Антидемидович 3 - интегралы (1113364), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Векторный анализ и ортогональных криволинейных координатах 215 Действительмо, если Ф(р, В, р) = (рыл В совр, рьгп Вяп Га, рсоьВ), р ) О, О < В < 0 < ьг < 2х, и гр(р, га, ь) = (репью, рь1п Гь, ь), р ) О, 0 < га < 2я, з б !к, то имеем дгй двз — ю (ага йсозга,ь1пВь1пю, созВ), — = (рсоьдсоьГа, рсоьВявю, -рз1пВ), др дй аф — = ( — рьгп Вял 1ь, ряпй сов ю, 0), др дзР— = (сов Зг,з1п 1а, 0), др ар — = ( — ряп и, р сов ю, 0) дсь Если систел~а криволинейных координат Вг, Вз, дз ортогональна, то векторы — (г ая, 1, 2, 3) образуют базис пространства !а~, и базис ) е, = — — (О); ! = 1, 2, 3).
где И, являетсв арнзанорь~ироеанным. Функции И, называются па- раметрами Лале. Базис (е,; г = 1, 2, 3) и паралгетры Ламе изв~еняются при переходе от точки к точке. Если в ортогональной криволинеймой системе координат дг, Вз, Вз одна координата фиксирована, то отображение гй определяет лгногообразие класса С' размерности р = 2 — гладкую поверхностти которую будем называть координатной лоеерхносигью.
В пространстве И существует три семейства координатных поверхностей. Через кахкдую фиксированную точку евклидова пространства !й проходит по одной поверхности каждого из трех семейств. з Рассмотрим элементарную ячейку, образованную тремя парами сложных координатных поверхностей, и обозначим а!ю Ы!з, а!з длины ребер ячейки.
Имеем а!1 = Иг г!Вг и!2 Из г!Вз а!3 Из г!Вз (з) где И, (! = 1, 2, 3) — параметры Ламе. Действительно, а = агьг+~аагтЮ= дф = ы;,ц, ( = 1, г. з). Вычислим параметры Ламе для случаев перехода от декартовой прямоугольной системы коордимат к сферической и цилиндрической системам координат. При переходе к сферической системе координат имеелг — япз Всозз зь+згпзВяпз зь+ соззВ = 1, (4) рзсоззйсоьз ге+ рз соьз Вяп Ге+ рзявзй = р, (5) = р ь1п В, (б) 17) н а при переходе к цилиндрической системе координат получим "-,) = — = (о, о, 1), дгР дь —.") = Гп. 2. Кратные н криволинейные иитегрялы газ Зз + рз соэз 1з = р, (8) = /1=1, (9) Определение 2. Элементом обьел1а Ыг' в криволинейных координатах вг, йз, дз. соответствующим приращеииял~ Ид, координат д, (1 = 1, 2, 3) в томке д = (Вм вз, уз), вв называется объем параллелепипеда, посаьроеинозо иа векторах — (о) Ыд,. вг Согласно этому определению имеем (10) ВК(9) = где Г \ в (ч) ауз, в (ч)айз, в (Ч) бйз~ — определитель Грана от векторов — (а) бф (~ = / вв вв вв вв 1.
2, 3). вв Приннл~ая во внилтние ортогональиость векторов — (( = 1, 2, 3), получим во l дФ дйг 'г / дкз дкг з / дФ дич 31'(Ч) = ~ И) И)/1 ~ — (Ч) — (9)) ( — (Ч) — (Ч) 491 бйз "чз = дуг ' доз даат ' дуг дуз ' дуз = Н,н,н,бй, б„б„, (11) Пспользуя определение 2 и формулы (4) — (11), моькно получить известные вырагкения для элементов объема в сферической н цилиндрической системах координат: ВК(р, В, зз) = р юа Вбрбббю, г(1г(р.
зз, г) = рбрбюбз. Параметры Ламе называют масштабными лшомителялш. Координатные линии, вдоль каждой пз которых изменяется лишь один параметр, можно представить как кривые в пространстве И, на которые нанесены шкалы этих параметров. Параметры Ламе Н, на этих з кривых преобразуют параметры д, в длины дуг соответствующих кривых, 7.2. Градиент скалярного поля. Пусть в области Р' С м~ задано дифференцируемое скалярное поле о ~ и(9).
