Овчинников. Линейная алгебра (лекции) (1113067), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Тогдастолбцы координат векторов Ax и A∗ y суть Af Xf и A∗f Yf соответственно.Напомним, что скалярное произведение векторов x, y выражается черезкоординаты этих векторов по формуле(x, y) = XfT Gf Ȳf ,где Gf — матрица Грама. Теперь определяющее соотношение сопряженногооператора(Ax, y) = (x, A∗ y) ∀x, y ∈ Uзаписывается в виде(Af Xf )T Gf Ȳf = XfT Gf A∗f Yfили, эквивалентно,XfT ATf Gf Ȳf = XfT Gf Ā∗f Ȳf .Поскольку равенство должно выполняться для любых столбцов Xf , Yf ,получаемATf Gf = Gf Ā∗f .Выразим отсюда матрицу A∗f :TA∗f = G−1f Af Gf .Это и есть интересующее нас выражение для матрицы сопряженного оператора.Формула для матрицы сопряженного в случае евклидова пространствавыводится аналогично и имеет видTA∗f = G−1f Af Gf .В случае ортонормированного базиса e1 , . .
. , en , когда матрица Грама Geпредставляет собой единичную матрицу, выражения для матрицы A∗e сопряженного оператора упрощаются; для унитарного пространства имеемA∗e = ĀTe ,для евклидова пространстваA∗e = ATe .Отметим, что операция транспонирования матрицы с последующим комплексным сопряжением называется операцией эрмитова сопряжения.Матрица A, удовлетворяющая условиюA = ĀT ,4называется эрмитовой. Таким образом, эрмитова матрица — это матрица,не изменяющаяся при операции эрмитова сопряжения.Задача. Докажите, что матрица Грама унитарного пространства являетсяэрмитовой.Задача. Докажите, что собственные значения операторов A и A∗ совпадают.Рассмотрим формулу, выражающую матрицу сопряженного оператора вевклидовом пространстве, т.е. формулуTA∗f = G−1f Af Gf ,с тензорной точки зрения.
Записав эту формулу в виде∗kal = g ki aji glj = g ki glj aji(проверьте!), видим, что тензор, соответствующий сопряженному к A оператору, получается из тензора, соответствующего оператору A, подъемомнижнего и опусканием верхнего индексов.4. САМОСОПРЯЖЕННЫЙОПЕРАТОРОператор A, действующий в ЕП (в УП), называется самосопряженным,если он совпадает со своим сопряженным:A = A∗ ,или, иными словами, если для любых векторов x, y выполняется соотношение(Ax, y) = (x, Ay).Самосопряженные операторы в унитарном пространстве, называются эрмитовыми, а в евклидовом пространстве — симметричными.Теорема.
Для того чтобы оператор A был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в произвольном базисе удовлетворяла соотношениюTAf = G−1f Af Gfв случае унитарного пространства или соотношениюTAf = G−1f Af Gfв случае евклидова пространства.Доказательство очевидным образом вытекает из формул, связывающихматрицы оператора A и сопряженного оператора A, полученных в предыдущем параграфе.Преобразуем полученные формулы.
Имеем:TAf = G−1f Af Gf ⇐⇒TTĀf = G−1f Af Gf ⇐⇒ Gf Āf = Af Gf .5Матрица Грама удовлетворяет условию Gf =ḠTf(почему?); следовательно,Gf Āf = ATf Gf ⇐⇒ Gf Āf = ATf ḠTf = (Ḡf Af )T ⇐⇒Gf Āf = (Gf Āf )T .Таким образом, для того чтобы оператор A был эрмитовым, необходимо идостаточно, чтобы матрица Gf Āf была эрмитовой.В случае евклидова пространства аналогичный результат формулируется следующим образом: для того чтобы оператор A был симметричным,необходимо и достаточно, чтобы матрица Gf Af была симметричной.Если базис ортонормированный, то получаем следующее:(1) для того чтобы оператор в унитарном пространстве был эрмитовым,необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированномбазисе была эрмитовой: Ae = ĀTe ;(2) для того чтобы оператор в евклидовом пространстве был симметричным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была симметричной: Ae = ATe .Выше была доказана теорема об изоморфности линейных пространствбилинейных форм и линейных операторов в данном евклидовом пространстве.
