Овчинников. Линейная алгебра (лекции) (1113067)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

2Линейная алгебрагдеОвчинников Алексей ВитальевичЛитература1. С. Б. Кадомцев. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.2. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Линейная алгебра.3. Н. Ч. Крутицкая, А. В. Тихонравов, А. А. Шишкин. Аналитическая геометрия илинейная алгебра с приложениями.N — множество натуральных чисел.Z — множество целых чисел.Q — множество рациональных чисел.R — множество вещественных чисел.C — множество комплексных чисел.K — любое из перечисленных множеств.K0 — множество K \ 0.R+ = {x ∈ R : x > 0}.Kn — множество столбцов высоты n с элементами из K.Km×n — множество матриц размера m × n с элементами из K (m строк, n столбцов).ПОЛЕЧисловое поле (ЧП) — это множество чисел, в котором корректны арифметическиеоперации: сложение, вычитание, умножение, деление на ненулевое число.Примеры числовых полей: Q, R, C.Не являются числовыми полями: N, Z, R \ Q.K — любое из перечисленных числовых полей.3.

УМНОЖЕНИЕМАТРИЦan1 an2 . . . anmРазбиение этой матрицы на столбцы имеет видA = [A1 1a1 a21 A1 =  ...  ,an1A2... 1a2 a22 A2 =  ...  ,...,Разбиение этой матрицы на строки имеет вид 1A A2 A= ...  ,An1Am ],a1m ),A2 = (a21...a22...a2m ),An = (an1an2...anm ).Рассмотрим матрицы A ∈ Kn×m , B ∈ Km×p . Их произведение — это матрица C ∈ Kn×p ,элементы которой вычисляются по формулеmajl blk ,l=1j = 1, .

. . , n,k = 1, . . . , p.Рассмотрим разбиение матрицы C на столбцы:C = [C1...Cp ],и обсудим строение k-го столбца:ma1l blk 1 1 l=1alckmm .  . ...  blk =Ck = .. =  ..  =Al blk = A · Bk .mnnl=1l=1ckalanl blkl=1Таким образом,(1) k-й столбец матрицы AB равен линейной комбинации столбцов матрицы A скоэффициентами, равными элементам k-го столбца матрицы B.(2) k-й столбец матрицы AB равен произведению матрицы A на k-й столбец матрицы B.Задача.

Сформулируйте и докажите самостоятельно аналогичное утверждение длястрок матрицы AB.Группа (G, ∗) — это множество G, снабженное операцией∗ : G × G → G,(a, b) → a ∗ b,удовлетворяющей следующим требованиям:(1) ∀a, b, c ∈ G: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) (ассоциативность);(2) ∃e ∈ G ∀a ∈ G: e ∗ a = a ∗ e = a (существование нейтрального элемента);(3) ∀a ∈ G ∃a ∈ G: a ∗ a = a ∗ a = e (существование обратного элемента). Обратныйэлемент обозначается a−1 .5. ПРИМЕРЫa1m2 am Am =  ...  .an2...4. ГРУППАБудем использовать нумерацию элементов матрицы с помощью верхних и нижних индексов; верхний индекс обозначает номер строки, нижний — номер столбца.

Рассмотримматрицу A ∈ Kn×m , 1 1a1 a2 . . . a1m a21 a22 . . . a2m A=.. . .. . .... .. .гдеa12cjk =1. ОБОЗНАЧЕНИЯ2. ЧИСЛОВОЕA1 = (a11anmГРУПП1. (Z, +); (Q, +); (R, +); (C, +). Здесь e = 0.2. (R+ , ·). Здесь e = 1.3. (Q0 , ·); (R0 , ·); (C0 , ·). Здесь e = 1.4. GL(n; K) = {A ∈ Kn×n : det A = 0}. Операция — умножение матриц, e = I (единичнаяматрица порядка n). (Проверьте!)Вопрос.

Что является обратным элементом?5. SL(n; K) = {A ∈ Kn×n : det A = 1}. Операция — умножение матриц, e = I (единичнаяматрица порядка n). (Проверьте!)6. U (1) = {z ∈ C : |z| = 1}. Операция — умножение комплексных чисел, e = 1.(Проверьте!)Вопрос. Что является обратным элементом?37.

