Овчинников. Линейная алгебра (лекции) (1113067), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. . , ẽn — ОНБ в E2 . Определим линейное отображение f : E1 → E2 правилом f (ej ) = ẽj , j = 1, . . . , n. Для любых x, y ∈ E1имеем:nxj y j .x = xj ej , y = y k ek , (x, y) =f (x) = f (xj ej ) = xj f (ej ) = xj ẽj ,(Ax, Ax) = (0, 0) = 0,противоречие. Таким образом, ker A = 0, т.е. rk A = dim im A = n ⇒ det A = 0.В силу попарной ортогональности векторов ej в сумме остается лишь одно ненулевоеслагаемое, в котором s = j, т.е.(x, ej ).αj =(ej , ej )Если векторы ej нормированы (т.е. ej = 1), то знаменатель в этой формуле обращаетсяв 1, и мы получаемαj = (x, ej ).Замечание.
Обратите внимание на положение индексов!Задача. Для каждого из примеров ЕП (и аналогичных примеров УП) выясните, является ли стандартный базис ортонормированным.Задача. Какой базис является ортонормированным в пространстве Rn (R) со скалярным произведением (x, y) = X T GY , где G — симметричная положительно определеннаяматрица?8. ИЗОМОРФИЗМИначе автоморфизмы ЕП называются изометрическими операторами.
Изометрическийоператор в ЕП называется ортогональным оператором, а в УП — унитарным оператором.Теорема. Изометрический оператор в ЕП (УП) невырожден и следовательно обратим.(x, x) = 0,αs (es , ej ) = 0.s=1Так какИАвтоморфизм ЕП (УП) — это изоморфизм ЕП (УП) на себя, т.е.
линейный оператор A,удовлетворяющий условиюоткуда |λ|2 = 1 ⇒ |λ| = 1.Остальные утверждения докажите самостоятельно.910. ОРТОГОНАЛЬНАЯГРУППАЕсли в ЕП зафиксирован некоторый ОНБ e1 , . . . , en , то каждому ортогональному оператору A ставится в соответствие его матрица A в этом базисе. Как известно, матрица Aудовлетворяет соотношениюAT A = I.Матрицы, удовлетворяющие данному условию, называются ортогональными матрицами.Таким образом, матрица ортогонального оператора в ОНБ является ортогональной матрицей. Матрица ортогонального оператора в произвольном базисе, вообще говоря, ортогональной не является.Теорема. Ортогональные матрицы обладают следующими свойствами:1) AAT = I;2) det A = ±1;najk ajp = δkp ;3)4)j=1nj=111.
УНИТАРНАЯГРУППАЕсли в УП зафиксирован некоторый ОНБ e1 , . . . , en , то каждому унитарному оператору A ставится в соответствие его матрица A в этом базисе. Как известно, матрица Aудовлетворяет соотношениюAT Ā = I.Матрицы, удовлетворяющие данному условию, называются унитарными матрицами.Таким образом, матрица унитарного оператора в ОНБ является унитарной матрицей.Матрица унитарного оператора в произвольном базисе, вообще говоря, унитарной не является.Теорема.
Унитарные матрицы обладают следующими свойствами:1) AĀT = I;2) | det A| = 1;najk ājp = δkp ;3)j=112. ВЗАИМНЫЕБАЗИСЫПусть e1 , . . . , en — произвольный базис в ЕП E, gjk — метрический тензор. Рассмотримвекторыej = g jk ek ,jkгде g — контравариантный метрический тензор. Векторы ej образуют базис в E (почему?);этот базис называется взаимным по отношению к исходному базису e1 , . . . , en .Задача. Докажите, что взаимный базис совпадает с исходным тогда и только тогда,когда исходный базис ортонормирован.Пусть ε1 , . . . , εn — базис, сопряженный к к исходному базису e1 , . .
. , en , т.е.εj (el ) = δlj .Задача. Докажите самостоятельно.В группе O(n) имеется подгруппа, состоящая из ортогональных матриц с определителем, равным 1; эта подгруппа обозначается SO(n). Группы SO(2), SO(3) — группы вращений двумерного и трехмерного пространств.Задача. Найдите общий вид матрицы A ∈ O(2). Найдите общий вид матрицыA ∈ SO(2).4)В группе U (n) имеется подгруппа, состоящая из ортогональных матриц в определителем, равным 1; эта подгруппа обозначается SU (n).Задача. Найдите общий вид матрицы A ∈ U (2).