Именно, было установлено, что каждой билинейной форме B(x, y) вевклидовом пространстве отвечает линейный оператор A такой, чтоB(x, y) = (x, Ay).При этом тензор, соответствующий БФ, получается из тензора, соответствующего ЛО, с помощью операции опускания индекса:bjk = gjl alk ;в матричных обозначенияхBf = Gf Af .Таким образом, получаем, что симметричным (самосопряженным) операторам отвечают при таком сопоставлении симметричные билинейные формы.5.
СОБСТВЕННЫЕЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫСАМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА6Таким образом,λ(x, x) = λ̄(x, x)и, так как (x, x) = 0 (почему?), получаем λ = λ̄, т.е. λ ∈ R.2. Симметричный оператор. Рассмотрим матрицу Ae данного симметричного оператора A в каком-либо ортонормированном базисе; эта матрицасимметрична, Ae = ATe . Рассмотрим оператор Ã в унитарном пространстве,имеющий в некотором ортонормированном базисе этого унитарного пространства матрицу Ae . Так как матрица Ae симметрична и все ее элементывещественны, то она эрмитова. Поэтому соответствующий оператор Ã также эрмитов и все его ХЧ вещественны. Остается заметить, что характеристические многочлены операторов A и Ã совпадают, а значит, совпадаюти их характеристические числа.Из доказанной теоремы следует, что все собственные значения самосопряженного оператора вещественны.Теорема.
Симметричный оператор имеет по крайней мере один собственный вектор.Доказательство. Характеристический многочлен симметричного оператора A в n-мерном евклидовом пространстве является многочленом степени n и имеет, по основной теореме алгебры, хотя бы один корень λ0 . Изпредыдущей теоремы вытекает, что этот корень веществен и, стало быть,является собственным значением оператора A. В таком случае операторA − λ0 I вырожден, т.е. det(A − λ0 I) = 0, и его ядро представляет собойсобственное подпространство оператора A, принадлежащее собственномузначению λ0 .Теорема. Собственные векторы самосопряженного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.Доказательство. Пусть λ1 , λ2 — СЗ, x1 , x2 — соответствующие СВ самосопряженного оператора A.
По условию, λ1 = λ2 , причем оба числа λ1 , λ2вещественны. Имеем:Ax1 = λ1 x1 ,Умножим первое из данных выражений скалярно на x2 , а второе — на x1 :(Ax1 , x2 ) = (λ1 x1 , x2 ) = λ1 (x1 , x2 ),Теорема. Все ХЧ самосопряженного оператора вещественны.Доказательство. 1. Эрмитов оператор. Любое ХЧ λ эрмитова оператораA является его СЗ (почему?), так что Ax = λx, где x — соответствующийСВ. Умножим это равенство скалярно на x:(Ax, x) = (λx, x) = λ(x, x).Поскольку оператор A эрмитов, имеем(Ax, x) = (x, Ax) = (x, λx) = λ̄(x, x).Ax2 = λ2 x2 .(x1 , Ax2 ) = (x1 , λ2 x2 ) = λ̄2 (x1 , x2 ).Учитывая, что(Ax1 , x2 ) = (x1 , Ax2 ), λ̄2 = λ2и вычитая второе из полученных равенств из первого, находим(λ1 − λ2 )(x1 , x2 ) = 0.Поскольку по условию λ1 − λ2 = 0, отсюда следует, что (x1 , x2 ) = 0, что итребовалось.7Теорема. Ортогональное дополнение любого инвариантного подпространства самосопряженного оператора также является инвариантным подпространством.Доказательство.
