Конспект лекций - 3ий поток, лектор - Ионкин (1113828), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Дляустойчивости необходимо, чтобы его корни по модулю не превосходили 1. Поиск корней уравнения (6) представляет собой, как правило, сложнейшую задачу. По этомубудем считать, что τ — мало и положим τ = 0. Тогда получимF (q, 0) =mXak q m−k = 0(7).k=0Уравнение (7) также называется характеристическим.Определение. Говорят, что разностная схема (3) удовлетворяет условию (α),если все корни характеристического уравнения (7) лежат внутри или на границеединичного круга комплексной плоскости, причем на границе нет кратных корней.Теорема 9. Пусть разностная схема (3) удовлетворяет условию (α) и |fn0 | 6 L для0 6 t 6 T, при 0 6 tn = nτ 6 T . Тогда для всех достаточно малых τ выполняетсяоценка!nX|y(tn ) − U (tn )| 6 Mτ |ψ| + max |yi − U (ti )| ,j=mгде M не зависит от τ (M = M(L,T)).06i6m−1108Замечание (1).

Метод Адамса удовлетворяет условию (α):myn − yn−1 X=bk fn−kτk=0y0 = U0a0 = 1,a1 = −1Тогда характеристическое уравнение имеет вид:q n − q n−1 = 0,оно имеет корни q0 = 0 и q1 = 1, причем q1 — некратный корень.Замечание (2). Говорить об условной или безусловной устойчивости не имеетсмысла. Она всегда условная, т.к. рассматриваются малые τ .Замечание (3).

Для неявных схем наивысший порядок погрешности аппроксимации p 6 2m. Для явных схем p 6 2m − 1.Однако, схемы высокого порядка не удовлетворяют условию (α), т.е. не являются устойчивыми. Наивысший порядок аппроксимации для схем, удовлетворяющих условию (α), следующий:1.

Для явных схем:(a) Если m — четно, то p 6 m + 2(b) Если m — нечетно, то p 6 m + 12. Для неявных схем p 6 mЗадача. Доказать, что для разностной схемы2fn−1 + fn−2yn + 4yn+2 − 5yn2=6τ33погрешность аппроксимации O(τ ).Доказательство.Un + 4Un−1 − 5Un−2 2fn−1 + fn−2+6τ3Запишем условия, налагаемые на многошаговый разностный метод для того, чтобыпогрешность аппроксимации имела третий порядок:mPb=1−bk0k=1mPa0 = −akψn = −mk=1Pak k = −1k=1mP k l−1 (ak k + bk ) = 0, l = 2, 3.k=012521, a1 = , a2 = − , b0 = 0, b1 = , b2 = .63633Выписанные условия легко проверяются, следовательно, ψn = O(τ 3 ).В данном случае m = 2, a0 =109§5 Жесткие системы ОДУРассмотрим систему ОДУ:dU1 (t)+ a1 U (t) = 0, t > 0dtU1 (0) = U1,0dU2 (t)+ a2 U (t) = 0, t > 0dtU2 (0) = U2,0a1 > 0, a2 > 0, a2 >> a1 ,то есть a2 много больше a1(1)Решение имеет вид:U1 (t) = U1,0 e−a1 t ,U2 (t) = U2,0 e−a2 t .Пусть в приведенном случае одна функция убывает медленно, а другая быстро.

Тогдаполучим:u(t)u1 (0)u2 (0)tt∗1) Рассмотрим явную схему Эйлера:y1n+1 − y1n+ a1 y1n = 0τ(2)y2n+1 − y2n+ a2 y2n = 0τ(3)22, а для (3) 0 < τ <.a1a1А чтобы обеспечить устойчивость системы (1) мы должны выбрать минимальноезначение τ . Если учесть, что a2 >> a1 , то минимальный шаг будет у (3).Устойчивость схемы (2) достигается при 0 < τ <1102) Рассмотрим неявную схему Эйлера:y1n+1 − y1n+ a1 y1n+1 = 0τy2n+1 − y2n+ a2 y2n+1 = 0τЭти схемы абсолютно устойчивые.

А шаг ограничен только условием точности.Задача Коши для линейных уравнений: dU+ AU (t) = 0, t > 0dtU (0) = U 0(5)Где A = A(m × m) не зависит от t.Определение. Система дифференциальных уравнений (5) называется жесткой,если выполняются два условия:1) ReλAk = 1, mk > 0,max16k6m |ReλAk|>> 12) s =Amin16k6m |Reλk |Задача Коши для нелинейных уравнений:dU= f (t, U ), t > 0, U (0) = U 0dt(6)Где U (t) = (U1 (t), U2 (t), . . . , Um (t)), f (t, U (t)) = (f1 (t, U (t)), f2 (t, U (t)), . . . , fm (t, U (t))).Пусть V (t) — известное решение. Проведем процесс линеаризации в окрестностиизвестного решения V (t) : z(t) = U (t) − V (t). Получаем k уравнений вида:dz k= fk (t, z(t) + V (t) − fk (t, V (t)),dtk = 1, m.Раскладывая к окрестности известного решения относительно точки (t, V (t)),получимdz k∂fk (t, V (t))∂fk (t, V (t))∂fk (t, V (t))= fk (t, V (t))+z1 (t)+z2 (t)+· · ·+zm (t)−fk (t, V (t))+o(|z|).dt∂U1∂U2∂UmОбозначимdz k= J(t, V (t))zdtЛинейная система (7) — система первого приближения.J(t, V (t)) = aij =∂fi (t, V (t)),∂Uj(7)i, j = 1, m.Теперь введем число жесткости, как отношениеs(t) =maxk |ReλJk |mink |ReλJk |(8)111Определение.

