Овчинников. Линейная алгебра (лекции) (1113067), страница 6
Текст из файла (страница 6)
. . , xn функциями новыхкоординат x1 , . . . , xn , заданными соотношением (8):k=1k ...k1ckk xk ,∂f ∂xk·=∂xk ∂xkk ...kDj 1...jpq = Aj 1...jpq + Bj 1...jpq =k∂f=∂xkk ...kDj11...jpq = Aj11...jpq + Bj11...jpq .Координаты точки x относительно старого и нового базисов связаны соотношениемnТЕНЗОРОВ И УМНОЖЕНИЕ НА ЧИСЛОk ...kПусть Aj11...jpq и Bj11...jpq — тензоры типа (p, q). Их суммой называется объект Dj11...jpq ,определяемый в каждом базисе набором np+q чиселek = ckk ek .x =Ak = ckk Ak .Это — набор координат линейного функционала.y = f (x1 , .
. . , xn )kk ...kпо всем повторяющимся индексам производится суммирование. Часто тензор отождествляют с набором его координат.Примеры тензоров1. Инвариант (скаляр) — тензор типа (0, 0), имеющий одну (n0 ) координату, не преобразующуюся при замене базиса.2. Контравариантный тензор (тензор типа (0, 1)) имеет n координат, преобразующихсяпо законуΞε = (ξ1 , . .
. , ξn ).Ξε = Ξε C −1 ,kkjAj 1...jpq = cjj1 . . . cjpp ck11 . . . ckqq Aj11...jpq ;1 1 МПΞε = (ξ1 , . . . , ξn ),ТЕНЗОРАПусть V (R) — ЛП над ЧП R. Тензором типа (p, q) (p раз ковариантным и q раз контравариантным) в ЛП V называется геометрический объект, который в каждом базисеk ...ke1 , . . . , en ЛП V задается np+q координатами Aj11...jpq (индексы j1 , . . .
, jp , k1 , . . . , kq независимо принимают значения 1, 2, . . . , n), причем при переходе к новому базису e1 , . . . , enэти координаты преобразуются по формуле∂f.∂xkТаким образом, компоненты градиента преобразуются не как компоненты вектора, а каккомпоненты линейного функционала.1k1k1kqk ...k. . . ckq Bj11...jpq =kk ...kk ...k. . . ckqq Aj11...jpq + Bj11...jpq =jkkk ...k= cjj1 . .
. cjpp ck11 . . . ckqq Dj11...jpq .1k ...kПроизведением тензора Aj11...jpq типа (p, q) на число α называется объект, который вкаждом базисе задается набором np+q чиселk ...kk ...kFj11...jpq = α · Aj11...jpq .Теорема. Произведение тензора типа (p, q) на число является тензором типа (p, q).Задача.
Докажите самостоятельно.58. ПРОИЗВЕДЕНИЕПустьk ...kAj11...jpqТЕНЗОРОВ...isи Bli11...l— тензоры типа (p, q) и (r, s) соответственно. Их произведениемrk ...ki ...iназывается объект Dj11...jpq l11...lrs , определяемый в каждом базисе набором np+q+r+s чиселk ...ki ...i6Примеры. Рассмотрим тензор типа (1, 1): Akj . Его сверткой по (единственной имеющейся у него) паре индексов j, k являетсяnB = A11 + A22 + · · · + Ann =Aαα = Ajj .α=1k ...k...is.Dj11...jpq l11...lrs = Aj11...jpq · Bli11...lrОбозначение: D = A ⊗ B.Теорема. Произведение двух тензоров типов (p, q) и (r, s) является тензором типа(p + r, q + s).Задача. Докажите самостоятельно.Пример. Рассмотрим произведение двух 1-контравариантных тензоров Aj и B k .
Рассмотрим произведения D = A ⊗ B и F = B ⊗ A. Компоненты этих тензоров равныDjk = Aj · B k ,B — тензор типа (0, 0), т.е. инвариант; его единственная компонента не меняется призамене базиса.Для тензора Aljk типа (2, 1) можно образовать две различные свертки:Bj = A1j1 + A2j2 + · · · + Anjn =Dk =F jk = B j · Ak ;A11k+A22kAjk B k . 1 1B A B 1 A2 . . .F 11 F 12 .