Пусть P — ИПП ЛО A, т.е. ∀x ∈ P имеем Ax ∈ P . Рассмотрим произвольный вектор y ∈ P ⊥ ; требуется доказать, что Ay ∈ P ⊥ .Для вектора y справедливо равенство (x, y) = 0 ∀x ∈ P . Далее, ∀x ∈ P ,Ax ∈ P , поэтому (Ax, y) = 0. Имеем8мы воспользовались тем фактом, что A(xj ) = λj ej . Обратите внимание, чтов последней сумме мы вынуждены отказаться от использования правиласуммирования Эйнштейна, так как индекс суммирования j встречается вобщем члене суммы три раза.Выражение xj ej (нет суммирования) представляет собой ортогональнуюпроекцию вектора x на одномерное собственное подпространство оператораA, порожденное собственным вектором ej ; обозначив оператор ортогонального проектирования через Pj , получаем0 = (Ax, y) = (x, Ay),т.е. вектор Ay ортогонален любому вектору x ∈ P ; иными словами,Ay ∈ P ⊥ , что и требовалось.Теорема.
Для того чтобы оператор A в ЕП E (в УП U) был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы в E (в U) существовалортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора A.Доказательство. Достаточность. Пусть в E (в U) существует ОНБ изСВ оператора A. В этом базисе матрица оператора диагональна, причемна диагонали стоят вещественные числа — СЗ данного оператора, и, сталобыть, симметрична и эрмитова. Однако оператор, имеющий в ОНБ симметричную (эрмитову) матрицу, является самосопряженным.Необходимость. Выше было доказано, что у самосопряженного оператора A в n-мерном пространстве имеется по крайней мере один СВ и,следовательно, одномерное собственное подпространство P . Ортогональное дополнение P ⊥ этого собственного (инвариантного) подпространства,согласно доказанной выше теореме, само является инвариантным подпространством размерности n − 1. Ограничение оператора A на инвариантное подпространство P ⊥ представляет собой самосопряженный операторв P ⊥ , который обладает собственным вектором, лежащим в P ⊥ .
Продолжая процесс, получим ортогональную систему из n собственных векторовоператора A. Нормируя их, получим ОНБ, состоящий из СВ оператора A.6. СПЕКТРАЛЬНОЕA(x) =nилиA=nРассмотрим самосопряженный оператора A в ЕП E (или в УП U).Пусть e1 , . . . , en — ОНБ в пространстве, состоящий из СВ оператора A,λ1 , . . . , λn — СЗ оператора A.Взяв произвольный вектор x ∈ E, разложим его по базису e и найдем егообраз при действии оператора A:A(x) = A(xj ej ) = xj A(ej ) =nj=1xj λj ej ;λj Pj .j=1Таким образом, самосопряженный оператор A представлен в виде линейнойкомбинации ортогональных проекторов Pj на одномерные собственные подпространства, порожденные попарно ортогональными собственными векторами оператора A, причем коэффициентами этой линейной комбинацииявляются собственные значения оператора A.Вопрос.
Чему равен ранг оператора Pj ?Каждый из проекторов Pj удовлетворяет соотношениюP2j = Pj ;кроме того, в силу попарной ортогональности собственных векторов оператора A, имеем соотношениеPj Pk = O.Пользуясь этими соотношениями, вычислим квадрат оператора A: n n2λj Pjλk Pk =A ==j=1nnk=1λj λk Pj Pj =j=1 k=1РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРАλj Pj (x)j=1nλ2j Pj .j=1При помощи индукции легко показать, что для любого целого числа sимеет место соотношениеnAs =λsj Pj .j=1Назовем самосопряженный оператор A неотрицательным, если все егособственные значения неотрицательны.В этом случае можно определить√понятие квадратного корня A из оператора A:√B = A ⇐⇒ B2 = A.Выражение для оператора√98.
ОДНОВРЕМЕННОЕA имеет вид√nA=λj Pj .j=1Задача. Докажите самостоятельно.7. ПРИВЕДЕНИЕКВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУОРТОГОНАЛЬНЫМ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМРассмотрим квадратичную формуQ(x1 , . . . , xn ) = ajk xj xk ;можно считать, что она представляет собой координатную запись некоторого квадратичного функционала Q(x). Известно, что квадратичная формаможет быть быть приведена к каноническому виду невырожденным преобразованием переменных (например, с помощью метода Лагранжа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