Система (6) называется жесткой на решение V (t), 0 6 t 6 T , есливыполнено 2 условия:1)ReλJk < 0, k = 1, m2)s(t) >> 1§6 Дальнейшее определение устойчивости и примеры разностных схем. Интегрирование жестких системдифференциальных уравненийПоставим задачу следующим образом: dU= f (t, U (t),dtU (0) = U0t>0Запишем модельную задачу задачи (1): dU= λU (t)dtU (0) = U0(1)(2)где λ — собственные значения матрицы J.Введем комплексное число µ = τ λ (µ = µ0 + iµ1 ).Определение.

Областью устойчивости разностного метода называется множество точек комплексной плоскости µ, для которых данный метод, примененный куравнению (2), устойчив.Рассмотрим явную схему Эйлера :yn+1 − yn= f (tn , yn )τПрименительно к модельной задачи (2) разностная схема примет вид:yn+1 − yn= λynτВыразим yn+1 :yn+1 = yn + λτ yn = (1 + µ)ynМетод является устойчивым, если |q| 6 1 или, в нашей задаче, |µ + 1| < 1.

Тогдаполучаем, что|1 + µ0 + iµ1 | 6 1,(1 + µ0 )2 + µ21 6 1.112В данном случае область устойчивости представляет собой внутренностькруга с центром в точке (0, -1) и радиусом 1 в системе координат (µ0 , µ1 ):µ11µ01Рассмотрим неявную схему Эйлера :yn+1 − yn= f (tn+1 , yn+1 )τПрименительно к модельной задачи (2) разностная схема примет вид:yn+1 − yn= λyn+1τРазрешим её относительно yn+1 :yn+1 = yn + λτ yn+1 ,(1 − µ)yn+1 = yn ,1yn .1−µ 1 6 1.Для устойчивости необходимо, чтобы q = 1−µПолучаем, что|1 − µ| > 1,yn+1 =|1 − µ0 − iµ1 | > 1,(1 − µ0 )2 + µ21 > 1.Областью устойчивости неявной схемы Эйлера является внешность круга радиуса 1 с центром в точке (1, 0).µ1µ0113Определение. Разностный метод А-устойчив, если область его устойчивостисодержит всю левую полуплоскость комплексной плоскости, т.е.

Reµ < 0.Утверждение 8. Если разностный метод А - устойчив, то он абсолютно устойчив, т.е. ∀τ > 0.Утверждение 9. Явных А-устойчивых методов нет.Утверждение 10. Среди неявных А-устойчивых методов существуют разностные методы не выше второго порядка.Рассмотрим симметричную схему:yn−1 − yn= 0.5(f (tn , yn ) + f (tn+1 , yn+1 ))τПрименительно к модельной задачи (2) разностная схема примет вид:yn−1 − yn= 0.5λ(yn + yn+1 ).τВыразим yn+1 :yn+1 = yn + 0.5µ(yn + yn+1 ),(1 − 0.5µ)yn+1 = (1 + 0.5µ)yn ,1 + 0.5µyn+1 =.1 − 0.5µ1 + 0.5µ.

Найдем область устойчивости, т.е. область, гдеПолучаем, что q =1 − 0.5µ|q| 6 1:|1 + 0.5µ| 6 |1 − 0.5µ|,|1 + 0.5µ0 + 0.5iµ1 | 6 |1 − 0.5µ0 − 0.5iµ1 |,(1 + 0.5µ0 )2 + µ21 6 (1 − 0.5µ0 )2 + µ21 ,1 + µ0 +µ20µ2+ µ1 6 1 + µ0 + 0 + µ21 ,44µ0 6 0.Получаем, что симметричная схема является А-устойчивой.µ1µ0Симметричный разностный метод является одним из лучших разностных методов второго порядка для численного интегрирования жестких систем.114Определение. Разностный метод называется A(α) устойчивым, если область егоустойчивости содержит угол левой полуплоскости, так что |arg(−µ) < α|.µ1ααµ0Утверждение 11.

Явных A(α)-устойчивых методов нет.Утверждение 12. Среди неявных A(α)-устойчивых методов были построены схемы третьего и четвертого порядка.Пример чисто неявной A(α)-устойчивой разностной схемы четвертого порядка:25yn+1 − 48yn+3 + 36yn+2 − 16yn+1 + 3yn= f (tn+4 , yn+4 ).12τ.

Характеристики

Список файлов лекций