Конспект лекций - 3ий поток, лектор - Ионкин (1113828), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Откуда следует ,что Vij > 0 xij ∈ ωh . Аналогично для функции Wij .Рассмотрим задачу относительно погрешности:Lh zij = ψij , xij ∈ ωh(12)91zij = 0 на границеВозьмем в качестве Yij следующую функцию:(i)(j)Yij = k(l12 + l22 − (x1 )2 − (x2 )2 ), где константа k > 0(13)Следовательно Yij > 0 при xij ∈ ωhЗадача. Показать,что Lh Yh = 4k.Lh Yij = kψkC , 4k = kψkC xij ∈ ωh(14)Yij > 0 на границеПрименим к (13) и (14) следствие:|zij | 6 Yij , xij ∈ ωh0 6 Yij 6l12 + l22kψkC следовательно получаем:4kzkC 6l12 + l22kψkC4(15)Устойчивость: если рассматриваем разностную схему (3) с нулевым условием награнице, то получаем в точности такую же задачу, как и для z.
А это означает, чтовыполняется оценка:l2 + l22kϕkC(16)kykC 6 14означающая устойчивость разностной схемы по правой части уравнений.Теорема 7. Пусть решение U (x1 , x2 ) исходной задачи принадлежит классу C 4 (D).Тогда разностная схема (3) (4) сходится к исходной задаче (1) (2) со вторым порядком точности по h1 и h2Доказательство: Так как kψkC 6 M (h21 + h22 ), где M > 0 не зависит от h1 , h2 , тоl2 + l22не зависит от h1 , h2 .
Следовательно,получаем kzkC 6 M1 (h21 +h22 ), где M1 = M 14эта оценка говорит о том, что имеет место сходимость со вторым порядком точностипо h1 , h2§8 Методы решения разностных схем для задачи ДирихлеЗапишем разностную схему на шаблоне "крест"для 0 < i < N1 , 0 < j < N2 :yi−1j − 2yij + yi+1j yij−1 − 2yij + yij+1+= fijh21h22(1)yij = µij , xij ∈ Γh(2)92Так как нужна хорошая точность , нужно брать h1 , h2 очень маленькими, но тогдачисло уравнений может стать очень большим.
Но эти уравнения специального вида:в матрице коэффициентов много нулей. Самый распространенный способ решениятаких систем алгебраических уравнений - итерационный метод. Для того чтобы построить итерационный метод , разрешим (1) относительно центрального узла:2yi−1j − 2yij + yi+1j yij−1 − 2yij + yij+12+ 2 yij =+− fij2h1 h2h21h22номер итерации будем писать в верхнем индексе. Тогда метод Якоби будем выглядетьследующим образом:(s)(s)(s)(s)yi−1j + yi+1j yij−1 + yij+122(s+1)++− fij(3)yij=h21 h22h21h22(0)начальное приближение yij задано, s = 0, 1, 2, .
. . . Если h = h1 = h2 ( или max h1 , h2 ),то число итераций в методе Якоби будет пропорционально O(h−2 ) – эта сходимостьдовольно медленная (следовательно метод не эффективен).Метод Зейделя записывается следующим образом:l2l1Сначала находится y1j , j = 1, N2 − 1. Кружочком обозначена (s+1)–я итерация,квадратом — s–я итерация.
Следовательно, действуя аналогично для i = 2, N1 − 1можно найти все по явным формулам.(s+1)(s+1)(s)(s)yi−1j + yi+1j yij−1 + yij+122(s+1)+yij=+− fij(4)h21 h22h21h22(0)начальное приближение yij задано, s = 0, 1, 2, . . . . Видим ,что здесь сразу разрешитьотносительно s + 1 итерации не удастся. Но все равно все можно найти по явнымформулам. У данного алгоритма тоже медленная сходимость.Рассмотрим попеременно треугольный итерационный метод.
Запишем даннуюсистему алгебраических уравнений в виде Ay = ϕ, где A = A∗ > 0 (суждение о положительно определенности можно сделать из вида собственных значений). И представим матрицу в следующем виде: A = R1 + R2 (ниже и верхнетреугольная формаматриц,диагональные элементы которых равны 0.5aij ).y (s+1) − y (s)(E + ωR1 )(E + ωR2 )+ Ay (s) = ϕτ(5)93где τ, ω – положительные действительные числа - итерационные параметры, удоτ(0)влетворяющие условию ω > , начальное приближение yij задано, s = 0, 1, 2, .
