Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1113045), страница 50
Текст из файла (страница 50)
 èòîãå âåùåñòâåííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà A ïðèâîäèòñÿ ê êîíãðóýíòíîé äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå Λ = P > AP ñ ïîìîùüþ âåùåñòâåííîéíåâûðîæäåííîé ìàòðèöû P .Ýòà èäåÿ âåäåò ê òàê íàçûâàåìîìó ìåòîäó Ëàãðàíæà. ×òîáû ïîíÿòü åãî ñóòü, ðàññìîòðèì êâàäðàòè÷íóþ ôîðìóf = a11 x21 + a22 x22 + a33 x23 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 .Åñëè a11 6= 0, òî ïîëíûé êâàäðàò âûäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:2 a13a212a213a12 a13a1222x2 +x3 + a22 −x2 + a33 −x3 + 2 a23 −x2 x3f = a11 x1 +a11a11a11a11a11= b11 y12 + b22 y22 + b33 y32 + 2b23 y2 y3 ,b11 = a11 ,b22 = a22 −a212,a11b33 = a33 −a12a13x2 +,a11a11Òàêèì îáðàçîì, A êîíãðóýíòíà ìàòðèöåb11 00B = 0 b22 b23 = P1> AP1 ,0 b23 b33y1 = x1 +a213,a11y2 = x 2 ,b23 = a23 −a12 a13,a11y3 = x 3 .1 a12 /a11 a13 /a1110 .P1 = 0001Å.
Å. Òûðòûøíèêîâ239Ñëåäóþùèé øàã î÷åâèäåí ñ ïîìîùüþ âûäåëåíèÿ ïîëíîãî êâàäðàòà èñêëþ÷èòü ïðîèçâåäåíèå y2 y3 .Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Ëàãðàíæà ìîæíî íàéòè èíåðöèþ ìàòðèöû A. Åñëè æå íóæíîïîëó÷èòü îðòîãîíàëüíóþ ìàòðèöó P , òî ñëåäóåò îáðàòèòüñÿ ê äðóãèì ìåòîäàì íàïðèìåð, ê ìåòîäó âðàùåíèé.Ìû íå áóäåì çäåñü çàíèìàòüñÿ ôîðìàëèçàöèåé ìåòîäà Ëàãðàíæà äëÿ ñèììåòðè÷íûõìàòðèö îáùåãî âèäà. Âìåñòî ýòîãî ìû ðàññìîòðèì ñëó÷àé âåùåñòâåííûõ ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåííûõ ìàòðèö è ìåòîä êâàäðàòíîãî êîðíÿ ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèé òîãîæå òèïà îí ðåøàåò òó æå çàäà÷ó, ÷òî è ìåòîä Ëàãðàíæà.36.8Ìåòîä êâàäðàòíîãî êîðíÿÏóñòü äàíà ìàòðèöà A ïîðÿäêà n è Ak åå k ×k -ïîäìàòðèöà, ðàñïîëîæåííàÿ íà ïåðåñå÷åíèè ïåðâûõ k ñòðîê è ñòîëáöîâ.
Ïîäìàòðèöû A1 , . . . , An = A íàçûâàþòñÿ âåäóùèìèïîäìàòðèöàìè, à èõ îïðåäåëèòåëè âåäóùèìè ìèíîðàìè ìàòðèöû A.Äëÿ âåùåñòâåííîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû A, â êîòîðîé âñå âåäóùèå ìèíîðû ïîëîæèòåëüíû, èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå A = R> R, ãäå R âåùåñòâåííàÿ âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ ïîëîæèòåëüíûìè äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè. 2Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ ðàçëîæåíèÿ óæå äîêàçàí. Òîãäà íåòðóäíîïîíÿòü, êàê åãî ìîæíî âû÷èñëèòü. Äëÿ ìàòðèöû ïîðÿäêà n = 3 èìååìa11 a12 a13r11r11 r12 r13a12 a22 a23 = r12 r22r22 r23 ⇒a13 a23 a33r13 r23 r33r33r11 =r22q2= a22 − r12,√a11 ,r23r12 = a12 /r11 ,r13 = a13 /r11 ,q22= (a23 − r13 r12 )/r22 , r33 = a33 − r13− r23.Âû÷èñëåíèÿ àíàëîãè÷íû è â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî n.
