Овчинников. Линейная алгебра (лекции) (1113067), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Тогда eH имеет единственный прообраз в G иf −1 (eH ) = eG = ker f.Кроме того, любой элемент h ∈ H имеет прообраз, т.е. im f = H.ПРОСТРАНСТВООПРЕДЕЛЕНИЕЛПЛинейное пространство (ЛП) V (K) над числовым полем K — это множество V элементов x, bf y, . . . произвольной природы (векторов), в котором введены две операции:(A) сложение векторов+ : V × V → V,(x, y) → x + y(B) умножение вектора на число• : K × V → V,(α, x) → αxтак, что выполнены следующие аксиомы:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)∀x, y ∈ V : x + y = y + x (коммутативность сложения);∀x, y, z ∈ V : x + (y + z) = x + (y + z) (ассоциативность сложения);∃0 ∈ V ∀x ∈ V : x + 0 = x (существование нулевого вектора);∀x ∈ V ∃x ∈ V : x + x = 0 (существование противоположного вектора);∀x ∈ V : 1 · x = x;∀α ∈ K, ∀x, y ∈ V : α(x + y) = αx + αy;∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V : (α + β)x = αx + βx;∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V : (α · β)x = α · (βx).Задача. Доказать эквивалентность двух определений ЛП.717.
ПРИМЕРЫЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ1. Q(Q), R(Q), C(Q); R(R), C(R); C(C).2. Q(R) — не ЛП. Объясните причину и приведите еще несколько аналогичных примеров.3. Множества «геометрических векторов» на прямой V1 , на плоскости V2 , в пространствеV3 — ЛП над R.4. Qn , Rn , Cn можно рассматривать как ЛП над различными ЧП (ср. пример 1).
Приведите несколько примеров.5. Km×n можно рассматривать как ЛП над различными ЧП (ср. пример 1). Приведитенесколько примеров.6. Множества C(X), C p (X), состоящие из всех непрерывных (p раз непрерывно дифференцируемых) на открытом множестве X ⊂ Rn функций, можно рассматривать как ЛПнад ЧП Q или R. Операции:∀f, g ∈ C(X), ∀x ∈ X :(f + g)(x) = f (x) + g(x);∀f ∈ C(X), ∀α ∈ K, ∀x ∈ X :(α · f )(x) = α · f (x).7. Множество Pol(n, K) всех полиномов степени не выше n с коэффициентами из K,т.е. функций видаx(t) = a0 + a1 t1 + · · · + an tn ,где ak ∈ K, k = 0, .
. . , n.Вопрос. Является ли ЛП множество всех полиномов степени n? Ответ обоснуйте.8. Множество Trig(n, K) всех тригонометрических полиномов порядка не выше n скоэффициентами из K, т.е. функций видаnx(t) = a0 +(ak cos kt + bk sin kt),k=1где a0 , ak , bk ∈ K, k = 1, . . . , n.Вопрос. Является ли ЛП множество всех тригонометрических полиномов порядка n?Ответ обоснуйте.9. Патологический пример.
V = R, K = R, операции заданы формулами:defx ⊕ y = x · y,defα x = xα ,x, y ∈ V = R;x ∈ V = R,α ∈ K = R.Проверьте выполнение всех аксиом.18. ПРИМЕР ЛП: СОПРЯЖЕННОЕПРОСТРАНСТВОПусть V (K) — ЛП. Линейным функционалом (ЛФ) на ЛП V называется любая функция ξ : V → K, обладающая следующими свойствами:(1) ∀x, y ∈ V : ξ(x + y) = ξ(x) + ξ(y);(2) ∀x ∈ V , ∀α ∈ K: ξ(αx) = α · ξ(x).Иными словами, ЛФ — это гомоморфизм абелевой группы (V, +) в абелеву группу(K, +), сохраняющий операцию умножения на числа из K.Множество всех ЛФ на ЛП V обозначается V ∗ и называется пространством, сопряженным к V .Введем операции сложения ЛФ и умножения ЛФ на число:∀ξ, η ∈ V ∗ : (ξ + η)(x) = ξ(x) + η(x) ∀x ∈ V ;∀ξ ∈ V ∗ , ∀α ∈ K : (αξ)(x) = α · ξ(x) ∀x ∈ V.8Нулевым вектором сопряженного пространства V ∗ является ЛФ θ такой, что θ(x) = 0∀x ∈ V .Теорема. Если V — ЛП над ЧП K, то V ∗ также является ЛП над K.Задача.