. . .4Этот метод является неявным ,так как B = (E + ωR1 )(E + ωR2 ), где E - единичнаяматрица. Этот метод тоже разрешим явными формулами:y (s+1) − y (s)= W (s+1)1)(E + ωR2 )τ2)(E + ωR1 )W (s+1) = ϕ − Ay (s)y (s+1) − y (s)3)V (s+1) =τПолучается, что из второго находится W (s+1) , обращая (E + ωR1 ). Далее из первого находим V (s+1) , обращая верхнетреугольную форму, а из третьего досчитываемV (s+1) .
Если выбираем итерационные параметры хорошим образом, то число итераций будет O(h−1 ) = n0 (ε). Попеременно – треугольный итерационный метод сходитсяна порядок быстрее, чем методы Якоби и Зейделя.§9 Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимостьВсе последующие определения присуще любым линейным классическим задачам. Для нелинейных это будет не так. Пусть решается дифференциальная задача слинейным оператором:LU (x) = f (x), где x ∈ G(1)G - некоторая область.Оператор L – линейный, включает в себя краевые и начальные условия.
x – многомерный вектор. Например, для двумерного уравнения теплопроводности это будут переменные x1 , x2 , t. Области G поставим в соответствие множество узлов G(h),следовательно h – норма всех шагов, обобщающая характеристика. Если эта нормастремится к нулю, то количество узлов возрастает. Выбор сетки - серьезный вопросна практике.
В данном параграфе этот вопрос не рассматривается.После введения сетки вводится сеточная функция yh и разностный оператор Lh . Витоге получаемLh yh (x) = ϕh (x), где x ∈ Gh − узлы сетки(2)Например, h = max h1 , h2 , . . . , hn Тогда (2) - разностная схема , где h любая норма,шагов столько, какова размерность задачи. Уравнение (2) представляет собой систему алгебраических уравнений, называется разностной схемой, аппроксимирующейисходную задачу.
Пусть функция U (x) из нормированного линейного пространстваB0 , x ∈ G, а yh (x) из линейного нормированного пространства Bh , x ∈ Gh . Введемоператор проектирования: P : B0 → Bh . Тогда функция Ph U = Uh (x), x ∈ Gh .Введем нормы: kCk0 - в пространстве B0 , kCkh - в пространстве Bh .
нормы должныбыть согласованы:lim kUh kh = kU k0h→0Рассмотрим конкретный пример: пусть область G = x : 0 6 x 6 1. Тогда ясно, чтосетка будет иметь вид: Gh = {xi = ih, i = 0, N , hN = 1}, U (x), U (x), x ∈ G, yh (x) ∈94Gh .Рассмотрим разные нормы: kU k0 = max |U (x)| = kU kC - норма в B0 ,06x61kyh kh = max |yi | = kykC − норма в Bh06i6NИ эти нормы согласованы:ZkU k0 =1U 2 (x)dx 21− норма в L2 , kykh =0NX! 12yi2 hi=0И эти нормы тоже согласованы. Приведем пример несогласованных норм:ZkU k0 =1 212kykh =U (x)dx0NX! 12yi2i=0 12P1N1Возьмем функцию U (x) = 1. Тогда kUh kh == (N + 1) 2 .
Ясно, что еслиi=0h→0 :lim kUh kh = ∞.h→0Если нормы не согласованы, то нет гарантии, что при h → 0 yh → U, где U – единственное решение исходной задачи. Введем оператор проектирования следующимобразом:Z1 xi +0.5hU (x)dx(Ph U )i =h xi −0.5hво всех внутренних точках i = 1, N − 1. На границе:Z 0.5hZ 111(Ph U )0 =U (x)dx , (Ph U )N =U (x)dx0.5h 00.5h 1−0.5hБудем исследовать функциюzh = yh − Uh ,(3)которая называется погрешностью решения.В силу линейности задачи yh = zh +Uh .
Подставим полученное в начальное уравнение:Lh zh + Lh Uh = ϕh , ⇒ Lh zh = ψh , где ψh = ϕh − Lh Uh(4)Определение. Сеточная функция (4) называется погрешностью аппроксимацииразностной схемы (2) на решение задачи (1).Определение. Говорят, что разностная схема имеет k−й порядок аппроксимации, если существуют положительные константы M1 , k не зависящие от шаговh, для которых справедлива оценка: kψh kh 6 M1 hk , где k не обязательно натуральное ( может быть и дробной, главное, чтобы не зависела от шагов).95Задача (1) корректно поставлена, если выполнены 2 условия:1) у данной задачи существует и притом единственное решение U (x) ∀f (x), x ∈ G2) решение непрерывно зависит от правой части.Определение.
