Антидемидович 3 - интегралы (1113364), страница 31
Текст из файла (страница 31)
применив формулу (12) этого пункта н используя формулы (4) — (9). п.7,1. З 7. Векторный анализ в ортотональиых криволинейных координатах получим запись оператора Лапласа в сферических и цилиндрических координатах: 219 а /,аи'1 1 а /. а»1 1 а' 11и = (ьз, тзи) = — — ~р — ) + — — (в!п  — г! + —. рг др ( др) ргв!пд дВ (, ддз! Ргяпд дззг' 1а/а»'1 1а'» а' сг» я — — р — + — — + —.
р др ( др) рг дззг дзг' (16) (19) 234. Вычислить 6гад и, где и(р, В, гз) = Зр вш В+ езсов!г — р. М Применим формулу (2), п.7.2. Получим /ди 1аи 1 ди! / . р езз!и р ! игаг! и(р, В, р) = —, — —, —, — я бреш д+ ерсов!з — 1, Зрсовд, — —, ~,ар: р дд' Ряпд ар) (, ряпВ / 235. Вычислить бган и, где и(р, сг. з) = рг + 2р сов !з — е*зш !з. М Согласно формуле (3), п.7.2, имеем /аа 1 аи аи'! / / . в*с»вез 1 6гы!и(р, Зз, з) = —, — —, — = 2(р+совгг), — 2япге+, е'з!и!з (,ар' р ар: а ) ° )' 236.
Вычислить д!» и, если и = (иг, иг, из) = ~р, — 2 сов ю.— г г зз рг а Применив формулу (14), получим 1 д г 1 д 1 диз гй» а(р, д, гз) = — — (р иг) + —, — (иг згп В) + —, рг ар ряпВ дВ рз!пв ар = — — (р ) — —, — (2сов рз!ад) + —. Р др ряпВ дВ рыл В двз 1 рг + 1 Г 2 = 4р — — сов сгс!6В+ Р Р(Р +1)япд 23 з .
Вычислить г!Н а, где а я (иы иг, из) = (!загс!6 р. 2. — зге') . а Согласно формуле (15), ныеем 1 д 1 диг диз 1 д 1 а а ай» и(р, !з, з) = — — (раг)+ — — + — = — — (рггагс!6 р) + — — (2) — — (з е) = р ар р а; а р ар вар а. я — аы!6р+ — +2зе + з е . !ь Зз Р г з ,г) з!гир г 239. Вычистив го! а. где а = (из, из: из) = (сов !Р, — — Р ) . Р 238. Найти го! и.
если а = (иг, из, из) = (рг, 2соз В, -!е). М Применим форлгулу (16). Получим го! и(Р, д, 'Р) = /а аиг'1 1 аиз 1 а (из в!и д)— 1Р.!пВ [,ад а~) ' Рз!па ар Р аР 1 д 1 аиг'1 (риз), — (Риг) ) , ав) / !Р 2совд ! ,!6В,—,— ) > Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы 220 М Согласно формуле (17), имеем !»1д ди, ди, ди, 1 д 1 ди! 1 гог и(р, да») = (х — — — —, — — —, — — (риз) — — — ~ = '! р др д» ' д» др ' р др д,) У'1 д, д /м'пр'1 д д, 1д 1 д — — (р ) — — —, — (соз!Р) — — (р ), — — ( — соБ!Р) — — — (сиз Ьв) (,, а; д» (, р / ' д» др ' р др рдр О,— 2р,— Г»2 сов В »1п В 240. Доказать, что векторное поле и = (и!, из.
из) = (, —, 0 потенциальное. ,з ',з и Поскояьку класс потенциальных векторных полей совпадает с классом безвихревых полей, то достаточно показать. что гос и = О. Прплгенпв форлгулу (16), получим гог и(р, В, и) = =( —,.„,в(;в(0'гад) - з— ('— "з')) —,' вз' ( — '"!")-Тз (О Р) Те' Я- -'зв ( — '"!")) = 241. Найти поток векторного поля и = (иг, из. из) = (р В, резв, 0) через внешнюю сторону верхней полусферы 5 радиуса Я с центром в начале координат. и Пусть и — часть координатной поверхности д! = С, где С се сопзг! ограниченная координатнылви линиями д! = о! дз = оз (о! < оз)~ дз = р! дз = (3» (д! < дз). Тогда поток вектора и(дг, дз! дз) = (и!(Вы дз, дз).