Докажите теорему самостоятельно.Задача. V = Pol(n, R). Для любого x = x(t) ∈ V положим 1x(t)dt.ξ(x) =0Докажите, что ξ — ЛФ.19. ПРОСТЕЙШИЕСВОЙСТВАЛПТеорема. Пусть V (K) — произвольное ЛП.(1) Нулевой элемент 0 единствен.(2) ∀x ∈ V противоположный элемент x единствен.(3) ∀x, y, z ∈ V : x + z = y + z ⇒ x = y.(4) ∀x ∈ V : 0 · x = 0.(5) ∀x ∈ V противоположный элемент x равен −1 · x ≡ −x.Доказательство. 1, 2, 3 следуют из аналогичной теоремы для групп.4. 0 · x + x = 0 · x + 1 · x = (0 + 1)x = 1 · x = x = 0 + x ⇒ 0 · x = 0.5.
Положим y = (−1) · x. Тогдаx + y = 1 · x + (−1) · x = (1 + (−1))x = 0 · x = 0⇒ y — противоположный для x.20. ЛИНЕЙНАЯКОМБИНАЦИЯПусть V (K) — ЛП, x1 , . . . , xp ∈ V .Линейная комбинация (ЛК) векторов x1 , . . . , xp ∈ V с коэффициентами α1 , . .
. , αp ∈ K —это выражениеpα1 x1 + · · · + αp xp ≡αk xk .k=1ЛК векторов x1 , . . . , xp ∈ V называется тривиальной, если все коэффициенты этой ЛКравны нулю, и нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.Очевидно, тривиальная ЛК всегда равна нулевому вектору.21. ЛИНЕЙНАЯЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬВекторы x1 , . . . , xp ∈ V называются линейно зависимыми (ЛЗ), если существует ихнетривиальная ЛК, равная нулевому вектору.2Пример: Рассмотрим ЛП R (R).
12Элементы x1 =и x2 =ЛЗ, так как существует нетривиальная ЛК этих12векторов, равная 0: 120+== 0.−2 · x1 + 1 · x2 = −2 ·120Векторы x1 , . . . , xp ∈ V называются линейно независимыми (ЛН), если из равенстваих ЛК нулевому вектору следует, что эта ЛК тривиальна.2Пример: РассмотримЛП R (R).10Векторы y1 =и y1 =ЛН. Действительно,01 110α+ α2=.α1 y1 + α2 y2 = α101α291102Последний столбец может быть нулевым тогда и только тогда, когда α = α = 0.22.
ГОМОМОРФИЗМИ ИЗОМОРФИЗМ23. ЛИНЕЙНАЯЛППусть (V, K) (операции +, ·) и (W, K) (операции ⊕, ) — два ЛП над одним и тем жеЧП K.Отображение f : V → W называется гомоморфизмом, еслиf (x + y) = f (x) ⊕ f (y) ∀x, y ∈ V,f (α · x) = α f (x) ∀x ∈ V,k=1Теорема.(1) Если среди векторов x1 , . . . , xp имеется нулевой вектор, то эти векторы ЛЗ.(2) Если система векторов x1 , . .
. , xq , xq+1 , . . . , xp содержит ЛЗ подсистему x1 ,. . . , xq , то вся система ЛЗ.(3) Если векторы x1 , . . . , xp ЛЗ, то среди них имеется вектор, являющийся ЛКостальных векторов.(4) Если x ∈ L(x1 , . . . , xp ), тоα ∈ K.Множество всех гомоморфизмов ЛП V, W обозначается Hom(V, W ).Теорема. Пусть f : V → W — гомоморфизм.(1) f (0V ) = 0W ;(2) ∀x ∈ V : f (−x) = −f (x).Задача. Докажите теорему самостоятельно.Изоморфизм ЛП V и W — это взаимно однозначный гомоморфизм. ЛП V и W называются изоморфными, если существует изоморфизм f : V → W ; в этом случае пишутV W.Теорема. Пусть V W , f : V → W — изоморфизм.(1) ∀x ∈ V , x = 0V : f (x) = 0W .(2) Если x1 , .
. . , xp ∈ V — ЛН векторы, то векторыf (x1 ), . . . , f (xp ) ∈ W также ЛН.(3) Если x1 , . . . , xp ∈ V — ЛЗ векторы, причем нетривиальная ЛК этих векторов,равная 0V , имеет коэффициенты α1 , . . . , αp , то векторы f (x1 ), . . . , f (xp ) ∈ Wтакже ЛЗ, причем нетривиальная ЛК этих векторов, равная 0W , имеет теже коэффициенты α1 , . . . , αp .Доказательство. 1. Пусть x ∈ V , x = 0V . Предположим, что f (x) = 0W . Имеем:L(x, x1 , . . . , xp ) = L(x1 , . . .