. .21222122F. . . = B A B A . . . .F = (F jk ) = F..................Задача. Пусть Xj , Yk — два 1-ковариантных тензора. Рассмотрим величины Ajk = Xj +Yk .Образуют ли они тензор? Оценить ранг матрицы A = (Ajk ).Видно, что матрицы D и F не равны (в данном частном случае они являются взаимнотранспонированными). Этот пример показывает, что, вообще говоря,A ⊗ B = B ⊗ A.ТЕНЗОРАПусть A — тензор типа (p, q), где p ≥ 1, q ≥ 1 (т.е. у тензора имеется хотя бы одиннижний индекс и хотя бы один верхний индекс):k k ...kAj11j22...jpq .Выберем у этого индекса один нижний и один верхний индекс (например, пусть это будутj1 и k1 ) и рассмотрим сумму компонентα=1αk ...kk ...kAαj22...jpq = Bj22...jpq .Объект B называется сверткой тензора A по выбранной паре индексов.Теорема. Свертка тензора типа (p, q) по паре индексов представляет собой тензортипа (p − 1, q − 1).Доказательство.
Докажем теорему для случая тензора Aljk типа (2, 1). Рассмотрим свертку Bj = Akjk и получим закон преобразования для чисел Bj . Имеем:Aααk = Ajjk .Оба тензора Bj , Dk являются 1-ковариантными.Часто встречается операция свертки произведения двух тензоров по паре индексов,первый из которых принадлежит одному из перемножаемых тензоров, а второй — другому.
Например, из тензоров Ajk и B l можно образовать произведение D = A ⊗ B сl= Aljk , а затем рассмотреть сверткукомпонентами Djkn=α=1nAαjα = Akjk ,α=1эти компоненты удобно расположить в виде матриц 1 1 11A B A1 B 2 . . .DD12 . . .21222 12 2jkDAD...BAB...;=D = (D ) =..................9. СВЕРТКА+ ··· +AnnknBj = Akj k = δlk Alj k = δlk cjj ckk cll Aljk =10. БИЛИНЕЙНЫЙФУНКЦИОНАЛПусть V (R) — вещественное ЛП.Билинейный функционал (БФ) на ЛП V — это функция B : V ×V → R пары векторныхаргументов, обладающая следующими свойствами:1) ∀x1 , x2 , y ∈ V :B(x1 + x2 , y) = B(x1 , y) + B(x2 , y),2) ∀x, y ∈ V , ∀α ∈ R: B(αx, y) = α · B(x, y),3) ∀x, y1 , y2 ∈ V :B(x, y1 + y2 ) = B(x, y1 ) + B(x, y2 ),4) ∀x, y ∈ V , ∀α ∈ R: B(x, αy) = α · B(x, y).Введем операции сложения БФ и умножения БФ на число по правилам(B1 + B2 )(x, y) = B1 (x, y) + B2 (x, y),(αB)(x, y) = α · B(x, y)для всех x, y ∈ V , α ∈ R.Теорема.
Множество всех БФ на ЛП V является ЛП.Задача. Докажите.11. МАТРИЦАБИЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛАПусть e1 , . . . , en — базис в V . Разложим векторы x, y ∈ V по этому базису:x = xj ej ,y = y k ek ,и вычислим значение БФ на этой паре векторов:B(x, y) = B(xj ej , y k ek ) = xj y k B(ej , ek ).= cjj ckk ckl Aljk = cjj δlk Aljk = cjj Akjk = cjj Bj . Введем обозначение=δlkbjk = B(ej , ek ).Матрица Be = (bjk ) называется матрицей БФ B в базисе e1 , .
. . , en .78Значение БФ B на паре векторов x, y вычисляется по формуле13. ИНВАРИАНТЫ БФB(x, y) = bjk xj y k .Таким образом, координатной записью билинейного функционала является однородныймногочлен второй степени от переменных xj , y k , называемый билинейной формой.Введя в рассмотрение столбцы координат: 1 1xy2x y2 Xe = ...
, Ye = ... ,xnynТеорема. Пусть Be — матрица БФ B в каком-либо базисе ЛП V . Ранг матрицы Beи знак ее определителя не зависят от выбора базиса, т.е. являются инвариантамиБФ.Ранг матрицы БФ называется рангом БФ; обозначение rk B.Доказательство. Имеем:Be = C T Be CПоэтомуможно записать предыдущую формулу в видеrk Be ≤ rk Be ,rk Be ≤ rk BeB(x, y) = XeT Be Ye .Задача. Докажите.⇒rk Be = rk Be .Далее,12.