SO(2) =cos ϕ − sin ϕsin ϕ cos ϕ: ϕ ∈ [0, 2π) . Операция — умножение матриц. (Проверь-те!)Вопрос. Что является единичным элементом? Что является обратным элементом?Задача. Рассмотрим множество G монотонных строго возрастающих числовых функцийна отрезке [1, −1] и введем на этом множестве операцию композиции функций:∀f, g ∈ G :4(f ∗ g)(x) = f (g(x)),x ∈ [−1, 1].Покажите, что (G, ∗) — группа. Что является нейтральным элементом этой группы? Чтопредставляет собой обратный элемент?6. ПРОСТЕЙШИЕСВОЙСТВА ГРУПП10.

ГОМОМОРФИЗМГРУПППусть (G, ∗) и (H, ) — две группы. Отображение f : G → H называется гомоморфизмом, еслиf (a ∗ b) = f (a) f (b) ∀a, b ∈ G.Множество всех гомоморфизмов групп (G, ∗) и (H, ) обозначается Hom(G, H).Теорема. Пусть f : G → H — гомоморфизм групп (G, ∗) и (H, ). Тогда:(1) f (eG ) = eH ;(2) ∀g ∈ G : f (g −1 ) = (f (g))−1 .Доказательство.1.

Так как eG = eG ∗ eG , то имеемf (eG ) = f (eG ∗ eG ) = f (eG ) f (eG ).Теорема. Пусть (G, ∗) — группа.(1) Нейтральный элемент в группе единствен.(2) ∀a ∈ G обратный элемент a−1 единствен.(3) ∀a ∈ G имеем (a−1 )−1 = a.(4) ∀a, b, c ∈ G: a ∗ b = a ∗ c ⇒ b = c; b ∗ a = c ∗ a ⇒ b = c.Умножим обе части на f (eG )−1 ; получимeH = f (eG ) f (eG )−1 = f (eG ) f (eG ) f (eG )−1 = f (eG ).2. Поскольку g ∗ g −1 = eG = g −1 ∗ g, находимДоказательство. 1. Допустим, что ∃e = e такой, что ∀a ∈ G: e ∗ a = a = a ∗ e .

Положимa = e; тогда e ∗ e = e. С другой стороны, по определению e, e ∗ e = e . Итак, e = e.2. Пусть b = a−1 . Допустим, что ∃c такой, что a ∗ c = c ∗ a = e. Тогдаf (g ∗ g −1 ) = f (eG ) = f (g −1 ∗ g)⇒f (g) f (g −1 ) = eH = f (g −1 ) f (g);отсюда в силу единственности обратного элемента вытекает f (g −1 ) = f (g)−1 .c = c ∗ e = c ∗ (a ∗ b) = (c ∗ a) ∗ b = e ∗ b = b.Завершите доказательство самостоятельно.7. АБЕЛЕВЫГРУППЫГруппа (G, ∗) называется абелевой (коммутативной), еслиa ∗ b = b ∗ a ∀a, b ∈ G.В случае абелевых групп групповая операция часто называется сложением и обозначается знаком +, обратный элемент для a называется противоположным и обозначается −a,а единичный элемент называется нулем и обозначается 0.Вопрос.

Какие из перечисленных выше групп являются абелевыми?8. ПОДГРУППЫПусть (G, ∗) — группа. Непустое подмножество S ⊂ G называется подгруппой группыG, если выполнены следующие условия:(1) ∀s ∈ S: s−1 ∈ S;(2) ∀s, t ∈ S: st ∈ S.Обозначение:S ⊂ G — подмножество группы G;S G — подгруппа группы G.Теорема. Пусть (G, ∗) — группа. Если S G, то S является группой относительнооперации ∗.Задача. Докажите теорему самостоятельно.9. ПРИМЕРЫ1.

(Z, +) (Q, +) (R, +) (C, +).2. U (1) (C0 , ·).3. SL(n, K) GL(n, K).4. SO(2) SL(2, R); SO(2) GL(2, R).ПОДГРУПП11. ПРИМЕРЫГОМОМОРФИЗМОВ ГРУПП1. (G, ∗) = (R, +), (H, ) = (R+ , ·), f = exp:f (a ∗ b) ≡ ea+b = ea · eb ≡ f (a) f (b).2. (G, ∗) = (C0 , ·), (H, ) = (R0 , ·), f = | · |:f (a ∗ b) = |a · b| = |a| · |b| ≡ f (a) f (b).3. (G, ∗) = GL(n; K), (H, ) = (K0 , ·), f = det:f (a ∗ b) ≡ det(a · b) = det a · det b ≡ f (a) f (b).12. ЯДРОИ ОБРАЗ ГОМОМОРФИЗМАПусть (G, ∗) и (H, ) — две группы, f : G → H — гомоморфизм.Ядро ker f гомоморфизма f — это множество элементов группы G, образом которыхявляется нейтральный элемент в H:ker f = g ∈ G f (g) = eH .Образ im f гомоморфизма f — это множество элементов группы H, имеющих прообразв группе G:im f = h ∈ H ∃g ∈ G : h = f (g) .GeGker ffHeHim f5Теорема.