Найдите общий вид матрицыA ∈ SU (2).akj apj = δkp .Задача. Докажите самостоятельно.Теорема. Все ортогональные матрицы порядка n образуют группу O(n), являющуюся подгруппой в GL(n, R). Группа автоморфизмов n-мерного ЕП En изоморфнагруппе O(n):Aut En ∼= O(n).j=1n10akj āpj = δkp .Задача. Докажите самостоятельно.Теорема. Все унитарные матрицы порядка n образуют группу U (n), являющуюсяподгруппой в GL(n, C).
Группа автоморфизмов n-мерного УП Un изоморфна группеU (n):Aut Un ∼= U (n).Задача. Докажите самостоятельно.Рассмотрим СП векторов ej , el :(ej , el ) = (g jk ek , el ) = g jk (ek , el ) == g jk gkl = δlj = εj (el ).Таким образом, для любого вектора x ∈ E имеемεj (x) = (ej , x) = xj .Мы доказали следующую теорему.Теорема. Евклидово пространство изоморфно своему сопряженному пространству,причем изоморфизм задается правиломεj ↔ e j .Иными словами, для любого линейного функционала η ∈ E∗ в ЕП существует векторy ∈ E такой, чтоη(x) = (y, x) ∀x ∈ E.13.
КОВАРИАНТНЫЕИ КОНТРАВАРИАНТНЫЕ КООРДИНАТЫПусть e1 , . . . , en — произвольный базис в ЕП E, e1 , . . . , en — взаимный базис. Координаты xj произвольного вектора x ∈ E в базисе ej называются его контравариантнымикоординатами, а координаты xk x в базисе ek называются его ковариантными координатами:x = xj ej , x = xk ek .Получим выражения для контравариантных и ковариантных координат вектора x.Умножая обе части первого из приведенных разложений скалярно на ek , находим(x, ek ) = (xj ej , ek ) = xj (ej , ek ) = xj δjk = xk .Аналогично, умножая обе части второго из приведенных разложений скалярно на ej ,находим(x, ej ) = (xk ek , ej ) = xk (ek , ej ) = xk δjk = xj .Полученные формулы называются формулами Гиббса.Найдем связь между контравариантными и ковариантными координатами вектора x.Имеем:xk = (x, ek ) = (x, g kj ej ) = g kj (x, ej ) = g kj xj .Аналогично получаемxj = gjk xk .11Если исходный базис ортонормированный, то gjk = δjk , и ковариантные координатывектора совпадают с его контравариантными координатами.Задача.
Постройте для унитарных пространств теорию, аналогичную изложенной вданном параграфе.14. ПОДЪЕМj j ...jAk11 k22 ...kqpПустьрация сверткиИ ОПУСКАНИЕ ИНДЕКСА— тензор типа (p, q), заданный в ЕП E, glm — метрический тензор. Опеj ...jj ...jj ...jj ...jqBkk2 1 ...k= gkj1 Ak11 ...kqppназывается операцией опускания индекса у тензора A.Тензоры A и B принято обозначать одной буквой, т.е.q= gkj1 Ak11 ...kqp .Akk2 1 ...kpАналогично определяется операция подъема индекса:jj ...jj ...jAk21...kpq = g jk1 Ak11 ...kqp .Тензорный индекс можно поднимать и опускать не обязательно на первое место, например, можно рассматривать тензорj ...jqkk2 ...kpAk21j ...j= gkj1 Ak11 ...kqp .Ковариантные координаты вектора получаются из контравариантных опусканием индекса; контравариантные координаты вектора получаются из ковариантных подъемом индекса.Рассмотрим произвольный линейный оператор A в ЕП E; ему отвечает тензор ajk типа (1, 1) — матрица этого оператора в произвольно выбранном базисе e1 , .
. . , en . Опустиминдекс у этого тензора:alk = glj ajk .Полученному 2-ковариантному тензору alk отвечает некоторая билинейная форма B в E:B(x, y) = alk xl y k = glj ajk xl y k = (x, Ay).Таким образом, доказана следующая теорема.Теорема. Пространство билинейных форм, заданных на ЕП E, изоморфно пространству линейных операторов на этом ЕП, причем изоморфизм задается формулойB(x, y) = (x, Ay) ∀x, y ∈ E.Матрица билинейной формы получается из матрицы оператора опусканием индекса.Матрица оператора получается из матрицы билинейной формы подъемом индекса.Задача. Какой линейный оператор получится, если поднять индекс у метрическоготензора?2Линейная алгебра–5Операторы в евклидовых и унитарныхпространствах1.