Ìåòîä íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì êâàäðàòíîãî êîðíÿ.Èíòåðåñíî, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå êàê áû íå èñïîëüçóåòñÿ èäåÿ èñêëþ÷åíèÿ ýëåìåíòîâ, íî èìåííî êàê áû: ÷òîáû îáúÿñíèòü, ïî÷åìó ìîæíî èçâëåêàòü êîðíè, ïðîùå âñåãîâåðíóòüñÿ ê èäåå ìåòîäà Ãàóññà.Òåîðåìà. Ïóñòü A ìàòðèöà ïîðÿäêà n, â êîòîðîé âñå âåäóùèå ìèíîðû îòëè÷íû îòíóëÿ. Òîãäà ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííûå íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà L ñ åäèíèöàìèíà äèàãîíàëè è âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà U òàêèå, ÷òî A = LU .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü n = 3. Ïåðâûé øàã ìåòîäà Ãàóññà äàåò1 0 0 a11 a12 a13a11 a12 a13−l21 1 0 a21 a22 a23 = 0 b22 b23 ,−l31 0 1 a31 a32 a330 b32 b33l21 = a21 /a11 ,l31 = a31 /a11 .1 0 0a11 a12 a13a11 a12 a13⇒ a21 a22 a23 = l21 1 0 0 b22 b23 ⇒ det A2 = a11 b22 ⇒ b22 6= 0.a31 a32 a33l31 0 10 b32 b332  âû÷èñëèòåëüíîé àëãåáðå ðàçëîæåíèå òàêîãî âèäà íàçûâàþòðàçëîæåíèåì Õîëåöêîãî.240Ëåêöèÿ 36Ïîñêîëüêó b22 6= 0, ìîæíî îáîéòèñü áåç ïåðåñòàíîâîê ñòðîê è ïåðåéòè êî âòîðîìó øàãóìåòîäà Ãàóññà:1 0 0a11 a12 a13a11 a12 a130 1 0 0 b22 b23 = 0 b22 b23 ,0 −l31 10 b32 b3300 c33l31 = b32 /b22 . èòîãå ïîëó÷àåìa11 a12 a131 0 0a11 a12 a13a21 a22 a23 = l21 1 0 0 b22 b23 .a31 a32 a33l31 l32 100 c33Çàìåòèì, ÷òî det A3 = a11 b22 c33 ⇒ c33 6= 0 (ýòî ãàðàíòèðóåò âîçìîæíîñòü ïðîâåäåíèÿòðåòüåãî øàãà ìåòîäà Ãàóññà áåç ïåðåñòàíîâîê ñòðîê â ñëó÷àå n > 3).
Åäèíñòâåííîñòüïîñòðîåííîãî LU -ðàçëîæåíèÿ ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî: ïåðâàÿ ñòðîêà â U è ïåðâûé ñòîëáåö â L îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî, îòñþäà òî æå ñàìîå ïîëó÷àåì äëÿ âòîðîéñòðîêè â U è âòîðîãî ñòîëáöà â L, è òàê äàëåå. Îáîáùåíèå äîêàçàòåëüñòâà íà ñëó÷àéïðîèçâîëüíîãî n íå ïðåäñòàâëÿåò íèêàêîé òðóäíîñòè. 2Ñëåäñòâèå.