Говорят, что разностная схема корректно поставлена, если выполнены два условия:1) у данной задачи существует и притом единственное решение yh ∈ Bh при любыхправых частях ϕ2) существует положительная константа M2 не зависящая от шагов сетки hтакая, что выполнена оценка :kyh kh 6 M2 kϕh kh(5)Оценка (5) называется априорной оценкой, и она означает устойчивость - этовнутреннее свойство разностной схемы.Определение. Говорят, что решение разностной задачи сходится к решению исходной задачи, если kzh kh = kyh − Uh k → 0 при h → 0. Может быть как быстраясходимость, так и медленная.Определение.
Говорят, что разностная схема имеет k−й порядок точности, если существуют положительные константы M3 , k не зависящие от шагов h, длякоторых выполнена оценка kzh kh 6 M3 hk .Теорема 8. (Филиппова) Пусть исходная задача (1) корректно поставлена и пустьразностная схема (2), аппроксимирующая задачу (1), корректна. Тогда решение разностной задачи сходится к решению исходной задач с порядком погрешности аппроксимации.Доказательство: Если разностная схема корректна, то kyh kh 6 M2 kϕh kh и M2 независит от шагов h.
Запишем задачу для погрешности: kzh kh 6 M2 kψh khТак как у нас есть аппроксимация, то kψh kh 6 M1 hk , M1 не зависит от шагов h. Изэтих неравенств вытекает оценка:kzh kh 6 M3 hk , где M3 = M2 M1 − не зависит от шагов h и lim kzh kh = 0h→0Причем точность будет такого порядка, как и аппроксимацияГлава 5Методы решения обыкновенныхдифференциальных уравнений исистем ОДУ§1 Постановка задачи Коши и примеры численныхметодов интегрирования задачи Коши du= f (t, u(t)),dtu(0) = u ;0t > 0,(1)u(t) = (u1 (t), u2 (t), . . . , um (t))T ,f (t, u(t)) = (f1 (t, u(t)), . . .
, fm (t, u(t))T ,|u|2 = u21 + u22 + . . . + u2m ,Рассмотрим параллелепипедR = {(t, u) : |t| 6 a,|u − u0 | 6 b}.Определение. Функция f (t, u) удовлетворяет в R условию Липшица по второмуаргументу, если ∃L > 0 и выполнено неравенство:|f (t, u) − f (t, v)| 6 L|u − v|Пусть f (t, u) из (1) удовлетворяет условию Липшица в R. Тогда решение (1) u(t)существует и единственно при 0 < t < T . Проинтегрируем первое уравнение из (1) иучтем начальное условие:Ztu(t) = u0 +f (t, u(x))dx097На этом представлении основан метод Пикара:Ztun+1 (t) = u0 +f (t, un (x))dx0Этот метод не может быть эффективным методом решения задачи (1), так какинтеграл не всегда можно посчитать аналитически, да и сходимость была бы медленной.
Поэтому для решения систем ОДУ применяются разностные методы: перваягруппа методов - методы Рунге-Кутта, вторая - многошаговые разностные методы(например, метод Адамса).Введем сетку:wτ = {tn = nτ, τ > 0, n = 0, 1, 2, . . . }Пример 1. Схема Эйлера.Введем обозначения:un = u(tn ) fn = f (tn , un )Тогда схема Эйлера имеет вид: yn+1 − yn = f (t , y ),n nτy = u , n = 0, 1, . .
.00tn ∈ wτ(2)Получили явную схему. Явная, так какyn+1 = yn + τ fn ,n = 0, 1, . . .Запишем погрешность аппроксимации:ψn = −un+1 − un+ fnτ(3)Разложим un+1 в ряд Тейлора в точке tn :un+1 − un= u0n + O(τ )τПодставим последнее выражение в (3):ψn = −u0n + fn + O(τ )Учитывая, что −u0n + fn = 0, окончательно получим:ψn = O(τ ),Это означает, что разностная схема (2) аппроксимирует исходную задачу.Если будет доказана оценка |yn − u(tn )| 6 M τ , где M не зависит от τ , то этобудет означать сходимость.98Пример 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