Компонентами вектора бгад и(о) в базисе (е; = л в (о); 1 = 1, 2, 3 ( являются его проекции — (у) = вв в и, ви ви (бган и(о). е,) на направления, определяемые векторамп е,, Поскольку (бган и(о), е;) ц (бхай и(0), в (д)) = — в (о), то спРаведливо пРедставвение 1 ди 1 ди 1 ди бгао и(д) = — †(д)ег + — †(д)ез + — †(9)ез. Нг доз Нз даат Нз джаз В частности, в сферической и цилиндрической системах координат вектор — градиент скалярного поля и имеет следующие представления: ди 1 ди 1 ди йгад и(р, В, р) = — (р, В, ю)ер+ — — (/б В, р)ее+ —. — (р, В, р)ек, др ' ' р дб ' ' рмиВдр ди 1 ди ди Всади(Р, Р, г) = (Р, Р, з)е„+ — — (Р, Р, з)ее+ — (Р, Р, з)е„ др ' ' ' р др ' ' ' дз (г) (3) где (е„, ев, ее), (ер, ет, е ) — ортонормированные базисы, пороясдаемые отобраясениямн Ф'(р.
В, Зэ) и 1Р'(р, Гв, з) (см. п.7.1). Рассуждая аналогично. получил| 1 дНз 1 днз го| ез = — — ез — — — е>, Нз Н> дд> Нз Нэ ддз 1 дНз 1 дНз го| ез = — — е| — — — еэ. Нэ Нг ддз Нэ Н> д>> (7) Вычислим теперь расходимостн векторов е|. ез, еэ посредством фор|зулы Йт (и>, из] = (Сз, [и>, из]) эз (иэ, гоС и>) — (и>, го| из), полученной при ре>ленни примера 219. Приняв во внимание, что е> = (ез, ез], ез = [ез, е>], ез = (е,, еэ], илзеем: 1 дН> 1 дНз >С>гг ез = (еэ,.
гоз еэ) — (ез, го| ез) = — — + — —: (8) Нэ Н> дд> Нз Н! дд 1 дНз 1 дН> Й| ез = (е>, го| ез) — (еэ, го| е|) = — — + НзН> ддэ Н>Н> ддз ди> 1 днз д|т ез = (ез, гоС ез) — (е|, гоС ез) = — — + — —. (19) Н,Н> ддз Н|Нэ ддз Если и = (и|, из, из). то, л силу линейности операции вычисления расходимости, получим д>г и = Йг (и>е>) + ОЬ (изет) + >С|> (изез) = (с>, из е>) + (сз, изез) + (э>, изез) = = и> Й| е> + из ОСт ез + из Йт ез + (е>, бгаб и>) + (ез, бга>С иг) + (ез, бга>С из) = + из диз и> дНз из дНз и> дН> + + + НзН дд> Н|Н> дд> Н|Нэ ддз Н|Н> ддз иэ дН из днз 1 диз 1 диз 1 диэ + — — + — — + — — + — — + — — = и,Н. д„и,и.
ад. Н, ад, Н, ад, И. а„ сд а а '[ — (и> Нзиэ) + — (и>Н>Н|) + — (изН| Н>) . (11) Н>Н>Н| [ дд> ддэ ддз (9) 3 7. Векторный анализ в ортогональных криволинейных координатах 7.3. Расходнмость н вихрь векторного полл. Для записи операций расходимости и вихря векторного поля д | и(д), д б Р'. в криво- линейных координатах нам понадобятся некоторые вслолюгательные вычисления. Полагая в формуле (1), п.7.2, и = дз, получи|| 1 бга>1 д> = — е|. Н> Взяв операцию вихря от обеих частей равенства (1) и принимая во внимание, что гоС хга>1 д| — — О, имеем 1 1 е>1 1 1 1 1 1 го| — е> = ~~, — ) = — [Сэ, е>] — >е>, 1> — ~ = — го| е| + >ага>С вЂ”, е>~ = О.
(2) н, [ н>] н, ! Н>] = н, и,' Согласно формуле (1), п.7.2, находим 1 1 д (11 1 д /11 1 д >1~ егаб — = — — ! — ) е> + — — ( — ( ез + — — С вЂ” ) ез = И, И а„СН) Н д„(Н/ Н адз 'й) 1 > 1 дн> 1 дН> 1 дН> ~ 1 е> + — ез + — ез / = — — з бгаб Н>.