, xp ).(5) Если y1 , . . . , yk ∈ L(x1 , . . . , xp ), тоL(y1 , . . . , yk ) ⊂ L(x1 , . . . , xp ).Доказательство.1. Пусть x1 = 0; тогда1 · x1 + 0 · x2 + · · · + 0 · xp— нетривиальная ЛК, равная нулевому вектору.2. Если векторы x1 , .
. . xq ЛЗ, то это означает, что ∃α1 , . . . , αq , не все равные 0 и такие,чтоqαk xk = 0.k=1Тогда, очевидно, ЛКf (x) = 0W = 0 · y = 0 · f (z) = f (0 · z) = f (0V ).Таким образом, в силу взаимной однозначности отображения f , получаем x = 0V ; противоречие.2. Пусть x1 , . . . , xp ∈ V — ЛН векторы. Предположим, что векторы f (x1 ), . . . , f (xp ) ∈ WЛЗ, т.е. ∃β 1 , . . . , β p ∈ K, не все равные 0, такие, чтоβ 1 f (x1 ) + · · · + β p f (xp ) = 0W .qk=1α1αp−1x−···−xp−1 ,1αpαpчто и требовалось.4.
Обозначимβ 1 x1 + · · · + β p xp = 0V ,Задача. Докажите самостоятельно.0 · xkk=q+1α1 x1 + · · · + αp xp = 0.xp = −откуда(1) V V ;(2) V W ⇒ W V ;(3) если V W и W U , то V U .pнетривиальна и равна 0.3. Так как векторы x1 , . . . xp ЛЗ, то ∃α1 , . . . , αp , не все равные 0, такие, чтоβ 1 f (x1 ) + · · · + β p f (xp ) = 0W = f (β 1 x1 + · · · + β p xp ),Отметим, что отношение изоморфности ЛП обладает следующими свойствами:αk xk +Предположим, что αp = 0.
ТогдаИмеемт.е. векторы x1 , . . . , xp ЛЗ; противоречие.3. Докажите самостоятельно.ОБОЛОЧКАПусть V (K) — ЛП, x1 , . . . , xp ∈ V .Линейная оболочка (ЛО) векторов x1 , . . . , xp ∈ V — это множество всех ЛК этих векторов, т.е. множествоpL(x1 , . . . , xp ) =αk xk αk ∈ K, k = 1, . . . , p .L1 = L(x1 , . . . , xp ),L2 = L(x, x1 , . . . , xp ).Требуется доказать, что L1 = L2 , т.е. чтоL1 ⊆ L2и L2 ⊆ L1 .Первое вложение очевидно:y ∈ L1 ⇒ y = α1 x1 + · · · + αp xp =pαk xk ⇒ y ∈ L2 .=0·x+k=111Доказательство. Предположим, что вектор x можно разложить по базису e1 , .
. . , en двумя способами:x = x1 e 1 + · · · + x n e n = y 1 e 1 + · · · + y n e n .Докажем второе. Имеем:x ∈ L1 ⇒ x = β 1 x1 + · · · + β p xp ,y ∈ L2 ⇒ y = αx + α1 x1 + · · · + αp xp =Вычитая из первого разложения второе, получим= α(β 1 x1 + · · · + β p xp ) + α1 x1 + · · · + αp xp =(x1 − y 1 )e1 + · · · + (x1 − y 1 )e1 = 0.= (αβ 1 + α1 )x1 + · · · + (αβ p + αp )xp⇒ y ∈ L1 .5. Докажите самостоятельно.Так как базисные векторы ЛН, заключаем, что в последнем разложении все коэффициенты равны нулю, т.е.
xk = y k , k = 1, . . . , n.24. РАЗМЕРНОСТЬИ БАЗИСЛПРазмерность ЛП V (K) — это целое неотрицательное число n, обладающее следующимисвойствами:(1) в V ∃n ЛН векторов;(2) любые n + 1 векторов ЛЗ.Обозначение: n = dim V ; пространство V называется n-мерным.Если в ЛП V имеется как угодно много ЛН векторов, то V называется бесконечномерным, dim V = ∞.Базис ЛП V (K) — это упорядоченный набор векторов e1 , . . . , en , обладающий следующими свойствами:(1) векторы e1 , . . . , en ЛН;(2) ∀x ∈ V ∃x1 , . . . , xn ∈ K такие, чтоnx = x1 e1 + · · · + xn en =xk ek .(1)k=1Числа x1 , .
. . , xn называются координатами (компонентами) вектора x относительно базиса e1 , . . . , en , а формула (1) — разложением вектора x по базису e1 , . . . , en .Правило суммирования Эйнштейна: Если в некотором одночлене индекс появляетсяровно два раза, один раз вверху и один раз внизу, то считается, что по этому индексупроизводится суммирование; пределы изменения индекса либо указываются, либо ясныиз контекста. Пример: запись xk ek (k = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
