4й порядок точности по h.60§7 Наилучшее среднеквадратичное приближение функцийВведем для начала пространство функций, интегрируемых с квадратом:H = L2 – гильбертово пространство — пространство функций таких, чтоZb∀f ∈ L2f 2 (x)dx < ∞aЧтобы сделать пространство нормированным, введем скалярное произведение:Zb∀f, g ∈ L2(f, g) =f (x)g(x)dxaи нормуZbkf kL2 = 21f 2 (x)dxaПереходим к постановке задачи. Рассмотрим линейно независимые функцииϕ0 (x), ϕ1 (x), . .
. , ϕn (x) ∈ L2илиZbϕ2i dx < ∞,i = 0, naСоставим многочленϕ(x) = c0 ϕ0 (x) + c1 ϕ1 (x) + . . . + cn ϕn (x) =nXck ϕk (x),x=0где ϕ(x) — обобщенный многочлен, построенный по функциям ϕi (x).Среди всех многочленов ϕ(x) нужно найти многочлен ϕ(x):ϕ(x) =nXck ϕk (x),k=0который минимизирует интеграл (норму)kf (x) − ϕ(x)k2L0 =Zb(f (x) − ϕ(x))2 dx = minZbϕ(x)aa(f (x) − ϕ(x))2 dx.(1)61В этом случае говорят, что ϕ(x) — наилучшее среднеквадратичное приближение(НСКП) f по системе {ϕi (x)}n0 . Построим НСКП в случае, когда базисная функцияϕ0 (x) одна, то есть при n = 0 :Zbϕ20 (x)dx < ∞,ϕ0 (x) ∈ L2aЯсно, чтоZbF (C0 ) =(f (x) − c0 ϕ0 (x))2 dx =aZbf 2 (x)dx − 2c0aZbZbf (x)ϕ0 (x)dx +ac20 ϕ20 (x)dxa— квадратичная функция относительно c0 .
Коэффициент c0 в наилучшем среднеквадратичном приближении находится из условия F 0 (c0 ) = 0:Zb2Zbf (x)ϕ0 (x)dx = 2c0aϕ20 (x)dxa⇓Rbc0 =f (x)ϕ0 (x)dxaRb=ϕ20 (x)dx(f, ϕ0 )(ϕ0 , ϕ0 )aТаким образом НСКП ϕ(x) = c0 ϕ0 (x) =(f, ϕ0 )ϕ0 . Если(ϕ0 , ϕ0 )Rbϕ0 (x) = 1,c0 =то,(b − a)Rbϕ(x) = c0 · 1 =f (x)dxaf (x)dxa(b − a),будет являться средним значением интеграла.Перейдем к общему случаю. Пусть {ϕi (x)}n0 — система линейно независимых(базисных) функций из L2 , то естьZbaϕ2i (x)dx < ∞,ϕi (x) ∈ L2 [a, b].62Тогда составим функциюZb(f (x) −F (c0 , c1 , . .
. , cn ) =nXck ϕk (x))2 dx.k=0aНайдем минимум этой функции. Заметим, что он достигается, когда∂F= 0,∂ckk = 0, n,Итак,F (c0 , c1 , . . . , cn ) =ZbZbZbnnnXXX= f 2 (x)dx − 2ck f (x)ϕk (x)dx +ckcl ϕk (x)ϕl (x)dx =k=0a= (f, f ) − 2nXk=0ack (f, ϕk ) +nXk=0k=0cknXl=0a(ϕk , ϕl )l=0Минимум функции F (c0 , c1 , . . . , cn ) достигается в точке, где∂F (c0 , . . . , cn )= 0,∂ckk = 0, n.В итоге получаем систему уравнений:nXcl (ϕk , ϕl ) = (f, ϕk ),k = 0, n.l=0Или в координатном виде:c0 (ϕ0 , ϕ0 ) + c1 (ϕ0 , ϕ1 ) + . . . + cn (ϕ0 , ϕn ) = (f, ϕ0 )c (ϕ , ϕ ) + c (ϕ , ϕ ) + .
. . + c (ϕ , ϕ ) = (f, ϕ )110111n1n1. . .c0 (ϕn , ϕ0 ) + c1 (ϕn , ϕ1 ) + . . . + cn (ϕn , ϕn ) = (f, ϕn )(1)Правые части системы известны. Выпишем матрицу из коэффициентов:(ϕ0 , ϕ0 ) (ϕ0 , ϕ1 ) . . . (ϕ0 , ϕn ) (ϕ1 , ϕ0 ) (ϕ1 , ϕ1 ) . . . (ϕ1 , ϕn ) . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = G(ϕ0 , . . . , ϕn ), |G| > 0(ϕn , ϕ0 ) (ϕn , ϕ1 ) . . . (ϕn , ϕn )Полученная матрица является матрицей Грама. Если система линейно независима, то матрица Грама невырожденная. Следовательно, по критерию определенностиСЛАУ существует единственное решение:c0 , c1 , . . . , cn63Эти коэффициенты позволяют выписать обобщенный многочленϕ(x) =nXci ϕi (x),i=0который является НСКП для функции f .Если система исходных базисных функций {ϕi (x)}n0 ортонормирована, то матрица Грама превратится в единичную (G = E) иci = (f, ϕi ),i = 0, n,(2)где ei — коэффициенты Фурье.Рассмотрим систему линейно независимых функций:1, x, x2 , . . . , xn ,ϕi (x) = xiисходя из нее можно построить ортогональную систему.