(3) Нзз ),Из дд> Нз ддз Нз ддз ] Нз Так|>э> образом. равенство (2) принимает вид 1 1 — го| е> — — [бга>С Н|, е>] = О. (4) Н| из Следовательно, го| е> = — [бга>СН| е>]. Поскольку [бга>С Н>, е>] = — — с ез — — — | ез, то > з ен > ел и| и, е, и, ез, 1 дН> аи, го| е> = — еэ — — — еэ (8) Н> Нэ ддз и| Нз ддз 218 Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы Если в формуле (11) взять и = бгаб «, то получим следующее выражение для оператора Лапааса в криволинейных ортогональных координатах: Для вычисления вихря векторного поля и воспользуемся линейностью этой операции, форл>узами (5) — (7), примером 216 и формулой (1), п.7.2: гос и = гоС(и>е>) + гоС(иаег) + гоС(изез) = = иа гоС е> + иг гоС ег + из гоС ез + [бга>1 и>, е>] + [бга>1 иг, ег] + [бгаб из, ез] = и> ВН> и> дН> иг дНг иг дН> — ег — — — ез+ — — ез — — — е> + Н Нз ддз Н Нг ддг НгН> дд> Н Нз ддз из дЫз из дНз 1 ди, 1 ди> + — е> — — — ег + — — ег — — — ез + НзН, ад, Н,Н, дд, Нз адз Н, ддг 1 диг 1 диг 1 диз 1 диз + — — ез — — — е, + — — е> — — — ег = Н> дд> Нз ддз На ддг Й> дд> 1 / д а = — ~ — (Нзиз) — — (Нги,)) е> + — [ — (Н>и> ) — — (Нзиз) ег + НзН, с ддг ддз ) НзН> [с ддз дд> /д д + — [ — (Нгиг) — — (Ы>и>) ез.
(13) Н> Нг ад> ад Выражение (11) можно рассматривать как результат применения формулы Остроградско- го к параллелепипеду К, стороны которого равны смещениям вдоль координатных линий, со- ответствующих приращениям г>д, (а аэ 1, 2, 3), а выражение (13) — как результат применения теореиы Стокса к трем парам граней того же параллелепипеда: 1/ 1 1 б>«в(д) = 1цп — )) (и, в) >13, (гоС и, и) = йш — ~(т, в) Й, и-д иК)) Я-4 Ио У с где ИК = Н>НгНз Вд> Вдг Вдз — объем параллелепипеда, Я вЂ” его граница, в — вектор внеш- ней единичной нормали к поверхности Я, ра — площадь поверхности 5, й — объединение контуров, ограничивающих грани параллелепипеда, т — единичный касательный к й век- тор. При этом следует принять во внимание, что векторы внешней единичной иормаюа и на гранях параллелепипеда К и векторы т, касательные к кривой Х, совпадают с векторами башка (еб а = 1, 2, 3) или противоположны им.
Для вычисления расходимосги и вихря векторного поля в = (и>, иг, из) в сферической и цилиндрической системах координат воспользуемся формулами (4) — (9), п.7.1, и формулами (11), (13) этого пункта. Пмеем а, 1 а аи. б>«и(р, В, сз) = — — (р и>) + —, — (иг жп В)+ —, (14) рг др рз>п д> дВ рз>пв аср ' 1 д 1 двг диз б>«в(р, р> з) = — — (ри>) + — — + —, р ар р ар а ' С'д .
диас гас и(р, В, г>) = —, — (измп В) — — ) ер+ ряпВ [ дВ а~ ) ( 1 аи, 1а лс /1а 1 ди>'С + †, — — — — (риэ)~ ез + ~ — †(риг) — — — ] е„, (16) 1рз>пб дС« рдр ) [ рдр р дВ) 1 диз диг ди> диз 1 д 1 аи~>С >оси(р, ср, з) = ~- — — — ) ер+ ~ — — — ) си+ ~- — (риг) — — — ) е,. (17) 'с,р ар аэ) ' [,а. а,) и ~рар рар) *' Если (р, >), сз) >- и(р. В, гз) и (р, >р, з) > «(р, сз, з) — дважды диФференцируемые ска- з«риме полл. то.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