из(ды дз, дз)! из(дг, дз, дз)) через поверхность и а направлении вектора е! вычисляется по формуле 3 Рз и(а", и) = / / иг(С, дз, дз) Нз(С, дг. дз) Нз(С, дз, дз) г1дз Йдз (20) ! р! л дг=Р=Я,д»=В,О<В< †, дз=1»,.0<гв<2!г. 2' Принимая во внимание, что в сферических координатах Н! = Нр — — 1. Нз = Нв = р, Ыз = Н„= ргйп Ьз, по формуле (20) получаем з (Я,)1!!1»!'Вз=!»1!'!!В!Л в в 242. Вычислить поток векторного поля и = (из, из, из) = (р, », О) через замкнутую поверхность 5! образованную плоскостямп, уравнения которых» = О, » = 1, и цилиндром! уравнение которого р = 1. ч Воспользуемся формулой Остроградского (д; и) = Я!11 в ! Полусфера 5 является частью координатной поверхности р = сопз1, т.е.
р = Л. На поверхности Я имеем , ' 17. Векторный аиаллю в ортогоналъных криволинейных координатах Согласно формуле (15), имеем 1а, 1а В1г а и — — (р ) + - — = 2. , ар , ау Таким образом, лз(5; и) = 2 Е о'«' = 2)Ц = 2я, 221 поскольку объем цилиндра равен т. > 2гпралкнения для самостоятельной работы 172. Найти градиенты скалярных полей: а) и = рсоа у + «з1п у — Зг; б) и = р соз В; в) и = С'— ", С = сопя«. Р 173. Вычислить расходимости векторных полей а: а) и = (р, «з1п у. е~ соз «): б) и = ~ — ", . — *'",, 0), рл,« 174. Вычислить роторы векторных полей; а) а = (2р+ осовев, — пмаВ, рсоа В).
а = совал; б) а = (з!и у. — '~, -р«). 17б. Вычислить поток векторного поля а через заданную поверхность 5, если а = (р. — сову, «), Я вЂ” замкнутая поверхность, образованная цилиндром, уравнение которого р = 2, и плоскостял~и, уравнения которых ««е О, «м 2. Ответы Глава 1 2. Непрерывна. 3. Непрерывна.
4. Непрерывна при у ф О. 5. 1. 6. О. 7. -, Я вЂ” 1). 8. О. 14. Непрерывна днфференцируема. 15. Непрерывно дифференцнруема при у ~ О. 18. Равномерно. 19. Равномерно. 20. Равномерно. 21. Равномерно. 22. Неравномерно. +«а 23. Неравномерно. 24. Неравномерно. 25. Неравномерно. 26. 1, 27. †. 28. О. 31. 1 †" * Их. о 32. -"(а1~. ЗЗ. «а — «' при 0 < а < 2; «при а > 2.
34. «. 35. — епг. 36. х(о М~ — 1). ' 2 ' ' 2 О 2 < «ь— 2 2 37. -1п(1+а ). 38. г/гх — г ). 39. — (Г(а+1)). 40. — ) е К|ИЬ ) е< !Ыьг. Ы 2 о о ь ь=о +«а 62. <Л/'(Л); -Л~/(Л). 63. — ' / г (2)2' — 2 ЗЛ. аг Глава 2 о г+е/г-уг 1. 9,88. Точное значение 2<г(7 — е/244). 2.
8 < 0,00022. 5. Отрицательный. 6. ) Ыу ) /(х, у) <Ь. -1 г-цг-уг а о Е/г=-аз 1 1«а г/аг-уг / 2 у2 7. ) <Ь 1',г"(х, у) Иу+) бх ) /(х, у) бу. 8. 1' ау ) /(х, у)<Ь+ ) бу ) /(х, у) <гх. -г о о —. /а -у ./2 2 а 2« 2« 2« Пх, )бх+,(бу )' ~(х, у)бх+,) бу) Дх, у)бх. у ао~/ 2-22 К 2 2 « Р 2 7 ь <.ЬР 10. а) ) ае1 /(исозе, из!ив)иби; б) ) ае) /(исозе, гйп е)иЫи. 11. 1 бе 1 /(и-ие, ие)иИи. о о о а о 1+а ь а +Ь 2 12. — ) Ые ) и/ ((1 — е)-", ие) Ии+ — ) Ие ) и/" ((1 — е)-", ие) <ги. о о ь о а «Ь 2« 13. 3) Рлр2' 1(Рсоа <ог Ргбп <Р)зш у<сов Пб<Р.