Пусть f : G → H — гомоморфизм групп.ker f G,62. Пусть ker f = eG и im f = H. Докажем, что гомоморфизм f взаимно однозначен.Ясно, что у любого h ∈ H имеется прообраз в G.Остается доказать, чтоim f H.Доказательство.1. Проверим, что ker f G. Имеем:g1 ∈ ker f⇐⇒f (g1 ) = eH ,g2 ∈ ker f⇐⇒f (g2 ) = eH ;⇐⇒g1 ∗ g2 ∈ ker f.h1 ∈ im f⇐⇒∃g1 ∈ G : h1 = f (g1 ),h2 ∈ im f⇐⇒∃g2 ∈ G : h2 = f (g2 ).f (g1 ) = f (g2 ).∃g1 , g2 ∈ G, g1 = g2 :f (g1 ) = f (g2 ).Допустим противное, т.е.поэтомуf (g1 ∗ g2 ) = f (g1 ) f (g2 ) = eH2. Проверим, что im f H. Имеем:∀g1 , g2 ∈ G, g1 = g2 :Имеем:f (g1 ∗ g2−1 ) = f (g1 ) f (g2−1 ) = f (g1 ) f (g2 )−1 = f (g2 ) f (g2 )−1 = eH ,т.е. g1 ∗g2−1 ∈ ker f . Поскольку ker f = eG , получаем g1 ∗g2−1 = eG , т.е.

g2 = g1 , противоречие.Получаемh1 h2 = f (g1 ) f (g2 ) = f (g1 ∗ g2 ) ∈ H,Задача. Проиллюстрируйте теорему на примере изоморфизма U (1) SO(2).что и требовалось.15. ЛИНЕЙНОЕ13. ПРИМЕРЫНайдем ядро и образ каждого из рассмотренных выше гомоморфизмов.1. (G, ∗) = (R, +), (H, ) = (R+ , ·), f = exp. Здесь eG = 0, eH = 1. Условие f (g) = eHпринимает вид eg = 1. Поскольку единственным решением уравнения eg = 1 являетсячисло 0, имеем ker f = 0 = eG .

Поскольку множество значений функции g → eg есть R+ ,имеем im f = R+ = H.2. (G, ∗) = (C0 , ·), (H, ) = (R0 , ·), f = |·|. Здесь eG = 1, eH = 1. Числа, удовлетворяющиеусловию f (g) = eH , т.е. условию |z| = 1, имеют вид eiα , α ∈ [0, 2π), поэтому ker f = U (1).Очевидно, im f = R0 = H.3. (G, ∗) = GL(n; K), (H, ) = (K0 , ·), f = det. Здесь eG = I, eH = 1 (I — единичная матрица порядка n).

Условие f (g) = eH записывается в виде det g = 1, т.е. ker f = SL(n, K).Очевидно, im f = K0 = H.14. ИЗОМОРФИЗМЛинейное пространство (ЛП) V (K) над числовым полем K — это абелева группа V ,снабженная операцией умножения элементов группы на числа из поля K такой, что выполняются следующие требования:(1)(2)(3)(4)∀x ∈ V : 1 · x = x;∀α ∈ K, ∀x, y ∈ V : α(x + y) = αx + αy;∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V : (α + β)x = αx + βx;∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V : (α · β)x = α · (βx).Нейтральный элемент этой абелевой группы называется нулевым вектором и обозначается 0.16. ВТОРОЕГРУПППусть (G, ∗) и (H, ) — две группы.

Гомоморфизм f : G → H называется изоморфизмом,если он взаимно однозначен.Если существует изоморфизм группы (G, ∗) на группу (H, ), то эти группы называютсяизоморфными; обозначение (G, ∗) (H, ) или G H.Вопрос. Какие из приведенных гомоморфизмов являются изоморфизмами?Задача. Доказать, что U (1) SO(2), построив изоморфизм в явном виде.Изоморфные группы обладают одинаковыми алгебраическими свойствами.Отметим, что отношение изоморфности групп обладает следующими свойствами:(1) G G;(2) G H ⇒ H G;(3) если G H и H K, то G K.Задача. Докажите самостоятельно.Теорема. Гомоморфизм групп f : G → H является изоморфизмом тогда и толькотогда, когда ker f = eG и im f = H.Доказательство.1. Пусть f : G → H — изоморфизм.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций