Конспект лекций - 3ий поток, лектор - Ионкин (1113828), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

По определению f (x0 , x1 ) =. Тогда f (x0 , x1 ) =+,x1 − x0x0 − x1 x1 − x0то есть для k = 1 формула справедлива. Предположим , что она справедлива и дляk = l:ll+1XXf (xi )f (xi ),f(x...,x,x)=(2)f (x0 , x1 , . . . , xl ) =1ll+100w(x)w(x)ii0,l1,l+1i=1i=0По определению составим l + 1 разделенную разность и представим её в виде трехслагаемых:!lPf (x0 )f (xl+1 )f (xi )11f (x0 , x1 , . . . , xl+1 ) =++− 0000(x0 − xl+1 )w0,l(x0 ) (xl+1 − x0 )w0,l(x0 ) i=1 xl+1 − x0 w1,l+1(xi ) w0,l(xi )0000Очевидно, что: (xl+1 − x0 )w1,l+1 (xl+1 ) = w0,l+1 (xl+1 ) и (x0 − xl+1 )w0,l (x0 ) = w0,l+1 (x0 ).Далее рассмотрим выражение , стоящее под знаком суммы:!111− 00xl+1 − x0 w1,l+1(xi ) w0,l(xi )Домножая числитель и знаменатель первой дроби, стоящий в скобках на xi − x0 , авторой — на xi − xl+1 , получим:!1xi − x0xi − xl+11− 0= 00xl+1 − x0 w1,l+1 (xi )(xi − x0 ) w0,l (xi )(xi − xl+1 )w0,l+1 (xi )530000(xi ).(xi )(xi − xl+1 ) = w0,l+1(xi ), w0,l(xl+1 )(xi − x0 ) = w0,l+1Очевидно, что w1,l+1Подставляя полученные выражения в исходную сумму, получаем формулу (1) дляk = l + 1:l+1Xf (xi )f (x0 , x1 , .

. . , xl+1 ) =0w0,l+1 (xi )i=0Выразим значение функции в k−м узле через f0 и разделенные разности доk−го порядка:при k = 1 : f (x0 , x1 ) =f (x1 ) − f (x0 )f (x0 )f (x1 )=+x1 − x0x 0 − x1 x1 − x0Домножив обе части на x1 − x0 получим:(x1 − x0 )f (x0 , x1 ) = f (x1 ) − f (x0 ) и f (x1 ) = f (x0 ) + (x1 − x0 )f (x0 , x1 )при k = 2 : f (x0 , x1 , x2 ) =(3)f (x1 )f (x2 )f (x0 )++(x0 − x1 )(x0 − x2 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 ) (x2 − x1 )(x2 − x0 )Следовательно:(x2 − x1 )(x2 − x0 )f (x0 , x1 , x2 ) =f (x0 )(x2 − x1 ) f (x1 )(x2 − x0 )++ f (x2 )x 1 − x0x0 − x1Подставим ранее полученное для f (x1 ) и объединим полученные слагаемые:f (x2 ) = f (x0 ) + f (x0 , x1 )(x2 − x0 ) + (x2 − x0 )(x2 − x1 )f (x0 , x1 , x2 )(4)Тогда можно сказать, чтоf (xk ) = f (x0 ) + (xk − x0 )f (x0 , x1 ) + . . . + (xk − x0 ) .

. . (xk − xk−1 )f (x0 , x1 , . . . , xk ) (5)Замечание. Безусловно, формулу (5) можно аккуратно доказать методом полнойматематической индукции. Мы показали лишь переход от k = 1 к k = 2.§4 Интерполяционная формула НьютонаПолучим в явном виде интерполяционный полином Ньютона Nn (x) для функции f (x) по узлам {xi }n0 . Для этого воспользуемся формулой (5). Полином Nn (x)получается из (5) заменой xn на x:Nn (x) = f (x0 ) + (x − x0 )f (x0 , x1 ) + . .

. + (x − x0 ) . . . (x − xn−1 )f (x0 , x1 , . . . , xn )(6)По определению интерполяционного полинома нужно показать,что Nn (xi ) =f (xi ) ∀i = 0, n. Ясно, чтоNn (xi ) = f (x0 ) = (xi − x0 )f (x0 , x1 ) + . . . + (xi − x0 ) . . . (xi − xi−1 )f (x0 , x1 , . . . , xi )54По формуле (5) это равно f (xi ). А значит полином (6) является интерполяционным полиномом и носит название интерполяционного полинома Ньютона. Длявычисления погрешности интерполяционного полинома Ньютона можно воспользоваться формулой:f (n+1) (ξ)w(x)ψNn (x) =(n + 1)!Или в более привычной форме , положив Mn+1 = sup |f n+1 (x)| по всем x :|ψNn (x) | 6Mn+1|w(x)|(n + 1)!Замечание.