СОПРЯЖЕННЫЙПусть U — УП, A — ЛО в U. Оператор A называется сопряженным поотношению к ЛО A, если для любых векторов x, y ∈ U выполняется равенство(Ax, y) = (x, A∗ y).Теорема. Сопряженный оператор A∗ обладает следующими свойствами:1) A∗ — линейный оператор;2) (A + B)∗ = A∗ + B∗ ;3) (αA)∗ = ᾱA∗ ;4) (AB)∗ = B∗ A∗ ;5) (A∗ )∗ = A.Доказательство. 1) Докажем, что ∀y, z ∈ U, ∀α ∈ C имеют место равенстваA∗ (y + z) = A∗ y + A∗ z, A∗ (αy) = αA∗ y.Для любых векторов x, y, z ∈ U имеем:(Ax, y + z) = (x, A∗ (y + z)).С другой стороны,(Ax, y + z) = (Ax, y) + (Ax, z) == (x, A∗ y) + (x, A∗ z) = (x, A∗ y + A∗ z).∗∗∗(x, A (y + z)) = (x, A y + A z),т.е.A∗ (y + z) = A∗ y + A∗ z.Далее, для любых векторов x, y ∈ U и любого числа α ∈ C имеем:(Ax, αy) = (x, A∗ (αy)).С другой стороны,(Ax, αy) = ᾱ(Ax, y) == ᾱ(x, A∗ y) = (x, αA∗ y).Таким образом,(x, A∗ (αy)) = (x, αA∗ y),т.е.A∗ (αy) = αA∗ y.Линейность сопряженного оператора доказана.1((A + B)x, y) = (Ax + Bx, y) == (Ax, y) + (Bx, y) = (x, A∗ y) + (x, B∗ y) =ОПЕРАТОР∗Таким образом,2) Докажем, что (A+B)∗ = A∗ +B∗ .
Для произвольных векторов x, y ∈ Uимеем:= (x, A∗ y + B∗ y) = (x, (A∗ + B∗ )y).Таким образом,((A + B)x, y) = (x, (A∗ + B∗ )y),т.е.(A + B)∗ = A∗ + B∗ .3) Равенство (αA)∗ = ᾱA∗ доказывается аналогично:((αA)x, y) = (αAx, y) = α(Ax, y) == α(x, A∗ y) = (x, ᾱA∗ y).4) Докажем равенство (AB)∗ = B∗ A∗ . Имеем:((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A∗ y) == (x, B∗ (A∗ y)) = (x, (B∗ A∗ )y).5) Докажите самостоятельно.Понятие сопряженного оператора в евклидовом пространстве вводитсяаналогично.Задача.
Сформулируйте и самостоятельно докажите теорему о свойствахсопряженного оператора для случая евклидова пространства.2. ПРИМЕРЫСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ1. Сопряженные операторы для нулевого и единичного операторов совпадают с этими операторами.Задача. Докажите самостоятельно.2. В трехмерном евклидовом пространстве геометрических векторов линейный оператор определен равенствомAx = [a, x],где [, ] — векторное произведение, a — некоторый фиксированный вектор.Найдем сопряженный оператор для A. Для произвольных векторов x, yимеем:(Ax, y) = ([a, x], y) = a, x, y == x, y, a = (x, [y, a]) = (x, A∗ y).Здесь символом a, x, y обозначено смешанное произведение трех векторов. Таким образом,A∗ y = [y, a] = −[a, y] = −Ay ⇐⇒ A∗ = −A.33.
МАТРИЦАСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРАПусть f1 , . . . , fn — произвольный базис УП U, в котором задан ЛО A,Af — матрица этого ЛО в базисе f1 , . . . , fn , Gf — матрица Грама базисаf1 , . . . , fn . Найдем матрицу A∗f сопряженного оператора A∗ в том же базисе.Пусть Xf , Yf — столбцы координат векторов x, y в базисе f1 , . . . , fn .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