Äëÿ ëþáîé âåùåñòâåííîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû, â êîòîðîé âñå âåäó-ùèå ìèíîðû ïîëîæèòåëüíû, ñóùåñòâóåò âåùåñòâåííàÿ âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà R òàêàÿ, ÷òî A = R> R. Ýëåìåíòû ãëàâíîé äèàãîíàëè R ìîãóò áûòü âûáðàíûïîëîæèòåëüíûìè, ïðè ýòîì îãðàíè÷åíèè R åäèíñòâåííà.Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ñóùåñòâîâàíèåì è åäèíñòâåííîñòüþ LU -ðàçëîæåíèÿA = LU , â êîòîðîì L èìååò åäèíèöû íà ãëàâíîé äèàãîíàëè. Ïóñòü D äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ãëàâíîé äèàãîíàëüþ, âçÿòîé èç ìàòðèöû U = [uij ]. Ïîñêîëüêó det Ak =u11 . . . ukk äëÿ âñåõ k , íàõîäèì, ÷òî ukk > 0 äëÿ âñåõ k . ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè ìàòðèöû A,A = A> = LU = (U > D−1 )(DL) ⇒ L = U > D−1 .Îòñþäà A = (D−1/2 U )> (D−1/2 U ).
Òàêèì îáðàçîì, R = D−1/2 U . Åäèíñòâåííîñòü ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî òàê æå, êàê â ñëó÷àå LU -ðàçëîæåíèÿ. 2Çàìå÷àíèå. Îïðåäåëèòåëü âåùåñòâåííîé ñèììåòðè÷íîé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîéìàòðèöû ïîëîæèòåëåí (êàê ïðîèçâåäåíèå ïîëîæèòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé). Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ñâîéñòâî ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè íàñëåäóåòñÿ âñåìè âåäóùèìèïîäìàòðèöàìè ⇒ âñå åå âåäóùèå ìèíîðû ïîëîæèòåëüíû. Ïîýòîìó ìåòîä êâàäðàòíîãî êîðíÿ ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ ëþáîé âåùåñòâåííîé ñèììåòðè÷íîé ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåííîé ìàòðèöû. Ìåòîä êâàäðàòíîãî êîðíÿ ëåãêî ïåðåíîñèòñÿ òàêæå íà ñëó÷àéêîìïëåêñíûõ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûõ ìàòðèö (îíè îáÿçàòåëüíî ýðìèòîâû). Äëÿòàêèõ ìàòðèö âñåãäà èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå A = R∗ R, ãäå R êîìïëåêñíàÿ âåðõíÿÿòðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ ïîëîæèòåëüíûìè äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè.Çàäà÷à.Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöûìåñòî íåðàâåíñòâîdet A ≤ a11 a22 . .
. ann .A = [aij ] ∈ Cn×nèìååòÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ36.9241Êðèòåðèé ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòèÄîêàæåì âàæíûé ðåçóëüòàò, èçâåñòíûé êàê êðèòåðèé Ñèëüâåñòðà.Òåîðåìà. Ïóñòü äàíà ýðìèòîâà ìàòðèöà. Äëÿ åå ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòèíåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âñå åå âåäóùèå ìèíîðû áûëè ïîëîæèòåëüíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî ñâîéñòâî ïîëîæèòåëüíîé (èíåîòðèöàòåëüíîé) îïðåäåëåííîñòè ýðìèòîâîé ìàòðèöû A ïîðÿäêà n íàñëåäóåòñÿ åå âåäóùèìè ïîäìàòðèöàìè A1 , . . . , An íóæíî ëèøü ó÷åñòü ðàâåíñòâî x1 x1x...k [x1 , ... , xk ] Ak ...
= [x1 , ..., xk , 0, ..., 0] A 0.xk...0Èç ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè ìàòðèöû Ak ñëåäóåò, ÷òî âñå åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïîëîæèòåëüíû ⇒ det Ak > 0 (êàê ïðîèçâåäåíèå ïîëîæèòåëüíûõ ñîáñòâåííûõçíà÷åíèé). Äîñòàòî÷íîñòü ïîëó÷àåòñÿ èç ðàçëîæåíèÿ A = R∗ R, ãäå R âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà: äëÿ ëþáîãî x 6= 0 ïîëó÷àåì x∗ Ax = x∗ (R∗ R)x = (Rx)∗ (Rx) > 0.2Çàäà÷à.ÌàòðèöàA =A11A21A12A22ÿâëÿåòñÿ ýðìèòîâîé, à åå ïîäìàòðèöàîïðåäåëåííîé.