БФdet Be = det(C T Be C) = det C T · det Be · det C =КАК ТЕНЗОР= (det C)2 · det Be ,Теорема. БФ является тензором типа (2, 0).Доказательство. Необходимо проверить, что элементы матрицы БФ преобразуются припереходе к новому базису по законуbj k = cjj ckk bjk ,(9)откуда вытекает, что знаки det Be и det Be совпадают.14. СИММЕТРИЧНЫЕ∀x, y ∈ V :ej =cjj ej .БФB(x, y) = B(y, x),и кососимметричным, еслиИмеем:∀x, y ∈ V :bj k = B(ej , ek ) = B(cjj ej , ckk ek ) =Проведем доказательство в матричной форме. Имеем:B(x, y) = XeT Be Ye = XeT Be Ye .Напомним, что столбцы координат вектора относительно нового и старого базисов связанысоотношениямиXe = CXe , Xe = C −1 Xe .Получаем:XeT Be Ye = XeT Be Ye =(CXe )T Be (CYe ) = XeT C T Be CYe ,Доказательство.
1. Необходимость. Пусть БФ симметричен. Имеем:B(x, y) = X T BY = B(y, x) = Y T BX.Поскольку Y T BX — число, (Y T BX)T = Y T BX, так чтоX T BY = Y T BX = (Y T BX)T = X T B T Y⇒B = BT .2. Достаточность. Если матрица B БФ B симметрична, т.е. B T = B, то имеемB(x, y) = X T BY = (X T BY )T =XeT (C T Be C − Be )Ye = 0.B(x, y) = −B(y, x),Теорема. Для того чтобы БФ B был симметричным (кососимметричным), необходимо и достаточно, чтобы его матрица в каком-либо базисе была симметричной(кососимметричной). Если матрица БФ симметрична (кососимметрична) в какомлибо базисе, то она является таковой и в любом другом базисе.= cjj ckk B(ej , ek ) = cjj ckk bjk .=И КОСОСИММЕТРИЧНЫЕБФ B называется симметричным, еслигде cjj — элементы матрицы перехода:откуда⇒Be = (C T )−1 Be C −1 = (C −1 )T Be C −1 .В левой части этого равенства стоит многочлен от xj , y k , тождественное обращениекоторого в нуль возможно лишь при условии, что все его коэффициенты равны нулю;отсюда получаемBe = C T Be C.Задача.
Докажите эквивалентность формул (9) и (10).Теорема. ЛП всех БФ в ЛП V (R) изоморфно Rn×n (R).Задача. Докажите эту теорему и найдите размерность ЛП всех БФ на ЛП V .(10)= Y T B T X = Y T BX = B(x, y).3. Пусть матрица Be БФ B в базисе e симметрична. В другом базисе имеем:Be = C T Be C = C T BeT C == C T BeT (C T )T = (C T Be C)T = BeT .Теорема. Любой БФ можно единственным образом представить в виде суммысимметричного и кососимметричного БФ.9Доказательство. Запишем БФ B в виде 11B(x, y) =B(x, y) + B(y, x) +B(x, y) − B(y, x) .22Первое слагаемое представляет собой симметричный, а второе — кососимметричный БФ.Обозначим их1B(x, y) + B(y, x) ,BS (x, y) =21BA (x, y) =B(x, y) − B(y, x)2и назовем симметричной и кососимметричной частями данного БФ B(x, y).Матрицы BS , BA БФ BS и BA получаются из матрицы B БФ B по формулам11BS =B + B T , BA =B − BT22или, эквивалентно,SA11bjk =bjk + bkj , b jk =bjk − bkj .22Матрицы BS , BA , будучи матрицами БФ, образуют тензоры типа (2, 0).
Говорят, чтотензоры BS , BA получены из тензора B с помощью операций симметрирования и альтернирования соответственно. Обозначения:S1bjk =bjk + bkj = b(jk)2A1bjk − bkj = b[jk] .b jk =215. КВАДРАТИЧНЫЕФУНКЦИОНАЛЫПусть B(x, y) — БФ в вещественном ЛП V . Положив y = x, получим из БФ квадратичный функционал (КФ):Q(x) = B(x, x).Если в ЛП V выбран базис e1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