Если узлы фиксированы , то удобен полином Лагранжа, а если фиксирована функция, а количество узлов увеличивается на каждой итерации, то удобенполином Ньютона.§5 Интерполирование с кратными узлами. ПолиномЭрмитаПостановка задачи: Пусть заданы m + 1 узел {xi }m0 и значения функциив этих узлах f (x0 ) . . . f (xm ). Кроме того, в каждом узле заданы производныеf (a0 −1) (x0 ) . . . f (am −1) (xm ) где ai − кратность для узла xi . Задача заключается в построении полинома n−й степени, значения в узлах которого совпадают со значениямизаданной функции, а его проводные - со значением соответствующих производныхзаданной функции:Hn(i) (xk ) = f (i) (xk )(1)Тогда ясно, что a0 +a1 +· · ·+am = n+1.

Если это выполнено, то полином Эрмитаищется и представляется в виде:Hn (x) =m aXk −1Xck,i (x)f (i) (xk )(2)k=0 i=0где ck,i (x)− полином n−й степени от x.Построим полином Эрмита с кратными узлами H3 (x), где узел x1 −кратный (в немзаданы значения f (x1 ), f 0 (x1 )), а узлы x0 , x1 − простые:H3 (x0 ) = f (x0 )H (x ) = f (x )3 11H3 (x2 ) = f (x2 ) 0H3 (x1 ) = f 0 (x1 )Будем искать его в виде:H3 (x) = c0 (x)f (x0 ) + c1 (x)f (x1 ) + c2 (x)f (x2 ) + b1 (x)f 0 (x1 )(3)55Ясно,что:c0 (x0 ) = 1c (x ) = 00 1c0 (x2 ) = 0 0c0 (x1 ) = 0c2 (x0 ) = 0c (x ) = 02 1c2 (x2 ) = 1 0c2 (x1 ) = 0c1 (x0 ) = 0c (x ) = 11 1c1 (x2 ) = 0 0c1 (x1 ) = 0b1 (x0 ) = 0b (x ) = 01 1b1 (x2 ) = 0 0b1 (x1 ) = 1Исходя из этой таблицы, выпишем последовательно все коэффициенты полинома H3 (x).Ищем c0 (x) в виде: c0 (x) = k(x − x2 )(x − x1 )2 , а k найдем из условияc0 (x0 ) = 1.

Значит 1 = k(x0 − x2 )(x0 − x1 )2 и :c0 (x) =(x − x2 )(x − x1 )2(x0 − x2 )(x0 − x1 )2Аналогичными рассуждениями можно получить коэффициент c2 (x) :c2 (x) =(x − x0 )(x − x1 )2(x2 − x0 )(x2 − x1 )2b1 (x) будем искать в виде b1 (x) = k1 (x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ). Перепишем b1 (x) в виде:b1 (x) = (x − x1 )[k1 (x − x0 )(x − x2 )], b01 (x) = [. . . ] + (x − x1 )[. . . ]0 . И в точке x1производная будет равна : b01 (x1 ) = k1 (x1 − x0 )(x1 − x2 ) = 1.. Откуда получаем, чтоb1 (x) =(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 )(x1 − x0 )(x1 − x2 )Коэффициент c1 (x) будем искать в виде x1 : c1 (x) = (x − x0 )(x − x2 )(ax + b).

Так как:(c1 (x1 ) = 1 = (x1 − x0 )(x1 − x2 )(ax1 + b)c01 (x1 ) = 0 = a(x1 − x0 )(x1 − x2 ) + (ax1 + b)(2x − x0 − x2 )то2x1 − x0 − x21a=−b=22(x1 − x0 ) (x1 − x2 )(x1 − x0 )(x1 − x2 )x1 (2x1 − x0 − x2 )1+(x1 − x0 )(x1 − x2 )Окончательный вид c1 (x) :(x − x0 )(x − x2 )c1 (x) =(x1 − x0 )(x1 − x2 )(2x1 − x0 − x2 )(x − x1 )1−(x1 − x0 )(x1 − x2 )Таким образом, показано, что коэффициенты H3 (x) находятся в явном виде иоднозначно.Оценка погрешности полинома Эрмита H3 (x), построенного поузлам x0 , x1 , x2Введем функциюq(s) = f (s) − H3 (s) − Kw(s),(4)56гдеx0 6 s 6 x2 ,x ∈ [x0 , x2 ],w(s) = (x − x0 )(x − x1 )2 (x − x2 ) — полином 4-й степени.Постоянную K(x) выбираем из условия:q(x) = 0 = f (x) − H3 (x) − Kw(x)Тогда ясно, что константу K нужно брать равнойK=f (x) − H3 (x)w(x)Функция q(x) имеет 4 нуля на отрезке [x0 , x2 ].

Предположим, что функция f (x)гладкая. Значит к ней можно применить теорему Ролля. У полученной функции q 0 (x)— не менее 3х нулей. Так как узел x1 – кратный, то на данном этапе добавляетсяq 0 (x1 ) = 0, откуда следует, что q 0 (x) имеет не менее 4х нулей, а значит, q 00 (x) – неменее 3х нулей, q 000 (x) – не менее 2х нулей, и тогда q IV (x) – не менее одного нуля.Таким образом существует точка ξ, в которой q IV (ξ) = 0.Тогда продифференцируем 4 раза функцию q(s):q IV (s) = f IV (s) − k·4!Согласно теореме Ролля ∃ξ ∈ [a, b], в которой q IV (ξ) = 0.

Если обозначитьM4 =sup |f IV (x)|,x0 6x6x2то получим|f (x) − H3 (x)| = |ψH3 (x)| 6M4M4|w(x)| =|(x − x0 )(x − x1 )2 (x − x2 )|4!4!Получили оценку для ПЭ H3 (x).Используя оценку ΨH3 получим, что ∀n ∈ N :ΨHn (x) =f (n+1) (ξ)(x − x0 )a0 (x − x1 )a1 . . . (x − xm )am(n + 1)!(5)И если обозначитьMn+1 = sup |f (n+1) (x)|,xтоMn+1|w(x)|(n + 1)!Полином H3 (x) может быть получен из многочлена L3 (x) с помощью предельного перехода. Пусть есть узлы x0 , x1 , x2 , x3 , где x3 — фиктивный узел.

По этим 4музлам можно построить L3 (x)Первое слагаемое|ΨHn (x)| 6L3 (x) =(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )f (x0 ) + . . .(x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 )При сведении к H3 (x) коэффициенты (x − x3 ) → (x − x1 ) и (x0 − x3 ) → (x0 − x1 ).57Задача. Доказать, чтоlim L3 (x) = H3 (x)x3 →x1Решение: Рассмотри полином Лагранжа для функции f :(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )f (x0 ) + . . .(x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 )L3 (x) =Тогда(x − x1 )2 (x − x2 )f (x0 ) + · · · = H3 (x)x3 →x1(x0 − x1 )2 (x0 − x2 )Подробные выкладки предлагаем провести читателю.lim L3 (x) =§6 Использование полинома H3(x) для оценки погрешности квадратурной формулы СимпсонаРассмотрим интегралRbf (x)dx.

Будем вычислять его с помощью квадратурнойaформулы Симпсона.Разобьем отрезок на n частичных сегментовa 6 x0 < x1 < x2 < · · · < xN 6 bтак, чтоxi − xi−1 = h = const.Тогда, квадратурная формула Симпсона на частичном сегменте имеет вид:Zxif (x)dx =h(fi−1 + 4fi− 1 + fi ),26(1)xi−1где f (xi ) = fi , а fi− 1 — значение функции в середине отрезка [xi−1 , xi ]:2fi− 1 = f (xi−1 + 0.5h)2Если подынтегральная функция имеет видf (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ,то квадратурная формула Симпсона просто точна (для второй степени — точна попостроению).Докажем, что формула точна для x3 :Zxix3 dx =x4i − x4i−1(x2 − x2i−1 )(x2i + x2i−1 )= i=44xi−1(xi − xi−1 )(xi + xi−1 )(x2i + x2i−1 )h== (xi + xi−1 )(x2i + x2i−1 )4458Тогда3 !x+xh 3hii−1(xi−1 + 4x3i− 1 + x3i ) =(xi−1 + xi )(x2i−1 − xi xi−1 + x2i ) + 4=2662(xi + xi−1 )(x2i + 2xi xi−1 + x2i−1 )h22=(xi−1 + xi )(xi−1 − xi xi−1 + xi ) +=62 22xi−1 − 2xi xi−1 + 2x2i + x2i + 2xi xi−1 + x2i−1h= (xi + xi−1 )=62Zxihh2222= (xi + xi−1 )3(xi−1 + xi ) = (xi + xi−1 )(xi + xi−1 ) =x3 dx.124xi−1Это и есть аналитическое выражение интеграла.

Характеристики

Список файлов лекций