Овчинников. Линейная алгебра (лекции) (1113067), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Множество всех невырожденных операторов образует группу относительно операции умножения (единичный элемент — тождественный оператор; проверьтеаксиомы). Изоморфизм этой группы на группу GL(n, K) невырожденных матриц ставит всоответствие каждому оператору его матрицу в некотором базисе.10. ПРОЕКТОРЫИз соотношенияdim ker A + dim im A = dim V∈im Pимеет вид x = y + z и в силу единственностиy = P(x),∈ker Pz = x − P(x).Таким образом, любой проектор P ∈ End V задает разложение ЛП V в прямую суммуЛПП ker P и im P.Обратное утверждение также верно.Теорема. Для каждого разложенияV =P ⊕QЛП V в прямую сумму ЛПП существует единственный проектор P такой, чтоP = im P,Q = ker P.Оператор P называется проектором на ЛПП P вдоль ЛПП Q.Задача. Докажите самостоятельно.QQP(x)Каждое ЛП изоморфно самому себе. Изоморфизм ЛП на себя называется автоморфизмом этого ЛП.Теорема.
Все автоморфизмы данного ЛП V (K), dim V = n, образуют группу Aut V(группу автоморфизмов этого ЛП), причемAut V ∼= GL(n, K).x = P(x) + (x − P(x)) x−9. АВТОМОРФИЗМЫ ЛПx − P(x) ∈ ker P,то разложениеx − P(x)Задача. Докажите, что единичный оператор является линейным и что его в любомбазисе его матрица равна единичной матрице.ЛО A−1 называется обратным по отношению к ЛО A, если AA−1 = A−1 A = I.Теорема. ЛО A имеет обратный тогда и только тогда, когда det A = 0.
Матрицаобратного оператора A−1 является обратной по отношению к матрице оператораA (в одном и том же базисе).Задача. Докажите самостоятельно.⇐⇒xxследует, что равенствоker A ⊕ im A = Vимеет место тогда и только тогда, когдаker A ∩ im A = 0.Рассмотрим важный класс операторов, для которых это соотношение выполнено.Проектор P — это ЛО, удовлетворяющий условию P2 = P.Теорема. Для любого проектора P имеемV = ker P ⊕ im P.Доказательство. Если P — проектор и x = P(y) ∈ im P, тоP(x) = P2 (y) = P(y) = x.Таким образом,x ∈ im P⇐⇒x = Px.PPP(x)P(x)11. ИНВАРИАНТНЫЕПОДПРОСТРАНСТВАЛОПусть A — ЛО, действующий в ЛП V .
ЛПП P называется инвариантным подпространством (ИПП) оператора A, если∀x ∈ P :A(x) ∈ P.Любой ЛО обладает тривиальными ИПП 0 и V .Пусть P — ИПП ЛО A. Линейный операторA|P : P → P, A|P (x) = A(x),7называется ограничением ЛО A на ИПП P . Также говорят, что ЛО A|P индуцированлинейным оператором A на ИПП P .Теорема. Ядро и образ ЛО являются его ИПП.Задача. Докажите самостоятельно.Теорема. Если V = P ⊕ Q, где P, Q — ИПП ЛО A, то в некотором базисе матрицаоператора A имеет видB O1,A=O2 Cгде B — матрица оператора A|P : P → P , где C — матрица оператора A|Q : Q → Q, аматрицы O1 , O2 нулевые.Доказательство.
Пусть e1 , . . . , ep — базис ИПП P , ep+1 , . . . , en — базис ИПП Q; тогдавсе векторыe1 , . . . , ep , ep+1 , . . . , enобразуют базис в V .Рассмотрим матрицу оператора A в этом базисе. Для всех j ≤ p имеемA(ej ) =nakj ek ∈ L(e1 , . . . , ep ),k=1откуда akj = 0 при k > p, j ≤ p. Полагая bkj = akj при j, k ≤ p, получим матрицу B оператораAP в базисе e1 , . .
. , ep пространства P .Задача. Завершите доказательство самостоятельно.Теорема. Пусть V = P ⊕ Q, где P — ИПП ЛО A, а Q не является ИПП. Пустьe1 , en — базис в V такой, что векторы e1 , . . . , ep образуют базис в P . Тогда матрицаA оператора A в базисе e1 , . . . , en имеет видB ∗A=,O Cгде B — матрица оператора AP в базисе e1 , .