14. у = ие, х = е. 15. а) Нерейти к поляра о з кым координатам; б) положить х = и, у = е. 16. —. 17. 82,-, 18. (22/2 — -) аз. 19. 14а . 20. — <га . 21. -бх . 22. —. 23. —. 24. -1п 2 — —. 25. —. 26. —. 27. О, если одно нз чисел зь < 2 г 1 ь г. гг."-. г."" "'. + +роз Га оа+р+ггп Ответы ггз ЗО. а,, 31 , О . 33. Ьг = †, ьгзрозть, 34. Сходится при р < 1. 35. Сходится при р < 1. ЗВ.
Сходится при р < 1. 37. Сходится при р < 1. 38. , р > у > 1. 39 з р > 1. 40. —. 41. -'. 42. —. 43. — — '""а — в-. 44. —. 45. 2ьгВ (-, 1 — р), р < 1. 46 хз 2ь 47. )/ — '. где й = дев(ао), 50. —,(4х — 1 — 3 /3). 51. -(а + Ь'). 52. — '. 53. -'„-~ (Ьт+ Ьт) . 54' ь ' 55 ьолв ' 56' зьв (ьв + ьз) 57' Ь (ьз + ьв). 58' з(з/Ь вЂ” зььа)(ь/и — ь/тз). 59. -(/Ь вЂ” з/а)(з/т — в/й)р, где р = а+Ь+т+и+чаЬЬ+ т/тп.
60. — ", . 61. -+ з 1п(1+т/2). 70. — '(а+Ь). 71. х«Ьс — „, . 72. —, ( — ) . 73, —. 74. (- —,с ) оЬс. 75.,~~(а+ив)(За — Ьаги+ Зтз). 76. -та (2/2 — 1). 77. За . 78. — '(20 — З.г). 79. 2« . ВО. -(Зт/ТО+1п(З+ ь/10)). з вь. ф(' ьЬ) '((',в,' ')ь Ь) . '; ьо 2- ь «ва. в. фь.
в. —;". 85. -ьга . 86. —,'Ьт-. 87. 2хз(1-аз)аЬс. 88. ' о '~„,. 89. —. 90. —, 91. 2(2 — т/2)(Ь вЂ” а ). 02. — 'аЬс, 93. — таЬс. 94. — ( — + — 1 ( — + — ) . 95. —. 96. —. 97. — '. 96. -ха :ьв в Ьсь Ьь/' Ьзз «Ьс «Ьс аЬ В З в ' ' ь ' во л » ( лв Ы / мссоо ' ' з ' нво ' ' з ( з. ь .) 100. ( вв ь' ) 101. (П, -;)- 102 (ь,.з, †,",..) 103 ("в', "в'). 104.
1. = — ьз Ь = (Ьь — Ьз(. 105. 1 з— ха 1т ззха, 106. 1 = 1„= ьь' ЬГЬЬ-ьв~ С72 ' 107 1 — 1т — в 108' 1 —, 109. (О, О, ). 110' (в — ) ' О, О). 111, (О 0' зо)' 112. (О, О, ва). 113. (1, 1, -). 114. 1„в — — —,аЬс ь 1«в = — а Ьс, 1«в = —,аЬ с. 115. 1„в —— — аЬсз(15т — 16), 1т, — — — а Ьс(105х — 92), 1«с = —,аЬ с(105х — 272). 116.
1„в —— -хаЬс, ь,.-у-'ь, ь.. =Ь-т.. ьо. ° =;.г.*ь.пас — ''ь' 'ь /в(ь-*ь,ьт~(Г:ьв въ/а~ + гз — ((Ь вЂ” х)~Ь-х~+х(в~)). 118. вв' = (О, О, — хйротвгп а). 119. з/5Ь 2. 120. Зз-(52/5 — 1). з ,/ з звь 121. з . 122. — (1+2ьг )2 — 1).
123. -1(хз+1)2 — (х, +1)2). 124. (1+ с )ъ~З. з 125. — вьет/2 Звгз — 1)(2ьгз + 1)2 + 1 . 126. в,р . 127. 3. 128. — «а,*/а. 129. 13. 132. и = 1п)х-У(+ — "+ — — — "+С. 133. и = — +С. 134. 2хагсЬ —. 135. «' à — — ' — т — — — т), а-В 2 3 ' .-у и ' ' с(«-22 ((с-а)" Ьс+«Ь" и ф.2. 136. В~В ( з + — ). 137. —. 138. О. 139.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