Äîêàçàòü, ÷òî ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü ìàòðèöûîïðåäåëåííîñòè ïîäìàòðèöûA22 .AA11 ïîëîæèòåëüíîðàâíîñèëüíà ïîëîæèòåëüíîé242Ëåêöèÿ 36Ëåêöèÿ 3737.1Ðàçäåëåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ýðìèòîâîé ìàòðèöûÏóñòü ýðìèòîâà ìàòðèöà A ∈ Cn×n çàïèñàíà â áëî÷íîì âèäåB uA =, B ∈ C(n−1)×(n−1) , u ∈ Cn−1 .u∗ ann(1)ßñíî, ÷òî ïîäìàòðèöà B òîæå ýðìèòîâà. Ïóñòü µ1 ≥ . . . ≥ µn−1 åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, è ïóñòü Q óíèòàðíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n − 1, ïðèâîäÿùàÿ åå ê äèàãîíàëüíîìóâèäóµ1..Q∗ BQ = ⇒. ∗Qµ 1 ...B uQ=∗1 u ann1µn−1s̄1 . .
. s̄n−1µn−1s1,sn−1 sns1 . . . = Q∗ u,sn−1sn = s̄n = ann .Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû A ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ:µ1 − λs1...det(A − λI) = µn−1 − λ sn−1 s̄1...s̄n−1sn − λn−1Y|s1 |2|sn−1 |2=(µi − λ) sn − λ −− ... −µ1 − λµn−1 − λi=1.Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ ìàòðèöû A íå ñîâïàäàåò íè ñ îäíèì èçñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé µ1 , .
. . , µn−1 åå ïîäìàòðèöû B , òî îíî óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþλ = F (λ) ≡|s1 |2|sn−1 |2+ ... ++ sn .λ − µ1λ − µn−1Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü ýðìèòîâà ìàòðèöà A ïîðÿäêà n ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìèλ1 ≥ . . . ≥ λn èìååò áëî÷íîå ðàçáèåíèå (1), â êîòîðîì B åå ýðìèòîâà ïîäìàòðèöàïîðÿäêà n − 1 ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè µ1 ≥ . . . ≥ µn−1 . Òîãäà åñëèµ1 > µ2 > . .
. > µn−1è si 6= 0, 1 ≤ i ≤ n − 1,243244Ëåêöèÿ 37òî èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ ðàçäåëåíèÿλ1 > µ1 > λ2 > µ2 > . . . > λn−1 > µn−1 > λn .(2)Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ãðàôèê ôóíêöèè y = F (λ) (λ è y ïåðåìåííûå îñåéàáñöèññ è îðäèíàò). Î÷åâèäíî, F (λ) íå îïðåäåëåíî ïðè λ = µk . Ïîñêîëüêó F (λ) → ∞ïðè λ → µk , åñòåñòâåííî ãîâîðèòü, ÷òî F (λ) ïðè λ = µk îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü.Èçó÷èì ïîâåäåíèå ôóíêöèè F (λ) íà êàæäîì èç n èíòåðâàëîâIn = (−∞, µn−1 ), In−1 = (µn−1 , µn−2 ), . . . , I2 = (µ2 , µ1 ), I1 = (µ1 , +∞).Ïóñòü λ ∈ Ik , 2 ≤ k ≤ n − 1. Òîãäà|sk |2|sk−1 |2+→λ − µk λ − µk−1+∞ ïðè λ → µk ,−∞ ïðè λ → µk−1 ,à îñòàëüíûå ñëàãàåìûå â ïðåäñòàâëåíèè F (λ) ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷åííûìè. Ïîýòîìó+∞ ïðè λ → µk ,F (λ) →−∞ ïðè λ → µk−1 . ñèëó íåïðåðûâíîñòè F (λ), ïðÿìàÿ y = λ èìååò ïðè λ ∈ Ik òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ñãðàôèêîì ôóíêöèè y = F (λ). Ñëó÷àè λ ∈ I1 è λ ∈ In ðàññìàòðèâàþòñÿ àíàëîãè÷íî.Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå F (λ) = λ èìååò n ðàçëè÷íûõ êîðíåé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