. . , ep .Задача. Докажите самостоятельно.12. СОБСТВЕННЫЕПОДПРОСТРАНСТВАПростейшими ИПП являются одномерные ИПП.Вектор x называется собственным вектором (СВ) ЛО A, если он образует базис внекотором одномерном ИПП.Другими словами, вектор x называется СВ, если x = 0 и существует такое λ ∈ K, чтоA(x) = λx;при этом λ называется собственным значением (СЗ) оператора A. Говорят также, что СВx принадлежит СЗ λ.Множество всех СЗ ЛО A называется спектром этого ЛО.Множество всех СВ, принадлежащих СЗ λ, дополненное нулевым вектором, являетсяИПП.Задача.
Докажите.Это ИПП называется собственным подпространством (СПП), отвечающим СЗ λ, иобозначается Pλ .Размерность pλ = dim Pλ называется геометрической кратностью СЗ λ.Для любого СВ x, принадлежащего СЗ λ, его линейная оболочка целиком лежит в Pλ .Обратно, каждое одномерное подпространство пространства Pλ инвариантно, и поэтомупространство Pλ разлагается в прямую сумму одномерных ИПП. Чтобы получить такоеразложение, достаточно выбрать в Pλ произвольный базис.8Теорема. Если λ — СЗ ЛО A, тоPλ = ker(A − λI),где I — единичный оператор.Доказательство.
Равенство (A − λI)x = 0 эквивалентно равенству Ax = λx.Таким образом, число λ ∈ K тогда и только тогда является СЗ ЛО A, когда операторA − λI имеет ненулевое ядро, т.е. вырожден:det(A − λI) = 0.Определитель det(A − λI) является многочленом степени n от λ, не зависящим отвыбора базиса.Задача. Докажите. Указание:C −1 AC − λI = C −1 (A − λI)C,где I — единичная матрица.МногочленfA (λ) = det(A − λI)называется характеристическим многочленом (ХМ) ЛО A, а его корни — характеристическими числами (ХЧ) ЛО A.Теорема. Коэффициенты ХМ данного ЛО являются инвариантами этого ЛО.Теорема. Пусть λ1 , . .
. , λn — ХЧ ЛО A (с учетом кратности). Имеют место равенстваdet A = λ1 . . . λn , tr A = λ1 + · · · + λn .Задача. Докажите самостоятельно.Теорема. Пусть A — ЛО, действующий в ЛП V (K) над ЧП K. Любое СЗ ЛО Aявляется его ХЧ. Любое ХЧ ЛО A, принадлежащее ЧП K, является СЗ ЛО A.Задача. Докажите самостоятельно.Алгебраической кратностью nλ СЗ λ называется его кратность как корня ХМ.Теорема. Алгебраическая кратность nλ0 СЗ λ0 не меньше его геометрической кратности pλ0 :pλ0 ≤ nλ0 .Доказательство.
Пусть p = pλ0 и пусть e1 , . . . , en — такой базис в V , чтоPλ0 = L(e1 , . . . , ep ). В этом базисе матрица ЛО A имеет видB ∗,O Cи поэтомуfA (λ) = det(A − λI) = det(B − λI) det(C − λI).Но B является матрицей оператора A|Pλ0 = λ0 I, и потому det(B − λI) = (λ0 − λ)p . Такимобразом, многочлен fA (λ) делится на (λ0 − λ)p и, значит, p ≤ nλ0 .Практический способ нахождения СПП основывается на этой теореме и равенствеPλ = ker(A − λI). Сначала, решая уравнение fA (λ) = 0, находим все его корни, лежащие в K (они будут в точности СЗ), а затем для каждого такого корня λ0 находимподпространство Pλ0 , решая однородную линейную систему с матрицей A − λ0 I.В вещественном ЛП четной размерности ЛО может не иметь ни одного СЗ; в нечетномерном ЛП у любого ЛО имеется хотя бы одно СЗ.В вещественном ЛП все ХЧ ЛО либо вещественны, либо появляются сопряженнымипарами, т.е.
если λ ∈ C — ХЧ, то λ̄ — также ХЧ.Теорема. В вещественном ЛП V (R) каждой паре комплексно сопряженных ХЧ ЛОA отвечает двумерное ИПП оператора A, не являющееся СПП.9Доказательство. Пусть λ + iµ — ХЧ ЛО A, где µ = 0 (отметим, что тогда λ − iµ —тоже ХЧ). Рассмотрим произвольный базис e1 , . . . , en в ЛП V , A — матрица ЛО A в этомбазисе.Посколькуdet A − (l + iµ)I = 0,однородная система уравненийAZ = (λ + iµ)Z,Z ∈ Cn (R),имеет нетривиальное решениеZ = X + iY,X, Y ∈ Rn (R).Имеем:A(X + iY ) = (λ + iµ)(X + iY )⇐⇒AX + iAY = λX − µY + i(λY + µX),откудаAX = λX − µY, AY = λY + µX.Рассмотрим векторы x, y, имеющие координаты X, Y в выбранном базисе.
