Конспект лекций - 3ий поток, лектор - Ионкин (1113828)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваФакультет Вычислительной Математики и КибернетикиНеофициальные конспекты лекций численных методов 3-гокурса 3-го потока (версия 3.0)лектор Н.И. ИонкинМосква2012Данные конспекты отражают содержание лекционного курса «Численные методы», читаемого студентам факультета вычислительной математики и кибернетикиМГУ им. М.

В. Ломоносова. Конспекты составили студенты 3–го курса кафедры СПА.С. Колганов, И.Т. Ядгаров, О.В. Горемыкин и Д.М. Биренбаум. Конспекты неявляются официальной литературой и не могут быть использованы в качестве основного материала на экзамене. За все ошибки, допущенные в данных конспектах,составители ответственности не несут.Отдельная благодарность за исправление ошибок: Байбородову А., Федорову А., Белышову М.c Факультет вычислительной математики и кибернетикиМГУ им. М. В. Ломоносова, 2012 г.Версия 3.0стр 5 — исправлено индекс cii → cijстр 6 — исправлено в формуле (6) f на Yстр 12 — В выражении (3) и выражении ниже в сумме должно быть вместо sll , стоятьsliстр 14 — исправлена ошибка в выражении xiстр 17 — В определении невязки в rn индекс должен быть верхним.

Аналогично далее и для W(1 − r)домножитьстр 26 — В условии теоремы в правой части неравенства должныtна B.стр 27 — В выражении S = 1 − . . . , вместо 1, должна быть E как ниже.Внизу стра11ницы: вместо подействуем оператором B − 2 , должно быть B 2 .Версия 2.0:стр 5 — исправлено на "ЧастичнАЯ, полнАЯ проблемА"стр 6 — добавлено предложение "Покажем, что нахождение . .

. "m(m + 1)(2m + 1)m(m + 1)(2m + 1)→стр 7 — ошибка в формуле:26стр 8 — в конце параграфа 2: вместо "эквивалентно" — "совпадает"стр 16 — в замечании: "Если параметр τ и матрица В зависят !от итерации! . . . "стр 42 — исправлено: "домножим матрицу А слева . .

. "стр 56 — исправлен абзац про применение теоремы Роллястр 67 — исправлен последний абзацстр 71 — объединение двух формул (4)стр 73 — в формуле (4) был пропущен верхний индексстр 74 — в формуле (11) ωτ hстр 75 — исправлены ошибки в формулах, начинающихся на zin+1Оглавление1 Численные методы линейной алгебры§1 Введение . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§2 Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители . . . . . . . .§3 Обращение матриц методом Гаусса-Жордана . . . . . . . . . . . . . . . .§4 Метод квадратного корня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .§5 Примеры и канонический вид итерационных методов решения СЛАУ . .§6 Теоремы о сходимости итерационных методов . . . . . . . . . . . . . . . .§7 Оценка скорости сходимости итерационных методов . . . . . . . . . . . .§8 Исследование сходимости попеременно треугольного итерационного метода§9 Методы решения задач на собственные значения .

. . . . . . . . . . . . .§10 Приведение матрицы к верхней почти треугольной форме . . . . . . . .§11 Понятие QR – алгоритма. Решение полной проблемы собственных значений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.§12 Предварительное преобразование матрицы к верхней почти треугольнойформе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Интерполирования и приближение функций§1 Постановка задачи интерполирования . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .§2 Интерполяционная форма Лагранжа Ln (x) . . . . . . . . . . . . . . . . .§3 Разделенные разности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§4 Интерполяционная формула Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§5 Интерполирование с кратными узлами.

Полином Эрмита . . . . . . . .§6 Использование полинома H3 (x) для оценки погрешности квадратурнойформулы Симпсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§7 Наилучшее среднеквадратичное приближение функций . . . . . . . . .3 Численное решение нелинейных уравнений и системуравнений§1 Введение . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§2 Метод простой итерации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§3 Метод Ньютона и метод секущих . . . . . . . . . . . . . . .§4 Сходимость метода Ньютона. Оценка скорости сходимости.....4458111318252933394547494950515354. 57. 60нелинейных............4 Разностные методы решения задач математической физики....................646465677072Оглавление3§1 Явная разностная схема для первой краевой задачи уравнения теплопроводности . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§2 Чисто неявная разностная схема (схема с опережением) для первой краевой задачи уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . .§3 Симметричная разностная схема (схема Кранка–Никольсона) для первойкраевой задачи уравнения теплопроводности . . . . . . . . .