Для этого рассматриваетсяскалярное произведение:Zβρ(x)ϕk (x)ϕl (x)dx = (ϕk , ϕl ),αгде α и β – выбираемые границы, ρ(x) > 0 – весовая функция. Если выбирать различные α, β и ρ(x), то можно получить полиномы Якоби, Лежандра, Чебышева идругие. Эти полиномы — ортогональные полиномы.( по ним строить НСКП наиболееудобно).Замечание. Если система {ϕi (x)}n0 ортонормирована, то нетрудно вычислить отклонение от НСКП:Zb[f (x) −F (c0 , c1 , . . . , cn ) =aТогда(f, f ) >nXck ϕk (x)]2 dx = (f, f ) −k=0nXc2k ,nXc2k > 0.k=0kf k2 >k=0nXc2kk=0Это есть неравенство Бесселя.Если {ϕi }n0 — ортонормированный базис, то неравенство переходит в равенство Парсеваля:nX2kf k =c2kk=0Глава 3Численное решение нелинейныхуравнений и систем нелинейныхуравнений§1 ВведениеПусть задана функция f (x), x ∈ R, причем функция f непрерывна.
Будем решать уравнение на отрезке [a, b].f (x) = 0,x ∈ [a, b](1)Решая это уравнение нужно пройти 2 этапа:1. Локализация корней уравнения.Пусть x∗ — кореньf (x∗ ) = 0.Нужно указать окрестность корня:Ua (x∗ ) = {x : |x∗ − x| < a}.2. Построение итерационного процессаxn −→ x∗ .Аналогичная задача будет ставиться и для системы :f1 (x1 , . .
. , xm ) = 0f (x , . . . , x ) = 02 1m...fm (x1 , . . . , xm ) = 0(2)65Введя вектор x = (x1 , x2 , . . . , xm ), f = (f1 , . . . , fm )τ , можем систему (2) переписать в виде f (x) = 0.Можно f трактовать как отображение Rn −→ Rn (нелинейное). Укажем способылокализации корня:1. Если f — непрерывная функция, то разобьем отрезок на узлы xi и вычислимзначения в узлах. Если f (xi )f (xi−1 ) < 0, то ясно, что на этом частичном отрезкеесть по крайней мере один корень. Далее этой процедуре подвергаем отрезок[xi , xi−1 ].
Тогда найдем а–окрестность Ua (x∗ ).2. Метод бисекции. Пусть есть отрезок [a, b], на котором есть корень. И пустьдля определенности f (a) < 0, f (b) > 0. Сначала рассмотрим середину отрезка(a + b). Вычислив значение в этой точке (пусть оно > 0), определим,x0 =2что корень принадлежит [a, x0 ]. Зная это проделываем то же самое и получаем(a + x0 )точку x1 =. Пусть это значение тоже > 0, тогда значение x∗ находится2в интервале [a, x1 ].
Далее продолжаем процесс до нужной точности.Предположим, что корней в x∗ много, тогда на первом этапе выразимf = (x − x∗ )g(x).Далее будем проводить процесс для g(x).§2 Метод простой итерацииРассмотрим нелинейное уравнение:f (x) = 0(1)Пусть задана окрестность корня Ua (x∗ ). Тогда метод простой итерации строится исходя из уравнения:x = S(x)(2)по формуле:xn+1 = S(xn ),где n = 0, 1, . .
. ,(3)x0 ∈ Ua (x∗ ). Функция S(x) выбирается в видеS(x) = x + r(x)f (x),(4)где f (x) — исходная функция, r(x) — функция: sign(r(x)) 6= 0 ∀x ∈ Ua (x∗ ).Определение. S(x) удовлетворяет условию Липшица с константой q, если∀x1 , x2 ∈ Ua (x∗ ) выполняется неравенство:|S(x1 ) − S(x2 )| 6 q|x1 − x2 |(5)66Утверждение 6. Пусть S(x) — удовлетворяет условию Липшица с константойq ∈ (0, 1) и пусть начальное приближение x0 берется из Ua (x∗ ). Тогда метод простой итерации сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателемq.Доказательство: Докажем по индукции.
n = 0 : x0 ∈ Ua (x∗ ). Покажем, что еслиxn ∈ Ua , то и xn+1 ∈ Ua . Это будет означать, что при итерационном процессе мы невыйдем из окрестности Ua .Оценим |xn+1 − x∗ |: так как xn+1 = S(xn ), то|xn+1 − x∗ | = |S(xn ) − S(x∗ )| 6 q|xn − x∗ |.Так как q < 1, то это означает, чтоq|xn − x∗ | < a.А значит xn+1 ∈ Ua (x∗ ).Это соотношение можно применять как рекуррентное:|xn − x∗ | 6 q n |x0 − x∗ |и при n → ∞:lim q n = 0.n→∞Это означает, что в пределе при n → ∞ xn даст нам x∗ . Данный итерационный методимеет медленную сходимость, так как связь xn+1 и xn — линейная.Замечание. Пустьmax |S 0 (x)| = q < 1,x∈Uaтогда МПИ сходится, если x0 ∈ Ua .Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