Ясно, чтолинейная оболочка P = L(x, y) является ИПП ЛО A. Докажем, что ЛПП двумерно, т.е.векторы x, y (и столбцы X, Y ) линейно независимы.1. Сначала докажем, что Y = 0. Предположим противное, т.е. Y = 0. ТогдаAX = λX,0 = µXи, поскольку X = 0, получаем µ = 0, что противоречит условию.2. Предположим, что столбцы X, Y линейно зависимы. Тогда существует α ∈ R такое,что X = αY , и получаемαAY = αλY − µY,AY = λY + αµY.2Исключая AY , находим µ + µα = 0, что невозможно, так как µ = 0, α ∈ R.Теорема. СВ ЛО, принадлежащие различным СЗ, линейно независимы.Доказательство. Индукция по количеству СВ.
При n = 1 утверждение очевидно. Предположим, что теорема верна для k СВ, и докажем, что она верна и для k + 1 СВ.Рассмотрим ЛК СВ x1 , . . . , xk+1 и приравняем ее нулевому вектору:α1 x1 + · · · + αk xk + αk+1 xk+1 = 0.(∗)Докажем, что все αj = 0. Имеем:A(α1 x1 + · · · + αk xk + αk+1 xk+1 ) == α1 A(x1 ) + · · · + αk A(xk ) + αk+1 A(xk+1 ) == α1 λ1 x1 + · · · + αk λk xk + αk+1 λk+1 xk+1 = 0.Вычтем из этого равенства (∗), умноженное на λk+1 :α1 (λ1 − λk+1 )x1 + αk (λk − λk+1 )xk = 0.По предположению индукции α1 = · · · = αk = 0, так как все λj попарно различны иλj − λk+1 = 0.
Тогда из (∗) получаем, что αk+1 = 0.Теорема. Для того чтобы матрица ЛО в некотором базисе была диагональна,необходимо и достаточно, чтобы этот базис состоял из СВ этого ЛО; при этомдиагональные элементы матрицы являются СЗ.Задача. Докажите самостоятельно. Указание: в базисе, состоящем из СВ, A(ek ) = λk ek .2Линейная алгебра–4Евклидовы и унитарные пространства1. ЕВКЛИДОВО2. ПРИМЕРЫ ЕППРОСТРАНСТВОЕвклидово пространство (ЕП) E — это вещественное ЛП, в котором зафиксирована симметричная положительно определенная билинейная форма G(x, y).
Значение БФ на паревекторов x, y называется скалярным произведением (СП) этих векторов и обозначается(x, y), т.е.1. ЛП Rn (R) становится ЕП, если для векторов 1 1yx2y2 x x = .. , y = .. ..xnопределить СП по формуле(x, y) =(x, y) = G(x, y).Очевидно, СП обладает следующими свойствами:1) ∀x, y ∈ E: (x, y) = (y, x);2) ∀x, y, z ∈ E: (x + y, z) = (x, z) + (y, z);3) ∀x, y ∈ E, ∀α ∈ R: (αx, y) = α(x, y);4) ∀x ∈ E, x = 0: (x, x) > 0.Если в ЕП E выбран некоторый базис e1 , . .
. , en , то СП векторов x, y выражается черезих координаты по формуле(x, y) = gjk xj y k = XeT Ge Ye ,где Ge = (gjk ) — симметричная положительно определенная матрица, называемая матрицей Грама или метрическим тензором. Метрический тензор является дважды ковариантным.Элементы матрицы Грама представляют собой СП векторов базиса:(x, y) = X T GY,где G — произвольная симметричная положительно определенная матрица.3. В Rn×m (R) можно ввести СП по формуле(X, Y ) = tr(X T Y ).Задача. Докажите.4. В Pol(n, R) можно ввести СП векторовx = x(t) = a0 + a1 t + · · · + an tn ,gjk g =по формулеβ(x, y) =(x, y)2 ≤ (x, x)(y, y).x(t)y(t)dt.αЗадача.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