. . . . . .§4 Задача Штурма-Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§5 Разностная схема с весами. Погрешность аппроксимации на решение . .§6 Разностные схемы для уравнения Пуассона (задача Дирихле) . . . . . . .§7 Разрешимость разностной задачи Дирихле. Сходимость разностной схемы§8 Методы решения разностных схем для задачи Дирихле . .

. . . . . . . .§9 Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Методы решения обыкновенных дифференциальных уравненийсистем ОДУ§1 Постановка задачи Коши и примеры численных методов интегрированиязадачи Коши . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .§2 Методы Рунге-Кутта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§3 Многошаговые разностные методы решения задачи Коши . . . . . . . .§4 Понятие устойчивости многошаговых разностных методов . . . . . . . .§5 Жесткие системы ОДУ . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§6 Дальнейшее определение устойчивости и примеры разностных схем. Интегрирование жестких систем дифференциальных уравнений . . . . .727779818587899193и96.....9699103105109. 111Глава 1Численные методы линейной алгебры§1 ВведениеРассмотрим матричное уравнение видаAx = f,(1)где A — матрица размера (m × m), |A| =6 0,x = (x1 , x2 , . . . , xm )T,f = (f1 , f2 , .

. . , fm )T.Так как матрица A невырождена, то решение системы (1) существует и единственно. Существует две группы методов поиска решения системы линейных алгебраических уравнений:1. Прямые методы.2. Итерационные (приближенные) методы.Также будем рассматривать задачу на собственные значения:Ax = λx,(2)где x 6= 0 — собственные векторы, λ — собственные значения. При численном решении задачи на собственные значения обычно рассматривают две проблемы:1. Частичная проблема собственных значений.2.

Полная проблема собственных значений – QR алгоритм.В этой главе также будет решена задача нахождения обратной матрицы.5§2 Связь метода Гаусса с разложением матрицы намножителиРассмотрим матричное уравнение видаAx = f,(1)где A — матрица размера (m × m), |A| =6 0.C помощью элементарных преобразований в прямом ходе метода Гаусса получаем верхнетреугольную матрицу с диагональными элементами, равными 1:1 a12 .

. . a1m0 1 . . . a2m  .. ...... . ... 0 0 ...1Сведение матрицы A к данному виду требуетm3 − mдействий (умножений и3m(m + 1)— для преобразования правой части, а для2m(m − 1)обратного хода метода Гаусса потребуетсядействий.2Представление матрицы A в видеделений). Кроме того требуетсяA = BC(2)называется факторизацией матрицы A. Матрицы Bb11 0 . . .01 b21 b22 . . .0 0B =  ........  C =  .. ..... bm1 bm2 .

. . bmm0и C имеют вид:c12 . . . c1m1 . . . c2m ...... ... 0 ... 1Покажем, что нахождение элементов матриц B и C возможно при определенномограничении на матрицу A. Запишем представление (2) поэлементно:aij =mXbil clj .l=1Представим эту сумму в виде:aij =i−1Xbil clj + bii cij +l=1mXl=i+1Так как bil = 0, l > i, l = 1, m то:bii cij +i−1Xl=1bil clj = aijbil clj .6Поделим обе части на bii и выразим cij (для этого требуется bii 6= 0):aij −cij =i−1Pbil cljl=1, i<jbii(3)Перепишем разложение матрицы A = BC в виде :aij =j−1Xbil clj + bjj cjj +l=1Учитывая, чтоmPmXbil clj .l=j+1bil clj = 0 в силу того, что clj = 0,j < l и cjj = 1, получим:l=i+1bij = aij −j−1Xbil clji>j(4)l=1Алгоритм нахождения матриц B и C в представлении (2):1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций